Литература: P. Нарасимхан, Анализ на действительных и сомплехсных многообразнях, «Мир», М., 1971.
С. Ленг, Алгебра, мнр», М., 1968.
Дж. Мезер, Конечно определенные ростки отображений, сб. Математика, $14: 1$ (1970), 145-175.
Н. Бурбаки, Алгебра, гл. IV, кНаука», М., 1965.

Введем обозначения:
$\mathscr{E}(n)=$ кольцо. дифференцируемых ростков $\left(\mathrm{R}^{n}, 0\right) \rightarrow \mathrm{R}$; $C^{\infty}(n)=$ кольцо дифференцируемых функций $\mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}$.
Имеется сюръективное отображение $C^{\infty}(n) \rightarrow \mathscr{E}(n)$, $f \mapsto \tilde{f}$. В $C^{\infty}(n)$ есть идеал
$\mathfrak{a}=\left\{f \in C^{\infty}(n) \mid f\right.$ обращается в нуль в некоторой окрестности начала координат $\}$.

Равенство $\mathscr{E}(n)=C^{\infty}(n) / \mathfrak{a}$ можно использовать для определения кольцевой структуры на множестве $\mathscr{E}(n)$. Положим
\[
\mathfrak{m}(n)=\{f \in \mathscr{E}(n) \mid f(0)=0\} .
\]

Тогда $\mathfrak{m}(n)$ – максимальный идеал в $\mathscr{E}(n)$, и отображение $\tilde{f} \mapsto f(0)$ определяет изоморфизм $\mathscr{E}(n) / m(n) \cong$ $\cong \mathbf{R}$. Более того, $\mathfrak{m}(n)$ – единственный максимальный идеал в $\mathscr{E}(n)$. Действительно, пусть $\tilde{f}
otin \underset{m}{ }(n)$. Тогда $f(0)
eq 0$ и, значит, никакой представитель $f$ ростка $f$ не обращается в нуль в некоторой окрестности начала координат. Отсюда следует, гто определен росток $1 / \tilde{f}$, т. е. росток $f$ обратим и не содержится ни в каком собственном идеале кольца $\mathscr{E}(n)$.

Положим $C^{\infty}(M)=\{f: M \rightarrow R \mid$ функция $f$ дифференцируема\}.

4.1. Упражнения. 1. Пусть $M$-дифференцируемое многообразие. Докажите, что множество $a_{x}=\{f \in$ $\left.E C^{\infty}(M) \mid f(x)=0\right\}$ – максимальный идеал в $C^{\infty}(M)$.
2. Пусть $M$ – компактное дифференцируемое многообразие и а-максимальный идеал в $C^{\infty}(M)$. Покажите, что существует такая точка $x \in M$, что $\mathfrak{a}=$ $=\left\{f \in C^{\infty}(M) \mid f(x)=0\right\}$.
3. Для некомпактного многообразия $M$ постройте максимальный ндеал $\mathfrak{a} \subset C^{\infty}(M)$, такой, что для любой точки $x \in M$ найдется функция $f \in \alpha$, не обращающался в нуль в точке $x$.
4. Пусть $\alpha: \mathscr{E}(n) \rightarrow \mathscr{E}(k)$ – гомоморфизм колец. Гокажите, что либо $a=0$, либо $a(1)=1$. Покажите также, что $\alpha(m(i n)) \subset m(k)$.

Пусть $x_{1}, \ldots, x_{n}$ – координатные функции на $\mathbf{R}^{n}$. Тогда идеал $m(n)$ порокден ростками $\tilde{x}_{1}, \ldots, \tilde{x}_{n}$. Верно и более общеє утверн.дение:
4.2. Теорема. Пусть $\mathfrak{m}(k)-u \partial е а л$ в $\mathscr{E}(n+k)$, состоящий из ростков в нуле $\tilde{f}: \mathbf{R}^{n} \times \mathbf{R}^{k} \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющих условию $\tilde{f} \mid \mathrm{R}^{n} \times\{0\}=0$. Пусть $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right.$, $\left.y_{1}, \ldots, y_{k}\right)$ – координать в $\mathbf{R}^{n} \times \mathbf{R}^{k}$. Тогда идеал $\mathbf{m}(k)$ порожден ростками $\tilde{y}_{i}$ (т. е. ростками функций, переводящих $(x, y)$ в $\left.y_{i}\right)$. Следовательно,
\[
\vec{f} \in \mathrm{m}(k) \Leftrightarrow \tilde{f}=\sum_{i=1}^{k} \tilde{y}_{i} \tilde{f}_{i}, \quad \text { где } \tilde{f}_{i} \in \mathscr{E}(n+k) .
\]

Доказательство. Для ростка $\tilde{f} \in \mathscr{E}(n+k)$ выберем представитель $f: \mathbf{R}^{n} \times \mathbf{R}^{k} \rightarrow \mathbf{R}^{k}$, удовлетворяюший условию $f \mid R^{n} \times\{0\}=0$. Тогда
\[
\begin{aligned}
f(x, y) & =\int_{0}^{1} \frac{d}{d t} f(x, t y) d t=\int_{0}^{1}\left(\sum_{i=1}^{k} \frac{\partial f}{\partial y_{l}}(x, t y) \cdot y_{i}\right) d t= \\
& =\sum_{i=1}^{k} y_{i} \cdot \underbrace{\int_{0}^{1} \frac{\partial f}{\partial y_{i}}(x, t y) d t}_{f_{i}(x, y)}=\sum_{i=1}^{k} y_{i} \cdot f_{l}(x, y),
\end{aligned}
\]

где $f_{1}, \ldots, f_{k}$ – дифференцируемые функции.

Эта теорема имеет большое число приложений. Кольцо $\mathscr{E}(n)$ обладает структурой $\mathbf{R}$-алгебры. Дифференцированием $\mathscr{E}(n)$ называется ликейное отображение $X: \mathscr{E}(n) \rightarrow \mathrm{R}$, удовлетворяющее условию
\[
X(f \cdot g)=X(f) \cdot g(0)+f(0) \cdot X(g) .
\]

В частности, $X(1)=X(1 \cdot 1)=X(1)+X(1)$, следовательно, $X(1)=0$ и $X(c)=0$ для любой постоянной функции.

Дифференцирования образуют векторное пространство. Далее, справедливо следующее утверждение.
4.3. Теорема. Отображения $\partial /\left.\partial x_{i}\right|_{0}: \mathscr{E}(n) \rightarrow \mathbf{R}, f \mapsto$ $\mapsto \partial f / \partial x_{i}(0)$ образуют базис векторного пространства дифференцирований $\mathscr{E}(n)$.

Доказательство. Сначала установим линейную независимость. Предположим, что
\[
\left.\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}\right|_{0}=0
\]

тогда
\[
\left.\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \frac{\partial \tilde{x}_{l}}{\partial x_{l}}\right|_{0}=\lambda_{l}=0
\]

Теперь докажем, что векторы $\partial / \partial x_{i}$ lo по $^{\text {порожда }}$ все пространство дифференцирований $\mathscr{E}(n)$. Пусть $X$-некоторое дифференцирование и $X\left(x_{l}\right)=\lambda_{l}$. Torда $\gamma=X-\left.\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}\right|_{0}$ также является дифференцированием и $Y\left(x_{l}\right)=0$. Всякий росток $f \in \mathscr{E}(n)$ можно записать в виде $f=f(0)+\sum \tilde{x}_{i} f_{1}$. Отсюда
\[
\begin{aligned}
Y(\tilde{f}) & =Y(f(0))+\sum_{i} Y\left(\tilde{x}_{l} \cdot f_{l}\right)= \\
& =0+\sum Y\left(\tilde{x}_{l}\right) \cdot \tilde{f}_{l}(0)+\sum \tilde{x}_{l}(0) \cdot Y\left(\tilde{f}_{l}\right)=0 .
\end{aligned}
\]

Следовательно,
\[
X=\left.\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}\right|_{0} .
\]
4.4. Обозначения. Пусть $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)$ (соответственно $\left.(\alpha, \beta)=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \ldots, \beta_{k}\right)\right), \alpha_{i}, \beta_{j} \in \mathbf{N} \cup\{0\}$. Положим
\[
\begin{aligned}
a ! & =\alpha_{1}\left|\ldots \alpha_{n}\right|, \\
0 ! & =1, \\
|\alpha| & =\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{n}, \\
D^{\alpha} f & =\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}} \ldots \partial x_{n}^{a_{n}}} f, \\
D^{\alpha, \beta} f & =\frac{\partial^{|a|+|\beta|}}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}} \ldots \partial x_{n}^{a_{n}} \partial y_{1}^{\beta_{1}} \ldots \partial y_{k}^{\beta_{k}}} f, \\
|\alpha| & =\text { порядок } D^{\alpha}, \\
(x, y)^{\alpha, \beta} & =x_{1}^{\alpha_{1}} \cdot x_{2}^{\alpha_{2}} \ldots x_{n}^{\alpha_{n}} \cdot y_{1}^{\beta_{1}} \ldots y_{k}^{\beta_{k}} .
\end{aligned}
\]
4.5. Теорема. Пусто $\mathfrak{m}(k) \subset \mathscr{E}(n+k)-$ тот же идеал, что $и$ в теорене 4.2. Тогда $\mathrm{m}(k)^{3}=$ $=\left\{f \in \mathscr{E}(n+k)\left|D^{\alpha, \beta} f\right| \mathbf{R}^{n} \times\{0\}=0\right.$ для всех $\quad$ а $u$ всех $\beta$, удовлетворяющих условию $|\beta|<s\}$. Кроме того, идеал $\mathrm{m}(k)^{s}$ порожден мономами
\[
y_{1}^{\beta_{1}} \ldots y_{k}^{\beta_{k}}, \quad|\beta|=s .
\]

Доказательство. По определению, $\mathfrak{m}(k)^{s}=\{f \in$ $E \mathscr{E}(n+k) \mid f=\sum_{\lambda} f_{\lambda_{1}} \ldots f_{\lambda_{s}}$, где $\left.f_{\lambda_{i}} \in \mathrm{m}(k)\right\}$, откуда немедленно следует второе утверждение. Применяя правило дифференцирования произведения, получаем, что
\[
f \in \mathrm{m}(k)^{s} \Rightarrow D^{a, B} f \mid \mathbf{R}^{n} \times\{0\}=0 \text { при }|\beta|<s .
\]

С другой стороны, если $D^{n, \beta} f \mid \mathbf{R}^{n} \times\{0\}=0$ для всех $\beta$, удовлетворяющих условию $|\beta|<s$, то $f \in \mathbb{m}(k)^{s-1}$ (это
доказывается по индукции) и $f=\sum_{|\beta|=s-1} f_{\beta} y^{\beta}$. Достаточно показать, что $f_{\beta} \in \mathfrak{m}(k)$, т. е. $f_{\beta} \mid \mathbf{R}^{n} \times\{0\}=0$ для всех таких $\beta$, что $|\beta|=s-1$. Если для некоторого $\beta_{0}$ имеем $f_{\beta_{0}} \mid R^{n} \times\{0\}
eq 0$, то $D^{0, \beta_{0}} f=$ $=\sum_{\beta} D^{\text {, } \beta_{0}} f_{\beta} \cdot y^{\beta}=\beta_{0} l \cdot f_{\beta_{0}}
eq 0$ на $\mathbf{R}^{n} \times\{0\}$.
4.6. Заметим, что $\mathrm{m}^{k} \subset \mathrm{m}^{l}$ для $k \geqslant l$, и рассмотрим диаграмму

Образ $j^{k-1}(f)$ ростка $\tilde{f} \in \mathscr{E}(n)$ при отображении $j^{k-1}$ называется $(k-1)$-струей ростка $f$ и иногда обозначается через $f$. Факторалгебра $\mathscr{E}(n) / \mathrm{m}(n)^{k}$ называется R-алгеброй ( $k-1)$-струй.

Два ростка определяют (имеют) одну и ту же $k$-струю в начале координат в $\mathbf{R}^{n}$ тогда и только тогда, когда в начале координат совпадают значения всех их частных производных до порядка $k$ включительно. Ясно, что $j^{k}(f)=j^{k}\left(\sum_{|\alpha| \leqslant k} \frac{D^{\alpha} f(0)}{\alpha !} x^{\alpha}\right)$ (в скобках стоит многочлен Тейлора $f$ порядка $k$, в нуле) и два многочлена стеітени $\leqslant k$ имеют одну и ту же $k$-струю в том и только том случае, когда они созпадают.
4.7. Если $f \in \mathfrak{m}(n)^{k}$, то говорят, что росток $f$ имеет гуль порядка $k$ (такой росток \”меет нулевую ( $k-1$ ). струю). Для обозначения ростка, имеющего нуль по рядка $k$, иногда будет употребляться символ $o(k)$.

Мы видели, что всякая $k$-струя представляется многочленом степени $\leqslant k$. Такне многочлены можно складывать и перемножать по обычным правилам, с той только разиицей, что из произведения следует выбрасывать все члены степени $>k$. В частности,
\[
\mathscr{E}(n) / \mathfrak{m}(n)^{k+1}=\mathbf{R}\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right] /\left\langle x_{1}, \ldots, x_{n}\right)^{k+1},
\]

где $\mathrm{R}\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ – кольцо многочленов от переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$, a $\left\langle x_{1}, \ldots, x_{n}\right\rangle^{k+1}$ – идеал, полученный возведением в $(k+1)$-ю степень идеала, порожденного $x_{1}, \ldots, x_{n}$.

Итак, $j^{k}(f)$-многочлен Тейлора $f$ порядка $k$ в нуле.
4.8. Более общим образом, отображение
\[
f \mapsto \sum_{|\beta| \leqslant s}\left(D^{3} \cdot \beta f \mid R^{n} \times\{0\}\right) \cdot \frac{y^{\beta}}{\beta \mid}
\]

индуцирует изоморфизм
\[
\mathscr{E}(n+k) / \mathfrak{m}(k)^{s+1} \cong \mathscr{E}(n)\left[y_{1}, \ldots, y_{k}\right] /\left\langle y_{1}, \ldots, y_{k}\right]^{s+1},
\]

где через $\left\langle y_{1}, \ldots, y_{k}\right\rangle$ обозначен идеал в $\mathscr{E}(n)$-алгебре $\mathscr{E}(n)\left[y_{1}, \ldots, y_{k}\right]$, порожденный $y_{1}, \ldots, y_{k}$.

До сих пор мы не сталкивались с проблемами сходимости. Положим
\[
\mathfrak{m}(k)^{\infty}=\bigcap_{s=1}^{\infty} \mathfrak{m}(k)^{s} \subset \mathscr{E}(n+k) .
\]

По теореме 4.5, росток $f:\left(\mathbf{R}^{n} \times \mathbf{R}^{k}, 0\right) \rightarrow \mathbf{R}$ лежит в $\mathfrak{m}(k)^{\infty}$ в том и только том случае, когда для любого $s \in \mathbf{N}$ существует представление $f=\sum_{1 \beta T_{-}} f_{\beta} y^{\beta}$, т. е. в том и только том случае, когда все ростки $D^{a_{1} \beta_{f}}$ обращаются в нуль на $\mathbf{R}^{n} \times\{0\}$.
4.9. ТеоремА (Борель). Пуств $\mathfrak{m}(k)^{\infty} \subset \mathscr{8}(n+k)-$ идеал, определенный выше. Тогда отображение
\[
f \mapsto \sum_{B}\left(D^{, \beta} f \mid R^{n} \times\{0\}\right) \cdot \frac{y^{B}}{B !}
\]

индуцирует ияоморфизм
\[
\mathscr{E}(n+k) / \mathrm{m}(k)^{\infty} \cong \mathscr{E}(n)\left[\left[y_{1}, \ldots, y_{k}\right]\right] .
\]

Кольцо в правой части этого равенства называется кольцом формалькых степенных рядов от переменных $y_{1}, \ldots, y_{k}$ с коэффициентами в кольце $\mathscr{E}(n)$. При $n=0$ получаем изоморфизм
\[
\mathscr{E}(k) / \mathrm{m}(k)^{\infty} \cong \mathrm{R}\left[\left[x_{1}, \ldots, x_{k}\right]\right\} .
\]

Иными словами, для всякого степенного ряда (необязательно сходящегося) существует функция, ряд Тейлора которой в нуле совпадает с этим степенным рядом.

Доказательство. Отображение $\mathscr{E}(n+k) / \mathfrak{m}(k)^{\infty} \rightarrow$ $\rightarrow \mathscr{E}(n) \llbracket\left(y_{1}, \ldots, y_{k} \rrbracket\right.$ инъективно. Гействительно, если $f \in \mathcal{E}(n+k)$ и $D^{n}$, в $\left\{\mathbb{R}^{n} \times\{0\}=0\right.$ для всех $\beta$, то, по теореме 4.5, $f \in \mathbb{m}(k)^{s}$ для всех $s$. Остается доказать следующее утверждение
4.10. Пусть для каждого $\beta=\left(\beta_{1}, \ldots, \beta_{k}\right)$ sадан росток $\tilde{f}_{\beta}:\left(\mathbf{R}^{n}, 0\right) \rightarrow \mathbf{R}$. Тогда существует такой росток

Для каждого $f_{\beta}$ выберем представитель $f_{\beta}: R^{n} \rightarrow \mathbf{R}$ с компаттным носителем, лежащим в $K(0,1)$. Возьмем фувкцию $\varphi: \mathbf{R}^{k} \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющцю условиям: $0 \leqslant \varphi \leqslant 1, \quad \varphi(y)=1$ при $|y| \leqslant 1 / 2$ и $\varphi(y)=0$ при $|y| \geqslant 1$. Пусть $y=\left(y_{1}, \ldots, y_{k}\right)$. Полажим
(s) $f(x, y)=\sum_{\beta} \frac{f_{\beta}(x)}{\beta t} y^{\beta} \cdot \varphi\left(t_{\beta} \cdot y\right), \quad 1<t_{\beta} \in \mathbf{R}$.

Предположим, что последовательность $t_{\beta}=t_{\mid \beta 1}$ можно выбрать так, чтобы ряд
\[
\sum_{\beta} D^{\alpha}\left(\frac{f_{\beta}(x)}{\beta !} \cdot y^{\beta} \cdot \varphi\left(t_{\beta} \cdot y\right)\right)
\]

равномерно сходился при каждом $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n+k}\right)$. Тогда $f$ была бы корректно ог једелена и дифференцируема и равенство (*) можно было бы дифференцировать почленно. Поскольку росток функции $\varphi\left(t_{\beta} \cdot y\right)$ равен 1, мы получили бы
\[
D^{0, \beta} f \mid \mathbf{R}^{n} \times\{0\}=f_{\beta},
\]

что и требуется доказать. Таким образом, осталось только показать, что найдется достаточно быстро возрастающая последовательность $\left\{t_{\mid \beta_{1}}\right\}$, для которой ряд (**) равномерно сходится при каждом $\alpha$.

Для этого запишем $\beta$-й член ряда (*) в следующем виде $\left(t_{|\beta|}>1\right)$ :
\[
\begin{array}{l}
\left(1 / t_{1 \beta}\right)^{|\beta|} \cdot \frac{f_{\beta}(x)}{\beta !} \cdot\left(t_{|\beta|} \cdot y\right)^{\beta} \cdot \varphi\left(t_{1 \beta \mid} \cdot y\right)= \\
=\left(1 / t_{|\beta|}\right)^{|\beta|} \cdot f_{\beta}(x) \cdot \psi_{\beta}\left(t_{|\beta|} \cdot y\right) .
\end{array}
\]

Функции $\psi_{\beta}$ обращаются в нуль вне множества $\left\{\left|t_{10}\right| \cdot y \mid \leqslant 1\right\}$. Положим теперь
\[
M_{\beta}=\max \left\{\left|D^{\alpha}\left(f_{\beta}(x) \cdot \psi_{\beta}(y)\right)\right|, \quad|\alpha|<|\beta|\right\} .
\]

Заметим, что $\operatorname{supp}\left(f_{\beta} \cdot \psi_{\beta}\right) \subset\{(x, y)|| x|| y \mid, \leqslant 1\}$ и что существует лииь конечное число таких $\alpha$, для которых $|\alpha|<|\beta|$. Следогательно, число $M_{\beta}$ корректно определено.
Так как $t_{|\beta|}>1$, то из $|\alpha|<|\beta|$ следует, что
$\mid \beta-$ й член в $^{\text {в }}(* *) \mid \leqslant\left(t_{|\beta|}\right)^{|\alpha|} \cdot\left(1 / t_{|\beta|}\right)^{|\beta|} \cdot M_{\beta}<M_{\beta} / t_{|\beta|}$ (напоминаем, что $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n+k}\right)$ ). Найдем теперь такую последовательность чисел $\varepsilon_{\beta}>0$, что сходится ряд $\sum_{\beta} \varepsilon_{\beta}$, и возємем $t_{1 \beta 1}>M_{\beta} / \varepsilon_{\beta}$. Окончательно получаем, что при $|\beta|>|\alpha| \beta$-й член ряда (**) мажорируется числом $\varepsilon_{\beta}$.

Қак уже было сказано, формальные степенные ряды образуют кольцо, которое мы обозначили через $R\left[\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]\right]$. Это кольцо будет также обозначаться через $\hat{\mathscr{E}}(n)$, а его элементы – через $\hat{f}, \hat{g}, \ldots$.

B этих обозначениях отображение из теоремы Бореля:
\[
\mathscr{E}(n) \xrightarrow{1-1^{\infty}} \mathscr{E}(n) / \mathfrak{m}(n)^{\infty}=\hat{\mathscr{E}}(n)
\]

задается формулой $\tilde{f} \mapsto f$. Если
\[
f=\sum_{a} f_{\alpha} x^{\alpha}, \quad \hat{g}=\sum_{\alpha} g_{\alpha} x^{a}, \quad \text { где } f_{\alpha}, g_{a} \in \mathbf{R},
\]

To
\[
\begin{aligned}
\hat{f}+\hat{g} & =\sum_{\alpha}\left(f_{\alpha}+g_{\alpha}\right) x^{\alpha}, \\
\hat{f} \cdot \hat{g} & =\sum_{\alpha}\left(\sum_{\beta+\gamma-a} f_{\beta} \cdot g_{\gamma}\right) x^{\alpha} .
\end{aligned}
\]

Если $f \in \mathscr{E}(n)$, то $j(f)=j^{\infty}(f)=f$ называется струей (или $\infty$-струей) ростка $\tilde{f}$ в нуле.
4.11. Отображение $\mathscr{E}(n) \rightarrow \hat{\mathscr{E}}(n)$-гомоморфизм алгебр.
Докажем, например, что
\[
(f \cdot g)^{\curvearrowleft}=f \cdot \hat{g} .
\]

Для любого $k$ мы можем написать
\[
\hat{f}=p+m, \quad \hat{g}=q+r .
\]

где $p$ и $q$-многочлены и $m, r \in \mathfrak{m}(n)^{k+1}$.
Отсюда $f \cdot \hat{g}=p \cdot q+m_{1}$, где $m_{1} \in \mathrm{m}(n)^{k+1}$. Следовательно,
\[
(f \cdot g)^{\wedge}=(p \cdot q)^{\wedge}=p \cdot q \bmod m(n)^{k+1},
\]

поскольку при разложении в ряд Тейлора любого многочлена мы получаем тот же многочлен.
4.12. Кольцо $\hat{\mathscr{E}}(n)$ обладает едикственным максимальным идеалом $\widehat{\mathrm{m}}(n)$, где
\[
\hat{m}(n)=\{f \in \hat{\mathscr{E}}(n) \mid \hat{f}(0)=0\} .
\]

Если $f
otin \hat{m}(n)$, то $f=f_{0} \cdot\left(1-f_{1}\right)$, где $f_{1} \in \hat{m}(n)$ и $0
eq f_{0} \in \mathbf{R}$, что дает возможность написать следующий степенной ряд:
\[
\frac{1}{f}=\frac{1}{f_{0}} \cdot\left(1+f_{1}+f_{1}^{2}+\ldots\right)
\]
(который еще нужно упорядочить по возрастанию степеней мономов).

Следовательно, $f
otin \hat{m}(n) \Rightarrow f$ – обратимый элемент $\hat{\mathscr{E}}(n)(\Rightarrow \tilde{f}$ – обратимый элемент $\mathscr{E}(n))$.

4.13. Ндеал $\hat{\mathrm{m}}(n)$ порожден элементами $x_{1}, \ldots, x_{n}$ (каждый моном делится на некоторый из элементов $\left.x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$. Наконец,
\[
\hat{\mathfrak{m}}(n)^{\infty}=\bigcap_{s=1}^{\infty} \hat{\mathfrak{m}}(n)^{s}=\{0\},
\]

поскольку всякий отличный от нуля степенной ряд имеет порядок, определяемый как наименьшее из $k \in \mathrm{N} U\{0\}$, таких, что в разложении $\hat{f}=\sum_{\beta} f_{\beta} x^{\beta}$
\[
f_{\beta}
eq 0 \text { при }|\beta|=k \text {. }
\]
9.сно, что
\[
\text { порядок }(f \cdot \hat{g})=\text { порядок }(\hat{f})+\text { порядок }(\hat{g})
\]
(по определению, порядок $(0)=\infty$ ).
Если $\hat{f} \in \hat{\mathrm{m}}(n)^{k}$, то порядок $(\hat{f}) \geqslant k$. Поэтому если $f \in \hat{\mathfrak{m}}(n)^{\infty}$, то для любого $k$ порядок $(f) \geqslant k$, т. е. $f=0$.
Следующий результат менее тривиален.
4.14. Кольцо \& (n) нётерово и факториально (последнее означает, что в $\mathscr{E}(n)$ нет делителей нуля и однозначно разложение на простые множители) (см. Бурбаки!).

Для $\mathscr{\delta}(n)$ ни одно из этих свойств не выполняется. Действительно, идеал $\mathrm{m}(n)^{\infty} \subset \mathscr{E}(n)$ не является конечно порожденным. (Доказательство этого факта мы предоставляем читателю в качестве упражнения, которое не совсем тривиально, поскольку идеал $\hat{\mathrm{m}}(n)^{\infty}$ равен нулю и, следовательно, конечно порожден. Однако это докязательство легко получить, воспольsовавиись следугоиен теоремой.)
4.15. Творема (лемма Накаямы). Пусть $\mathscr{R}-$ комнутатиное кольцо сединцей, обладающее единственнын, максилалькым идеалом ш. Пусть $A$-комечно поромс денный $\mathscr{R}$-нодуль. Тогда из равенства м $A=A$ вытекает что $A=0$.

Следствие. Пусть выполнены те же предположения о кольце $\mathscr{R} и$ модуле $A$, и пусть $в$ и $С$-такие $\mathfrak{R}$ модули, что $A, B \subset C$ и
\[
A \subset B+\mathfrak{m} A \text {. }
\]

Toгдa $A \subset B$.
Доказательство следствия. Из $А \subset B+\mathfrak{m} A$ вытекает, что
\[
A /(A \cap B) \subset(B+\mathfrak{m} A) / B=\mathfrak{m}(A /(A \cap B)) .
\]

По лемме Накаямы $A /(A \cap B)=0$, значит,
\[
A=A \cap B, \quad \text { т. е. } A \subset B \text {. }
\]

Доказательство теоремы. Докажем, что если $z \in \mathfrak{m}$, то элемент $1+z$ обратим (это все, что мы будем испольэовать). Действительно, в противном случае $1+$ $+z \in m$ (так как элемент $1+z$, будучи необратимым, должен лежать в каком-нибудь максимальном идеале), откуда $1 \in \mathfrak{m}$. Пусть $a_{1}, \ldots, a_{n}$ – образующне $A$ над $\mathscr{R}$. Тогда, по условию теоремы, существуют такие $z_{i j} \in \mathfrak{m}$, что
\[
a_{i}=\sum_{i=1}^{n} z_{i j} a_{j}
\]

Обозначим ( $n \times n$ )-матрицу $\left(z_{i \ell}\right)$ через $Z$. Тогда наши соотношения примут вид $a=Z a$, т. е. $(Z-1) a=0$, где 1 – единичная ( $n \times n$ )-матрица.

Далее, $\operatorname{det}(Z-1)$ есть значение характеристического многочлена матрицы $Z$ в точке 1 и, следовательно, равно $( \pm 1+$ сумма произведений элементов матриць $Z$ ), т. е. равно $\pm 1+\bar{z}$, где $\bar{z} \in m$. Следовательно, элемент $\operatorname{det}(\bar{Z}-1)$ обратим, матрица ( $Z$-..1) также обратима (правило Крамера), откуда $a=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)=0$ и $A=0$.

Если $\mathscr{R}=\hat{\mathscr{E}}(n)$, то условию леммы Накаямы удовлетворяет любой ндеал $A$, ибо кольцо $\hat{\mathcal{E}}(n)$ нётерово. Однако в $\mathscr{E}(n)$ не всякий идеал конечно порожден,

Возвращаясь к кольцам, которые мы изучали, положим
$\mathscr{E}(n, p)=$ кольцо ростков $\left.\left(\mathbf{R}^{n}, 0\right) \rightarrow \mathbf{R}^{p}\right)=$
\[
=\mathscr{E}(n) \times \mathscr{E}(n) \times \ldots \times \mathscr{E}(n) \text { (р сомножителей.) }
\]

Аналогично положим
\[
\hat{\mathscr{E}}(n, p)=\hat{\mathscr{E}}(n) \times \hat{\mathscr{E}}(n) \times \ldots \times \hat{\mathscr{E}}(n) .
\]

Имеется отображение $j: \mathscr{E}(n, p) \rightarrow \hat{\mathscr{E}}(n, p)$, определяемое формулой
\[
j\left(\tilde{f}_{1}, \ldots, \tilde{f}_{p}\right)=\left(f_{1}, \ldots, f_{p}\right) .
\]

Для ростков
\[
\left(R^{n}, 0\right) \xrightarrow{f}\left(R^{\dot{p}}, 0\right) \xrightarrow{\tilde{g}} R^{q}
\]

можно определить композицию $\tilde{g} \circ \tilde{f}:\left(R^{n}, 0\right) \rightarrow R^{q}$. То же верно и для формальных степенных рядов: если
\[
\begin{array}{ll}
\hat{f}=\left(\hat{f}_{1}, \ldots, f_{p}\right), & \hat{f}_{i} \in \hat{\mathrm{m}}(n), \\
\hat{g}=\left(\hat{g}_{1}, \ldots, \hat{g}_{q}\right), & \hat{\mathrm{g}}_{l} \in \hat{\mathscr{E}}(p),
\end{array}
\]

то композиция $\hat{g} \circ f \in \hat{\mathscr{E}}(n, \eta)$ определяется формулой
\[
(\hat{g} \circ f)_{i}=g_{i}\left(f_{1}(x), \ldots, f_{0}(x)\right) .
\]

Равенстзо $(g \circ f)^{\wedge}=\hat{g} \circ f$ есть обобщенное цепное правило (обобщенное правило дифференциғования композиции отображеннй). (Доказательство этого правила подобно доказательству формулы $(f \cdot g)^{\wedge}=f \cdot g$.)

Всякий элемент $f \in \overparen{\mathscr{E}}(n, p)$ можно почленно диффференцировать по любой из переменных. Матрица Якоби $D f(0)$ определяется ликейной частью $f$. Справедлива теорема об обратной функции.
4.16. Теорема. Элемент $f \in \hat{\mathscr{E}}(n, p)$, удовлетворяющий условию $f(0)=0$, обратим относительно операции в том и только в том случае, когда обратима матрица Df (0) (в частности, $n=p$ ). Нейтральным элементом в $\hat{\mathscr{E}}(n, n)$ относительно этой операции является следующая строка из формальных степенных рядов: $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$.
Доказательство. Если $f \circ \hat{g}(x)=x$, то $D f(0)$.
– $D \hat{g}(0)=1$, следовательно,
элемент $f$ обратим $\Rightarrow$ матрица $D \hat{f}(0)$ обратима
(функториальность матрицы Якоби!).
Предположим, что матрица $D f(0)$ обратима. Выберем $\tilde{f} \in \mathscr{E}(n, n)$ так, что $j(\tilde{f})=f$. Тогда $f^{-1} \circ \tilde{f}(x)=$ $=x, \tilde{f} \circ \tilde{f}^{-1}(y)=y$. Следовательно,
\[
f^{-1} \circ f(x)=x, \quad f \circ f^{-1}(y)=y .
\]

Не следует принимать это доказательство слишком всерьез: эта теорема справедлива над любым полем и гораздо проще, чем теорема об обратной функция (см. Бурбаки).

Дифференцируемый росток $f:\left(\mathbf{R}^{n}, 0\right) \rightarrow\left(\mathbf{R}^{p}, 0\right)$ определяет гомоморфизм алгебр
\[
\begin{aligned}
f^{*}: \mathscr{E}(p) & \rightarrow \mathscr{E}(n), \\
\tilde{\varphi} & \mapsto \tilde{\varphi} \circ \tilde{f},
\end{aligned}
\]

и $\infty$-струя $f \in \hat{\delta}(n, p)$, такая, что $f(0)=0$, определяет соответствуюгий гомоморфизм
\[
\begin{aligned}
f^{*}: \mathscr{E}(p) & \rightarrow \hat{\mathscr{E}}(n), \\
\hat{\varphi}\left(y_{1}, \ldots, y_{p}\right) & \mapsto \hat{\varphi}\left(f_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \ldots, f_{p}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) .
\end{aligned}
\]

Гомоморфизм колец $f^{*}$ позволяет превратить $\mathscr{E}(n)$ в модуль над $\mathscr{E}(p)$ : для $\tilde{\varphi} \in \mathscr{E}(p)$ и $\tilde{\psi} \in \mathscr{E}(n)$ положим
\[
\tilde{\varphi} \cdot \tilde{\psi}=f^{*}(\tilde{\varphi}) \cdot \tilde{\psi}=(\tilde{\varphi} \circ \tilde{f}) \cdot \tilde{\psi} \in \mathscr{E}(n) .
\]

То же верно и для $f^{*}$.
Следующие две главы будут посвящены изучению этих структур модулей. В частности, нас будет интересовать связь между $f^{*}$ и $f^{*}$, а также решение такого вопроса: для каких $f$ модуль $\mathscr{E}(n)$ конечно порожден над $\mathscr{E}(p)$ ?

Вот простой предварительный результат в этом направлении.
4.17. ЗАмечАние. Пусть $f:\left(\mathbf{R}^{n}, 0\right) \rightarrow\left(\mathbf{R}^{p}, 0\right)-\partial u \phi$ ференцируемый росток. Тогда следующие утверждения равносильны:
(i) $\tilde{f}$ обратим,
(ii) $f^{*}$ – ияоморфиям,
(iii) $f^{*}$ – изоморфиям.
Доказательство. Ясно, что $(g \circ f)^{*}=f^{*} \circ g^{*}$ и id $=\mathrm{id}$, поэтому \” является функтором, переводящим изомсрфизмы в изоморфизмы. Следовательно, (i) $\Rightarrow$ (ii), (iii).

Обратно, гомоморфизм алгебр $f^{*}: \mathscr{E}(p) \rightarrow \mathscr{E}(n)$ определяет гомоморфизм $d(f)$ векторного пространства дифференцирований $\mathscr{E}(n)$ в векторное пространство дифференцирований $\mathscr{E}(p)$, действующий по формуле
\[
d(f)(X)=X \circ f^{*}: \mathscr{E}(p) \rightarrow \mathbf{R} .
\]

Посмотрим, как действует $d(f)$ на канонический базис в пространстве дифференцирований:
\[
\begin{aligned}
d(f)\left(\left.\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right|_{0}\right)(\tilde{\varphi}) & =\left.\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right|_{0}\left(f^{*} \tilde{\varphi}\right)= \\
& =\left.\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right|_{0}(\tilde{\varphi} \circ \tilde{f})= \\
& =\sum_{j} \frac{\partial \varphi}{\partial y_{j}} \cdot \frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}}(0) .
\end{aligned}
\]

Таким образом, $d(f):\left.\left.\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right|_{0} \mapsto \sum_{i} \frac{\partial f_{f}}{\partial x_{i}}(0) \cdot \frac{\partial}{\partial y_{l}}\right|_{0} \cdot$
Следовательно, матрица $d(f)$ в каноническом базисе совпадает с матрицей Якоби ( $\left.\frac{\partial f_{l}}{\partial x_{i}}(0)\right)$. Так как $f^{*}$ – изоморфизм, то и $d(f)$ – изоморфнзм. Значит, матри’иа $D f$ обратима, и, следовательно, росток $f$ обратим. Аналогично доказывается (iii) $\Rightarrow$ (i).

4.18. Упражнения. 1. Пусть $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}-$ дифференцируемая функция, такая, что росток $f:\left(\mathbf{R}^{n}, 0\right) \rightarrow \mathbf{R}$ принадлежит $\mathfrak{m}(n)^{\infty}$. Докажите, что функция $g: R^{n} \rightarrow \mathbf{R}$, равная нулю в точке 0 и определяемая формулой $g(x)=f(x) /|x|$ при $x
eq 0$, дифференцируема.
2. Пусть $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}-$ дифференцируемая функция, такая, что $f(x)=f(-x)$ для всех $x \in R$. Докажите, что существует и единственна дифференцируемая функция $g: \mathbf{R}_{+} \rightarrow \mathbf{R}$, такая, что $f(x)=g\left(x^{2}\right)$.
3. Пусть $f:(R, 0) \rightarrow(R, 0)$ – дифференцируемый росток. Покажите, что $f \in \mathfrak{m}(1)^{k}, f
otin \mathfrak{m}(1)^{k+1}$ в том и только том случае, когда ндйдется обратимый росток $h:(\mathbf{R}, 0) \rightarrow(\mathbf{R}, 0)$, такой, что
\[
f \circ h(x)= \pm x^{k} \text {. }
\]
(Этот результат дает полную классификацию ростков с ненулевой струей относительно правой эквивалентности! См. 11.1.)
4. Докажите, что если $f:\left(R^{n}, 0\right) \rightarrow\left(R^{p}, 0\right)$ – такой росток, что гомоморфизм $f^{*}: \mathscr{\mathscr { ~ }}(p) \rightarrow \mathscr{E}(n)$ сюръекти. вен, то $f$ – нммерсия.