Цель этой главы – продемонстрировать в одном простом случае, как работает подготовительная теорема.

Напомним, что в гл. 5 мы определили элементарные симметрические функции $(-1)^{t} \sigma_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, $i=1, \ldots, n$, с помощью формулы
\[
\prod_{i=1}^{n}\left(t-x_{i}\right)=\sum_{i=0}^{n} t^{t} \sigma_{n-t}(x), \quad \sigma_{0}=1 .
\]

В частности, $\sum_{i=0}^{n} x_{i}^{l} \sigma_{n-i}(x)=0$, или
\[
x_{i}^{n}=-\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{l} \sigma_{n-i}(x) .
\]

Обозначим через $\sigma: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathrm{R}^{n}$ отображение, координатными функциями которого являются функции $\sigma_{i}$ для $i=1, \ldots, n$. Из написанного выше равенства следует, что $x_{j}^{n} \in \sigma^{*} \mathrm{~m}(n) \cdot \mathscr{E}(n)$. Следовательно, всякий моном от переменных $x_{l}$, хотя бы один показатель которого $\geqslant n$, лежит в $\sigma^{*} \mathfrak{m}(n) \cdot \mathscr{E}(n)$. Отсюда следует, что для $k \geqslant n^{2}$
\[
\mathrm{m}(n)^{k} \subset \sigma^{*} \mathrm{~m}(n) \cdot \mathscr{E}(n) .
\]

Поскольку мономы степени $<k$ порождают векторное пространстзо $\mathscr{E}(n) / \mathrm{m}(n)^{k}$, из подготовительной теоремы вытекает следующая лемма.
7.1. Лемма. Мономы степени $i n^{2}$ порождают $\mathscr{E}(n)$ как модуль над кольцом ростков вида $f\left(\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{n}\right)$.

Эта лемма приводит к такому определению и следствию.
7.2. Определение. Росток $f \in \mathscr{E}(n)$ называется симжетрическим, если для любой перестановки $\pi$ множества $\{1, \ldots, n\}$ справедливо следующее равенство, понимаемое как равенство ростков:
\[
f\left(x_{1} ; \ldots, x_{n}\right)=f\left(x_{\pi(1)}, \ldots, x_{\pi(n)}\right) .
\]
7.3. Теорема (Глезер): Всякий симметрический росток может быть записан как дифференцируемыи росток от элементарных симметрических функций.

Следовательно, росток $f$ симметричен в том и только том случае, если найдется дифференцируемый росток $\tilde{g} \in \mathscr{E}(n)$, такой, что $\tilde{f}=\tilde{g} \circ \tilde{\sigma}$.

Доказательстоо. Пусть $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{r}$ – мономы степени $<n^{2}$ от координатных функций $x_{i}$. Пусть $f$ симметрична. По лемме,
\[
f(x)=\sum_{j=1}^{r} \varphi_{j}(x) \cdot g_{l}(\sigma(x)) .
\]

Обозначим через $\mathcal{S}(n)$ группу перестановок множества $\{1, \ldots, n\}$. Тогда, поскольку $f$ и $\sigma_{i}$ симметричны,
\[
f(x)=\frac{1}{n !} \sum_{i=1}^{+}\left(\sum_{\pi \in \epsilon^{\prime}(n)} \varphi_{j}\left(x_{\pi(1)}, \ldots, x_{\pi(n)}\right)\right) g_{l}(\sigma(x))
\]

и многочлены $p_{l}(x)=\sum_{\pi \in \in(n)} \varphi_{l}\left(x_{\pi(1)}, \ldots, x_{n(n)}\right)$ очевндно являются симметрическими. По основной теореме о симметрических многочленах (Ленг, Алгебра, «Мир», М., 1968, гл. V, §9), получаем отсюда, что
\[
p_{j}(x)=q_{j}(\sigma(x))
\]

для некоторых (однозначно определенных) многочленов $q_{l}$. Следовательно,
\[
f(x)=\frac{1}{n !} \sum_{j=1}^{r} q_{l}(\sigma(x)) \cdot q_{j}(\sigma(x)) .
\]

7.4. Упражнения. 1. Пусть $f \in \mathscr{E}(n)$ и при $1 \leqslant i \leqslant n$ $f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=f\left(x_{1}, \ldots, x_{i-1},-x_{i}, x_{i+1}, \ldots, x_{n}\right)$.
Покажите, что $f(x)=g\left(x_{1}^{2}, \ldots, x_{n}^{2}\right)$ для некоторого $g \in \mathscr{E}(n)$.
2. Найдите базис кольца многочленов от $n$ переменных, рассматриваемого как модуль над кольом симметрических многочленов. (См. Artin, Galois theory.)