Литература: A. N. Godwin, Three dimensional pictures for Thom’s parabolic umblic, IHES Publ. Math., 40 (1971), 117-188.
G. Wassermann, Stability of untoldings, Dissertation, Regensburg 1973, Springer Lecture Notes, 393 (1974). G. Wassermann, $(r, s)$-stability of unfoldings, preprint.

Напомним, что теория элементарных катастроф по самой своей природе локальна. Эта теория рассматривает семейство потенциальных функций $V_{n}: X \rightarrow R$, где $X$ – подмиожество в $\mathrm{R}^{n}$, содержащее векоторую окрестность начала координат, а параметр $\boldsymbol{u}$ пробегает открытое множество $U \subset R^{r}$. Можно счнтать, что $X=\mathbf{R}^{n}$. Каждая отдельная катастрофа определяется ростком $\eta \in \mathbb{m}(n)^{2}$, который включается в росток деформации $(r, f), f \in \mathrm{m}(n+r)$.

Координаты в $\mathbf{R}^{\prime}$ будут попеременно называться пибо параметрами деформауии ท, либо өкешними параметрами модели.

Определения. Локальнын релинои в точке $u \in U$ назввается любая из точек локального минимума функции $f / R^{n} \times\{u\}$.

Процессом (простейшая ннтерпретация), связанным c ростком $\eta$ (или $f$ ), называется такое сечение $s$ расслоения $\mathbf{R}^{n} \times U \rightarrow U$, что точка $(s(u), u)$ есть либо локальни режим, либо бесконечиость. Это сечение должно бкть определено на отхрытом плотном подмножестве.

Празилои пазывается способ сопоставления деформации $f$ некоторого процесса, связанного с $f$.

Peеуларкои rочко процесса s называется такая точка $u \in U$, в которой сечение $s$ определено и непрерывно в некоторой окрестности рассматриваемой точки. Эквивалентное определение регулярной точки: существует сохраняющий слои гомеоморфизм прообраза некоторой окрестности такой точки, переводящий $s$ в постоянное сечение.

Точкой катастрофы называется любая нерегулярная точка в $U$.

Морфологией катастрофы или множеством катастроф называется множество всех точек катастрофы. При изучении геометрии особенности $\eta$ с помощью ее деформации $f$ первое важное множество- это
\[
\Sigma_{f}=\left\{(x, u) \in \mathbb{R}^{n} \times U \mid d_{x} f(x, u)=0\right\},
\]

где
\[
d_{x} f(-, u)=D\left(f \mid \mathbf{R}^{n} \times\{u\}\right) .
\]

При каждом фиксированном $u$ среди точек $\Sigma_{f}$, лежащих в $\mathbf{R}^{n} \times\{u\}$, находятся как локальные минимумы функции $f / \mathbb{R}^{n} \times\{u\}$ (т. е. режимы), так и ее локальные максимумы. Рассмотрим далее множество
\[
\Delta_{f}=\left\{(x, u) \in \Sigma_{f} \mid \text { форма } d_{x}^{2} f(x, u) \text { вырокденна }\right\}
\]

и его образ $D_{f}=\pi\left(\Delta_{f}\right)$ при проекции $\pi: \mathbf{R}^{n} \times U \rightarrow U$. Точки множества $D_{f}$-важные кандидаты на роль точек катастрофы.

Что же касается правил, то рассмотрим два основных из них. Правило Максвелла предпиывает взять в качестве $s(u)$ такую точку, в которой $f / \mathbf{R}^{n} \times\{u\}$ достигает наименьшего из минимумов. Поскольку одним из значений этого минимума может оказаться $-\infty$, правилом Максвелла лучше пользоваться тогда, когда $f$ имеет конечные минимумы. Ясно, что точки катастрофы возникают тогда, когда $f \mid \mathbf{R}^{n} \times\{u\}$ достигает абсолютного минимума в двух различных местах.

В случае когда $U$ – подмножество в многообразии пространство-время, мы сформулируем еще одно правило при следующем дополнительном предположенин: $U$ расслоено на неособые одномерные подмногообразия, называемые өременкьіми криоыми. Каждая из них занимает в пространстве фиксированное положение и параметризована временем. Координаты локальной модели вовсе не должны быть локальными декартовыми координатами в многообразии пространство-время.

Правило минимального отставания ‘) предписывает сечению $s$ оставаться непрерывным столь долго, сколь это будет возможно. Это означает, что вдоль временныхх кривых $s(u)$ должно быть непрерывным семейством точек минимума до тех пор, пока эти минимумы не исчезнут. Только в этот момент $s$ должно перескочить к другому семейству точек минимума.

Существуют и другие, более тонкие определения процесса. Одно из них, весьма обьчное в работе Зимана, состоит в том, что каждому гладкому пути $\tau$, лежащему в $U$, сопоставляется сечение $s_{\tau}$ расслоения $\mathbf{R}^{n} \times \tau \rightarrow \tau$, такое, что точка $\left(s_{\tau}(u), u\right)$ есть либо локальный режим, либо бесконечность. При такой схеме каждый путь имеет направление, в котором возрастает параметр, и правило миннмального отставания действует вдоль каждого пути: $s_{\tau}$ остается вдоль каждого пути непрерывным столь долго, сколь это возможно. При этом описании мы столь же вольно обращались с моделями Зимана, сколь в предыдущем – с моделями Тома.
Теверь мы опишем семь элементарных катастроф.
Складка
\[
\text { Деформация: } \begin{aligned}
f(x, u) & =x^{3}+u x, \\
\Sigma_{f} & =\left\{\left(x, u j \mid 3 x^{2}+u=0\right\},\right. \\
\Delta_{f} & =\{(0,0)\}, \\
D_{f} & =\{0\} .
\end{aligned}
\]

Нарисуем график $f$. При отрицательных значениях $u$ функция $f$ имеет один локальный минимум, а при
1) В оригинале: perfect-delay convention. – Прих. переe.

положительных $\boldsymbol{u}$ вовсе не имеет локальных минимумов (рис. 1). Множество $\Sigma_{/}$в $(x, u)$-плоскости изо-
Рис. 1.
Рис. 2.

бражено на рис. 2. Ясно, что при положительных значениях $u$ процесс $s$ может быть только в бесконечности, а при отрицательных $и$ значение $s(u)$ равно либо $-\sqrt{-и / 3}$, либо бесконечности. Таким образом, если $и$ – временна́я коорднната, то мы можем представлять себе некое явление, описьваемое параметром $x$, которое до момента $u=0$ находится в состоянии, sадаваемом формулой $x=-\sqrt{-u / 3}$, а в момент $u=0$ скачком переходит в некоторое другое состояние, не овисывдемое рассматриваемой локальной модельо (отсюда, конечно, не следует, что это явление вообще исчезает).

Характерная особенность этой модели – быстрое изменение параметра $x$ в моменты, предшествующие псчезновению локального режима.
Coopra
Деформация: $f(x, u, v)=x^{4}-u x^{2}+v x$,
\[
\begin{array}{l}
\Sigma_{f}=\left\{(x, u, v) \mid 4 x^{3}-2 u x+v=0\right\}, \\
\Delta_{f}=\left\{(x, u, v) \in \Sigma_{f} \mid 12 x^{2}-2 u=0\right\}, \\
D_{f}=\left\{(u, v) \mid 27 v^{2}=8 u^{3}\right\} .
\end{array}
\]

В этом случае мы нарисуем $\Sigma_{f}$ (pис. 3 , по Зиману). Каждой точке $(u, 0)$-плоскости соответствует график, нзображающий зависимость $f$ только от $x$. Различные возчожности представлены на рис. 4 (вамена о на – о отражает каждую маленькую картинку относительно вертикальноћ оси). На рис. 4 положительный луч оси иято тап пазнвемое множестоо Максвелла, на котором провсходит переключение в ту точку минимума, в которон зичение функции меньше. Исчезновение точек минимуиа вроисходит в момент нересечения линий сборки. График процесса, построенного по правилу Максвелла, изображен на рис. 5.

Один из процессов, построениых по правилу минимального отставания, показан на рис. 6. Множество гатастроф совпадает с линией сборки, пока өремениа́я кривая не коснется кривой сборки.

Pиc. 8.

На рис. 7 показаны две модели, которье возможны, если понимать кпроцесс» как сопоставление каждому
Рис. 7.

гладкому пути сечения над этим путем, удовлетворяющего правилу минимального отставания.
Ласточкин хвост
Деформация: $f(x, u, v, w)=x^{5}+u x^{3}+v x^{2}+v x$,
\[
\begin{array}{r}
\Sigma_{f}=\left\{(x, u, v, w) \mid 5 x^{4}+3 u x^{2}+2 v x+w=0\right\}, \\
\Delta_{f}=\left\{(x, u, v, w) \in \Sigma_{f} \mid 20 x^{3}+6 u x+20=0\right\}, \\
D_{f}=\left\{(u, v, v) \mid \exists x: 5 x^{4}+3 u x^{2}+2 v x+w=0\right. \text { и } \\
\left.20 x^{1}+6 u x+2 v=0\right\} .
\end{array}
\]

В этом случае $D_{l}$ имеет вид, показанный на рис. 8 . Распределение режимов для положительных и отрицательных значений $и$ показано на рис. 9 и 10. Для отрицательных $и$ ситуацию проясняет рис. 11 в $(x, v, w)$ пространстве.

Pic. Il.

Если время течет параллельно оси $ш$, то правило минимального отставания дает множество катастроф, показанное на рис. 12. Мы предполагаем, что система
Рис. 12.

начинает свое существование с локального режима, а не с $-\infty$.
Гиперболическая омбилическая точка
Деформация: $f(x, y, u, v, w)=x^{3}+y^{3}+w x y-u x-v y$,
\[
\begin{array}{l}
\Sigma_{f}=\left\{(x, y, u, v, w) \mid 3 x^{2}+w y-u=3 y^{2}+w x-v=0\right\}, \\
\Delta_{f}=\left\{(x, y, u, v, w) \in \Sigma_{f} \left\lvert\, \operatorname{det}\left[\begin{array}{cc}
6 x & w \\
w & 6 y
\end{array}\right]=0\right.\right\}, \\
D_{l}=\left\{(u, v, w) \mid \exists(x, y): u=3 x^{2}+w y, v=3 y^{2}+w x\right. \text { и } \\
\left.w^{2}=36 x y\right\} .
\end{array}
\]

При фиксированном ш множество $\Sigma_{f}$ определяет отображение $\mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}^{2}:(x, y) \mapsto(u, v)=\left(3 x^{2}+w y, 3 y^{2}+w x\right)$, и пересечение множества $D_{f}$ с плоскостью $\{w=$ const $\}$ совпадает с множеством критических значений этого отображения.

При $w=0$ это отображение похоже на сложенный носовой платок (рис. 13), а при $\boldsymbol{0}
eq 0$ оно становится. менее вырожденным (рис. 14).
Pac. 13.
В $(u, 0, w)$-пространстве множество $D_{1}$ симметрично относительно ( $(, 0)$-плоскости. Половина $D_{f}$ нзображена на рис. 15.
Рис. 14.
При $w=0$ мы даем на рис. 16 графих $f$ для положительных $u=0$ и для отрнцательных $u \equiv 0$. При

Рис. 15.

Pис. 16.

тщательное изучение показывает, что всегда есть по меньшей мере один конечный локальный режим, который находится на той стороне поверхности рис. 15 , которая содержит квадрант $w=0, u, v>0$.
Оллиттическая омбнлическая точка
Деформация: $f(x, y, u, v, w)=\frac{x^{3}}{3}-x y^{2}+w\left(x^{2}+y^{2}\right)-$ – ux-оy. Эта замена координат упрощает уравневие $D_{r}$
\[
\begin{aligned}
D_{1}=\{(u, 0, w) \mid \exists(x, y): u & =x^{2}-y^{2}+2 w x, \\
0 & \left.=-2 x y+2 v y, x^{2}+y^{2}=w^{2}\right\} .
\end{aligned}
\]

Если мы рассмотрим в С коордннаты $z=x+l y$ и $u+i 0$, то увидим, что при фиксированном о множество
Рис. 17.:
$D_{f} \cap\{w=$ const $\}$ есть образ окружности $|z|=|w|$ при отображении $(x, y) \rightarrow(u, v)=\left(x^{2}+y^{2}+2 w x, 2 w y-2 x y\right)$, которое цожно записать в виде $z=\bar{z}^{2}+2 w z$.

Рис. 19.

рие 20.

При $w=1$ мы получаем кривую $2 e^{t \theta}+e^{-21 \theta}$ (рис. 17) Следовательно, $D_{1}$ выглядит так, как. показано на рис. 18.

Мы видим, что есть только один локальный режим, и он лежит внутри $D_{f}$ при $w>0$. При $u=v=w=0$ график $f(x, y)$ – это так называемое кобезьянье седло». Вдоль должным образом выбранной линии, близкой к оси и лежащей внутри $D_{f}$, это седло деформируется так, как показано на рис. 19 , где изображены линии уровня (пунктирные линии соответствуют положительным значениям, сплощные – отрицательным или нулю).
Бабочка
Деформация: $f(x, u, 0, w, t)=x^{6}+t x^{4}+u x^{3}+o x^{2}+w x$. Рисунок, на котором мы язобразим множество $D_{p}$, будет похож на часы. При фиксированных $(u, t)$ пере-
Рис. 22.

сечение $D_{f}$ с плоскостью ( $v, \boldsymbol{w}$ ) образует кривую. Нарисовав эти кривые при значеннях параметров $(u, t)$, пробегающих единичный круг, мы получим рис. 20.

Кривая с точкой возврата в плоскости $(u, t)$ – это линия ласточкиных хвостов, т. е. геометрическое место точек, в которых пронсходит катастрофа класточкин хвост. Поверхность $D_{f}$, соответствующая линии $L$, показана на рис. 21 .

Распределение локальных режимов для картинки $A$ показано на рис. 22. Этит рисунок полностью описывает ситуацию; например, распределение режимов для картинки $B$ показано на рис. 23.
Рис. 23.
Параболическая омбилическая точка

Деформация: $f(x, y, u, v, w, t)=$
\[
=x^{2} y+y^{4}+w x^{2}+t y^{2}-u x-v y .
\]
«Часы» показаны на рис. 24. По-видимому, этот ри сунок Впервые сделал Шансине (Chenciner A.). Подробное изложение с большим количеством-дополнительной информации и рисунков можно найти в статье Годвина.
Вот объяснение различных кривых в (w, $t$ )-плоскости: линия изолированных точек: появляется изолированная точка;
линия пересечения:
гиперболическая линия: пересекаются различные части $D_{t}$; центры гиперболических омбилических точек; центры эллиптических омбилических точек; раздвоение точек сборки двух ласточкиных хвостов; линия ласточкиных хвостов: центры появления. двух ласточкиных хвостов;

Pиc. 24.

Рис. 25.

Число локальных режимов указано на рис. 25.
Деформации более высоких размерностей
Мы привели изображения деформаций минимальной размерности. Но, напрнмер, $f(x, u, v, v)=x^{4}-$ ства $\Sigma, \Delta$ и $D$ являются прямыми произведениями на ось $w$ соответствующих миожеств для обычной деформации точки сборки. Действнтельно, всякое дописывание повьх перемениы превращает уннверсальную деформацию в версальную. Приведенная выше деформация сборки экввалентна следующей:
\[
f(x, u, v, w)=x^{4}-\left(u-w^{2}\right) x^{2}-v x,
\]

дли хоторой $D$, пмеет вид, показанный на рис. 26. Если $u$ – время, то плоскости с постоянным значением вре-

Рис. 26.
мени пересекают $D_{f}$ так, как это показано на трех хартинках. Вероятно, существует правило, для которого $D_{\text {, }}$ является множеством катастроф.
Времениа́я устойчнвость
Обсуждавшаяся выше элементарная теория катастроф опирается на классификацию устойчивых ростков с точностью до некоторой эквивалентности. Эквивалентность определяется с помощью правых и левых замен координат (в образе и в прообразе). Детали читатель может найти в диссертации Вассермана.

Характерной особенностью этого отношения эквнвалентности является то, что разрешается брать росток произвольного диффеоморфизма множества Up Вас-

Рис 27.

сермав (вторая цитированная в начале главы работа) рассмотрел задачи, которые возникают, когда на диффеоморфизмы $U$ накладываются ограничения. Предположим, что $U$ расслоено на подпространства с одинаковым зиачением времени, т. е. на $U$ введены координаты, в которых одна из осей представляет время. Будем разреш ать только такие диффеоморфизмы $U$, которые переводят каждый слой с постоянным значением времени в другой такой слой. Отображения, эквив алентние с точки зрения этого нового, более ограничительного определения, называются $t$-эквивалент ныни, а соответствующее понятие устойчивости называется $t$-yстойtuвостью. Теперь можно поставить задачу классификации $t$-устоичивых функций. Список таких функций более обширен, чем список элементараых катастроф, но все-таки конечен в малых размершостях. Вот одна из $t$-устойивых деформаций сборки:
\[
f(x, u, v, t)=x^{4}+u x^{2}+t x+u x+v^{2} x .
\]

Разумеется, роль времени играет координата $t$. Если мялть в качестве $t=t(u, v, w)$ функцию, нулевая линия которой касается кривой сборк и на рис. 26 и трансверсальна оси $и$, то деформация, к которой относится рис. 26, не будет $t$-устойчивой.

Вид $D$, показан на рис. 27 ; там же показаны пере сечеиня $D_{f}$ с плоскостями $t=$ const.

Кошха довит мышь
«…Для животного наиболее важным регулирующим процессом является пнтание, т. е. восстановление запасов химической энергии. Этот процесс пернодичен, поэтому он описывается петлей, которую мы назовем петлей охоты.

Здесь мы встречаемся с основной трудностью. Охота предполагает наличне добычи, т. е. объекта, внешиего по отношению к самому животному. Питаиие – в своей основе – это поглощение добычи бжертвр) организмом (как яспо видно на примере фагоцитоза одноклеточных). Следовательно, при описании петли охоты мы должны использовать простейшую из катастроф захвата, а именно катастрофу Римана-Гюгонио. Петлей охоты служит в этом случае единичный круг в плоскости Оиv параметров деформации $V=x^{4} / 4+u x^{2} / 2+v x$. Этот круг пересекает 6 ифуркационную кривую $4 u^{3}+27 v^{\prime}=0$ в двух точках $j$ и $K$. В точке $J$ появляется новый минимум, новое действующее лицо. В точке $K$ этот новый минимум ловит старый, точка $K$ – катастрофа захвата. Но если мы продолжаем описывать единичный круг, то видим, что после одного оборота хищник – в голодном со стоянии – превращается в эсертву. Это, на первый взгляд, парадоксальное утверждение может служить объяснением многих фактов из мифологии (оборотень), из этнологии (охотничьи ритуалы, в которые обычно входит исполнение охотником роли жертвы) и из магии.о.\”
Из работы P. Тома
«Глобальная динамическая схема
эмбриологии позвоночных»
(A global dynamical scheme for vertebrate embryology).