Цель этой главы — продемонстрировать в одном простом случае, как работает подготовительная теорема.

Напомним, что в гл. 5 мы определили элементарные симметрические функции $(-1{)}^t{\sigma }_i(x_1,\dots ,x_n)$, $i=1,\dots ,n$, с помощью формулы
$$\prod _{i=1}^n(t-x_i)=\sum _{i=0}^n{t}^t{\sigma }_{n-t}(x),{\sigma }_0=1.$$

В частности, $\sum _{i=0}^n{x}_i^l{\sigma }_{n-i}(x)=0$, или
$$x_i^n=-\sum _{i=1}^n{x}_i^l{\sigma }_{n-i}(x).$$

Обозначим через $\sigma :{\mathbf{R}}^n\to {\mathrm{R}}^n$ отображение, координатными функциями которого являются функции ${\sigma }_i$ для $i=1,\dots ,n$. Из написанного выше равенства следует, что $x_j^n\in {\sigma }^{\ast }\mathrm{m}(n)\cdot \mathcal{E}(n)$. Следовательно, всякий моном от переменных $x_l$, хотя бы один показатель которого $⩾n$, лежит в ${\sigma }^{\ast }\mathfrak{m}(n)\cdot \mathcal{E}(n)$. Отсюда следует, что для $k⩾n^2$
$$\mathrm{m}(n{)}^k\subset {\sigma }^{\ast }\mathrm{m}(n)\cdot \mathcal{E}(n).$$

Поскольку мономы степени $<k$ порождают векторное пространстзо $\mathcal{E}(n)/\mathrm{m}(n{)}^k$, из подготовительной теоремы вытекает следующая лемма.
7.1. Лемма. Мономы степени $i{n}^2$ порождают $\mathcal{E}(n)$ как модуль над кольцом ростков вида $f({\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n)$.

Эта лемма приводит к такому определению и следствию.
7.2. Определение. Росток $f\in \mathcal{E}(n)$ называется симжетрическим, если для любой перестановки $\pi$ множества $\{1,\dots ,n\}$ справедливо следующее равенство, понимаемое как равенство ростков:
$$f(x_1;\dots ,x_n)=f(x_{\pi (1)},\dots ,x_{\pi (n)}).$$
7.3. Теорема (Глезер): Всякий симметрический росток может быть записан как дифференцируемыи росток от элементарных симметрических функций.

Следовательно, росток $f$ симметричен в том и только том случае, если найдется дифференцируемый росток $\tilde{g}\in \mathcal{E}(n)$, такой, что $\tilde{f}=\tilde{g}\circ \tilde{\sigma }$.

Доказательстоо. Пусть ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_r$ — мономы степени $<n^2$ от координатных функций $x_i$. Пусть $f$ симметрична. По лемме,
$$f(x)=\sum _{j=1}^r{\phi }_j(x)\cdot g_l(\sigma (x)).$$

Обозначим через $\mathcal{S}(n)$ группу перестановок множества $\{1,\dots ,n\}$. Тогда, поскольку $f$ и ${\sigma }_i$ симметричны,
$$f(x)=\frac{1}{n!}\sum _{i=1}^{+}\left(\sum _{\pi \in {ϵ}^{\prime }(n)}{\phi }_j(x_{\pi (1)},\dots ,x_{\pi (n)})\right)g_l(\sigma (x))$$

и многочлены $p_l(x)=\sum _{\pi \in \in (n)}{\phi }_l(x_{\pi (1)},\dots ,x_{n(n)})$ очевндно являются симметрическими. По основной теореме о симметрических многочленах (Ленг, Алгебра, «Мир», М., 1968, гл. V, §9), получаем отсюда, что
$$p_j(x)=q_j(\sigma (x))$$

для некоторых (однозначно определенных) многочленов $q_l$. Следовательно,
$$f(x)=\frac{1}{n!}\sum _{j=1}^r{q}_l(\sigma (x))\cdot q_j(\sigma (x)).$$

7.4. Упражнения. 1. Пусть $f\in \mathcal{E}(n)$ и при $1⩽i⩽n$ $f(x_1,\dots ,x_n)=f(x_1,\dots ,x_{i-1},-x_i,x_{i+1},\dots ,x_n)$.
Покажите, что $f(x)=g(x_1^2,\dots ,x_n^2)$ для некоторого $g\in \mathcal{E}(n)$.
2. Найдите базис кольца многочленов от $n$ переменных, рассматриваемого как модуль над кольом симметрических многочленов. (См. Artin, Galois theory.)