Большая свобода, которой мы располагаем при построении дифференцируемых отображений с заранее предписанными свойствами, основывается на следующем факте.
3.1. Лемма. Определим функцию $\lambda: \mathbb{R} \rightarrow \mathbf{R}$ формулами
\[
\begin{array}{ll}
\lambda(t)=0 & \text { при } t \leqslant 0, \\
\lambda(t)=e^{-1 / t} & \text { при } t>0 .
\end{array}
\]

Тогда $0 \leqslant \lambda(t) \leqslant 1$ и функция $\lambda$ (бесконечно) диф. ференцйруема на всей прямой.

Доказательство. Производная порядка $n$ от $\lambda$ при $t>0$ имеет вид $q(1 / t) e^{-1 / t}$, где $q$-многочлен степени $2 n$. Поэтому при $t \rightarrow 0$ производная порядка $n$ также стремится к нулю. Следовательно (по теореме о конечном приращении), функция $\lambda$ бесконечно дифференцируема в точке 0 и имеет нулевой ряд Тейлора в этой точке.

Пусть теперь $\varepsilon>0$. Определим функцию $\varphi_{\varepsilon}: R \rightarrow$ $\rightarrow R$ формулой
\[
\varphi_{\varepsilon}(t)=\frac{\lambda(t)}{\lambda(t)+\lambda(\varepsilon-t)} .
\]

Тогда $\varphi_{e}$ дифференцируема, $0 \leqslant \varphi_{\varepsilon} \leqslant 1, \varphi_{e}(t)=0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow t \leqslant 0, \varphi_{\mathrm{e}}(t)=1$ для $t \geqslant \varepsilon$.

Положим $K(x, r)=\left\{y \in \mathbf{R}^{n}|| y-x \mid \leqslant r\right\}$. Это шар радиуса $r$ с центром в точке $x$. Для фиксированиы $x$, $r>0$ и $\varepsilon>0$ функция
\[
\begin{aligned}
\psi: \quad \mathbf{R}^{n} & \rightarrow \mathbf{R}, \\
y & \mapsto 1-\varphi_{e}(|y-x|-r)
\end{aligned}
\]

обладает следующими свойствами: $\psi$ дифференцируема, $0 \leqslant \psi(y) \leqslant 1$ и $\psi(y)=1$ при $y \in K(x, r)$. Дифференцируемость вытекает из того, что там, где не дифференцируема функция $|y-x|$, функция ф локально постоянна. $И$ так, $\psi(y)=0$ тогда и только тогда, когда $y
otin K^{\circ}(x, r+\varepsilon)$.
Вот первое приложение полученных результатов:
3.2. Обозначим через $C^{\infty}\left(\mathrm{R}^{n}\right)$ множество всех дифференцируемых функций $\mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}$, через $\mathscr{E}_{x}(n)$ множество ростков функций $\left(\mathbf{R}^{n}, x\right) \rightarrow \mathbf{R}$ и через $p_{x}: C^{\infty}\left(\mathbb{R}^{i}\right) \rightarrow \mathscr{E}_{x}(n)$-отображение, сопоставляющее каждсй функции $f$ ее росток в точке $x$. Тогда отображение $p_{x}$ сюртективно.

Доказательство. Пусть росток $\tilde{\varphi}:\left(\mathbf{R}^{n}, x\right) \rightarrow \mathbf{R}$ представлен отображением $\varphi: U \rightarrow \mathbf{R}$. Выберем $r$ и $\varepsilon>0$ так, чтобы $K(x, r+\varepsilon) \subset U$, и возьмем описанную выше функцию $\psi$. Torда $\tilde{\varphi}=p_{x}(\varphi \cdot \psi)$ и $(\varphi \cdot \psi)(y)=0$ вне $K(x, r+\varepsilon)$. Поэтому функцию $\varphi \cdot \psi$ можно продолжить тождественным нулем вне $K(x, r+e)$ до функции, определенной на всем $\mathbf{R}^{n}$.

Разумеется, соответствующий результат верен не только на $\mathrm{R}^{n}$, но и на произвольном дифференцируемом многообразии $M^{n}$.
3.3. Теорема (Уитни). Всякое замкнутое подмножество пространства $\mathbf{R}^{n}$ (или дифференцируемого многообразия) есть множество нулей некоторой дифференцируемой функции.

Доказательство. Пусть $A$-замкнутое множество в $\mathbf{R}^{n}, U=\mathbf{R}^{n}$ – $A$ – его открытое дополнение. Можно считать, что $U
eq \varnothing$, и, значит, $U=\bigcup_{m} K^{\circ}\left(x_{m}, r_{m}\right)$. Пусть $\psi_{m}: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}$ – неотрицательная дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию
\[
\Psi_{m}(y)
eq 0 \Leftrightarrow y \in K^{\circ}\left(x_{m}, r_{m}\right) .
\]

Определим тогда функцию $\mathbf{\psi}: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}$ формулой
\[
\psi(y)=\sum_{m=1}^{\infty} \psi_{m}(y) \cdot e_{m},
\]

где $\left\{\varepsilon_{m} \mid m \in \mathbf{N}\right\}$ – последовательность положительных целых чисел, выбранная так, чтобы всякая производная функции $\varepsilon_{m} \psi_{m}$ порядка $\leqslant m$ по абсолютной величине не превосходила $1 / 2^{m}$ (заметим, что при фиксирсванном $m$ таких производных конечнсе число). Так как функция $\Psi_{m}$ и все ее гооизводные отличны от нуля только на компактном множестве $K\left(x_{m}, r_{m}\right)$, то такую последовательность действительно можно построить. Следовательно, ряд, с помощью которого определяется функция $\psi$, равномерно сходится на всем $\mathbf{R}^{n}$. То же верно и для всех рядов, которые получаются из него почленным дифференцированием, поскольку-в каждой точке $\mathrm{R}^{n}$ любой такой ряд почленно мажорируется по абсолютной величине числовым рядом $\sum\left(1 / 2^{m}\right)$. Значит, функция $\psi$ дифференцируема и $\psi(x)=0$ при $x \in A$, так как каждая из функций $\Psi_{m}$ обращается в нуль на всем $A$. С другой стороны, $\psi(x)
eq 0$ при $x
otin A$, ибо по меньшей мере одна из функций $\psi_{m}$ отлична от нуля в точке $x$.

Стоит сравнить этот результат с теоремой Сарда. Всякое множество, определяемое непрерывными уравнениями, замкнуто, и всякое замкнутое множество может быть определено дифференцируемыми уравнениями. Теорема Сарда утверждает, однако, что для дифференцируемого отображения $f$ большинство мнржеств вида $f(x)=b$ не являются патологическими.
3.4. Уп. Ажнения. 1. Пусть $A_{0}$ и $A_{1}$ – непересекающиеся замкнутые множества в $\mathbf{R}^{n}$. Докажите, что существует дифференцируемая функция $\varphi: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}$, такая, что $A_{0}=\varphi^{-1}\{0\}, A_{1}=\varphi^{-1}\{1\}$ и $0 \leqslant \varphi(x) \leqslant 1$.
2. Пусть $A$-замкнутое множество в $\mathbf{R}^{n}$. Докажнте, что существует дифференцируемое отображение $f: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{n}$, такое, что $A$ является множеством критических точек $f$.
3. Существует дифференцируемое отображение $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}^{n}$, такое, что множество $f(\mathbf{R})$ плотно $\mathbf{B} \mathbf{R}^{r^{2}}$.
3.5. Определение. Пусть $\mathbf{R}^{n} \supset A \xrightarrow{t} \mathbf{R}^{k}$. Тогда множество $\operatorname{supp}(f)=\{x \in A \mid f(x)
eq 0\}$ называется носителем $f$ (черта обозначает замыкание в $A$ ). Иными словамн, $\quad x
otin \operatorname{supp}(f) \Leftrightarrow$ росток $\quad f:(A, x) \rightarrow \mathrm{R}^{k}-$ нулевой.
3.6. Теорема (о разбиении единицы). Пусть $M$ дифференцируемое нногообразие и $\left\{U_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda\right\}$-его открытое покрытие. Тогда существует последовательность дифференіңируемых функций $\left\{\varphi_{n} \mid n \in \mathbf{N}\right\}$, обладающая следующини свойствами:
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{n}: M \rightarrow \mathbf{R}, \quad 0 \leqslant \varphi_{n}(x) \leqslant 1, \\
\operatorname{supp}\left(\varphi_{n}\right) \subset U_{\lambda(n)} \text { для некоторого } \lambda(n) \in \Lambda,
\end{array}
\]

покрытие $\left\{\operatorname{supp}\left(\varphi_{n}\right) \mid n \in \mathbf{N}\right\}$ локально конечно, для любого $x \in M$ имеем $\sum_{n \in \mathbb{N}} \varphi_{n}(x)=1$.
3.7. Локальная конечность означает, что каждая точка $x \in M$ обладает такой окрестностью $V$, что множество $V \cap \operatorname{supp}\left(\varphi_{n}\right)$ непусто лишь для конечного числа натуральных $n$.

Множество $\left\{\varphi_{. i} \mid n \in \mathrm{N}\right\}$ называется разбиением единицы, подчиненным покрытию $\left\{U_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda\right.$.

Сумма $\sum_{n \in \mathbb{N}} \varphi_{n}$ корректно определена, поскольку в окрестности любой точки только конечное число ее членов отлично от нуля.

Tипииное приложение теоремы о разбиении единицы. Возьмем в качестве $U_{\lambda}$ шары, определяемые с помощью координатных систем на $M$. Замыкания $\bar{U}_{\lambda}$ компактны, и, значит, носитель $\operatorname{supp}\left(\varphi_{n}\right)$ тоже компактен. Если $\mathrm{f:}: M \rightarrow \mathbf{R}^{k}$ – произвольное дифференцируемое отображение, то сумма $f=\sum_{n \in \mathrm{N}} f \cdot \varphi_{n}$ локально конечна, так как слагаемое $f \cdot \varphi_{n}$ обращается в нуль вне компактного множества $\operatorname{supp}\left(\varphi_{n}\right)$.

Доказательство теоремы. Многообразие $M$ локально компактно и имеет счетную базу. Поэтому (Schubert, Topologie, p. 90) можно найти такое покрытие $\left\{V_{n} \mid n \in\right.$ $\in \mathrm{N}\}$, что $\bar{V}_{n} \subset U_{\lambda(n)}$, и тогда покрытие $\left\{\bar{V}_{n} \mid n \in \mathrm{N}\right\}$ локально конечно. Без ограничения общности можно считать, что каждое $\bar{V}_{n}$ содержится в некоторой координатной окрестности. Применяя теорему Уитни, получаем положительную дифференцируемую , функцию $\tau_{n}: M \rightarrow \mathrm{R}$, такую, что $\tau_{n}(x)=0 \Leftrightarrow x
otin V_{n}$. ‘Ясно, что $\operatorname{supp}\left(\tau_{n}\right)=\bar{V}_{n}$. Положим
\[
\left.\tau(x)=\sum_{n \in N} \tau_{n}^{\prime} x\right) .
\]

Тогда $\tau(x)>0$ при всех $x$ и функция $\tau$ дифференцируема, ибо определяющая ее сумма локально конечна. Следовательно, мы можем положить $\varphi_{n}=\tau_{n} / \tau$.

Ниже мы будем часто говорить, например, так: «без ограничения общности можно считать, что множество supp (f) компактно и содержится в шаре радиуса $<\varepsilon, \ldots$.

Такие замечания всегда обоснованы тем, что всякая функция $f$ является локально конечной суммой функций. обладаюших этим свпйством.