Литература: та же, что х гл. 5.

6.1. Опрвделвнив. Дифференцируемыи росток f: $(\mathbf{R}\times {\mathbf{R}}^n,0)\to \mathrm{R}:(t,x)\to f(t,x)$ называетея $p$-ревулярных относительно координаты $t$, если $f(R)\times (0)$ a $=m(1{)}^{p}otinm(1{)}^{p+1}$. Другими словами,
$$\begin{array}{c}f(0,0)-\frac{\partial }{\partial t}l(0,0)-\dots -\frac{{\partial }^{o-1}}{\partial t^{p-1}}\mathcal{l}(0,0)=0,\\ \frac{{\partial }^p}{\partial t^p}T(0,0)eq0.\end{array}$$

В термитах струи ростка $f$ это условие овначает, что $f(t,0)=a{t}^p+$ (члены более высокого порядка), $aeq0$. то существуют линейный автоморфиэм $h$ простран: ства $R^{n+1}$ и целое число $\rho$, такив, что росток $f\circ \overline{h}$ p-регуяярен. В качестве $p$ молно выбрать число, определяемое условиями $f\in \mathrm{m}(n+1{)}^p,fotin\mathrm{m}(n+1{)}^{p+1}$, причем такое $p$ — нашменьшев из воз мозных.

Докаяательство. Имеем $l=\phi (x_1,\dots ,x_{n+1})+$ $+\varphi (x_1,\dots ,x_{n+1})$, где $\phi eq0$ — однороднын многочлен степени $p$ и $\varphi \in \hat{\mathfrak{m}}(n+1{)}^{p+1}$. Выберем такое $a=$ $=(a_i,\dots ,a_{n+1})eq0$, 8то $\phi (a)eq0$. Возьмем линейный автоморфнзм $h:{\mathbb{R}}^{n+1}\to {\mathbb{R}}^{n+1}$, удовлетворяющи усло вню $h(1,0,\dots ,0)=a$. Тогда
$$\begin{array}{rl}f\cdot h(t,0,\dots ,0)& =f(t{a}_1,\dots ,t{a}_{n+1})=\\ & =t^n\cdot \underset{=m(a_1,\dots ,a_{n+1})}{\underbrace{\phi (a_1,}}+\underset{\in (ta).}{\underbrace{}}.\end{array}$$

Теперь мы обратимся к утверждению, сформулированному в предыдущей главе.
6.3. Теорема деления (Мальгранж), Пусть $\tilde{f}$ : ( $R\times$ $\times {\mathbf{R}}^n,0)\to \mathbf{R}$ — росток, р-регулярный относительно первой координаты; тогда существуют такие ростки ${\tilde{u}}_1,\dots ,{\tilde{u}}_p\in \mathfrak{m}(n)$ и такой обратимый элемент $\tilde{\mathrm{Q}}\in$ $\in \mathcal{E}(n+1)$, что
$$\tilde{f}=\tilde{Q}\cdot {\tilde{P}}_u,\text{ где }{\tilde{P}}_u(t,x)=t^p+\sum _{l=1}^p{\tilde{u}}_l(x)t^{p-l}.$$

Хак было замечено раньше, это означает, что с точностью до умножения на обраяимый элемент всякий росток из $\mathcal{E}(n+1)$, имеющий ненулевую струю, в подходящей системе координат превращается в отмеченный многочлен с коэффициентами из $\mathcal{E}(n)$. Здесь $\mathcal{E}(n)\subset \mathcal{E}(n+1)$ — подкольцо ростков, не зависящих от первой координаты.
6.4. Следствив (обобщенная лемма деления). Пусть f. $\tilde{g}\in \mathcal{E}(n+1)$, причем $\overline{f}$ р-реаулярен. Тогда сущвствуют обратимый элемент $\tilde{Q}\in \mathcal{E}(n+1)$ и ростки $h_j\in \mathcal{E}(n),j=1,\dots ,p$, такие, что
$$\tilde{\mathit{g}}=\tilde{\mathit{Q}}\cdot \tilde{f}+{\tilde{R}}_h,\text{ где }{\tilde{R}}_h(t,x)=\sum _{l=1}^p{\tilde{h}}_l(x)t^{p-1}.$$

Итак, вместо того, чтобы делить на многочлен, можио делить на произвольный $p$-регулярный росток таким образом, чтобы получать в остатке многочлен стелеми $<p$ с коэффициентами из $\mathcal{E}(n)$.

Доказатальство следствия. По теореме деления $f={\tilde{Q}}_1\cdot {\tilde{P}}_u$ где ${\tilde{Q}}_1\in \mathcal{E}(n+1)$ — некоторый обратимый элемент и $P_u\in \mathcal{E}(n)[t]-$ некоторый отмеченный многочлен. По специальной лемме деления
$$\tilde{g}={\tilde{Q}}_2\cdot {\tilde{P}}_t+{\tilde{R}}_h,\text{ где }{\tilde{R}}_h(t,x)=\sum _{h=1}^p{\tilde{h}}_l(x)-1$$

(мы положили в специальной лемме деления ${\lambda }_1=$ $={\tilde{u}}_l(x))$. Следовательно,
$$\tilde{g}=\left({\tilde{Q}}_2/{\tilde{Q}}_1\right)\cdot \tilde{f}+{\tilde{R}}_h.$$

Доказательство теоремы деления. Рассмотрим снова коэффициенты $\lambda =({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_p)\in {\mathbf{R}}^p$ кобщего» многочлена как независимые переменные. По специальной лемме деления (деление с остатком), получаем
$$\begin{array}{c}\tilde{f}(t,x)={\tilde{Q}}_1(t,x,\lambda )\cdot \tilde{P}(t,\lambda )+\tilde{R}(t,x,\lambda ),\\ \tilde{P}(t,\lambda )=\sum _{t=0}^p{\lambda }_l{t}^{p-1},\text{ гдғ }{\lambda }_0=1,\\ \tilde{R}(t,x,\lambda )=\sum _{t=1}^p{\tilde{h}}_l(x,\lambda )t^{p-1}.\end{array}$$

Задача теперь состоит в том, чтобы подставить вместо ${\lambda }_i$ специально подобранные ростки ${\tilde{u}}_j(x)$, так чтобы ростки ${\tilde{h}}_l(x,{\tilde{u}}_l(x))\in \mathcal{E}(n)$ стали нулевыми. Заметим, что росток $f$ p-регулярен относнтельно $t$. Из этого вытекает, что
$$\begin{array}{lr}{\tilde{Q}}_1(0,0,0)eq0,& {\tilde{h}}_l(0,0)=0,\\ \frac{\partial h_f}{\partial {\lambda }_l}(0,0)=0\text{ при }i<j,\\ \frac{\partial h_f}{\partial {\lambda }_l}(0,0)eq0.& \end{array}$$

Доказательство. (2) Подставим в (1) $x=\lambda =0$; получим
$$\tilde{f}(t,0)=\tilde{Q}(t,0,0)\cdot t^p+\sum _{i=1}^p{\tilde{h}}_l(0,0)t^{p-1}.$$

Поскольку эта функция имеет нуль в точности норядка $p$, из этого равенства следует (2).
(3) и (4). Продифференцир;’ем (1) по ${\lambda }_i$ при $x=$ $=\lambda =0$. Получии
$$0=t^{p-t}\cdot {\hat{Q}}_1(t,0,0)+t^p\cdot \frac{\partial {\tilde{Q}}_1}{\partial {\lambda }_t}(t,0,0)+\sum _{i=1}^p\frac{\partial {\tilde{h}}_t}{\partial {\lambda }_t}(0,0)t^{p-1}\text{. }$$

По модулю членов порядка $p$ это равенство принимает вид
$$0=t^{p-1}\cdot q(t)+\sum _{j=1}^p{h}_j{t}^{p-1}$$

где $q(0)eq0$ согласно (2). Мы получили уравнение, связывающее ростки от одной переменной $t$ и рассматриваемое в $\mathcal{E}(1)/\mathrm{m}(1{)}^p\cong \mathbf{R}[t]/\left(t^p\right)$.

Случай $i<j$. Рассмотрим последнее уравнение по модулю $t^{p-i}$ для фиксированного $i$. Получим
$$0=\sum _{i=i+1}^p{h}_{ii}{t}^{p-1},\text{ т. e. }{h}_{li}=\frac{\partial h_l}{\partial {\lambda }_i}(0,0)=0.$$

Случай $i=j$. Уравнение (5) по модулю $t^{0-i+1}$ превращается в уравнение
$$0=t^{p-i}\cdot q(0)+h_{12}{t}^{p-i},$$

откуда $h_{il}eq0$.
Приступим теперь к доказательству теоремы деления. Уравнение (2) показывает, что росток ${\hat{Q}}_1\Leftarrow \mathcal{E}(n+1)$ обратим. Далее, матрица $\left(h_h\right)=(\partial h_j/\partial {\lambda }_i(0,0))$ имеет треугольный вид с ненулевыми элементами на диагонали. Следовательно, уравнение $\tilde{h}(x,\lambda )=0$ можно разрешить относительно ${\lambda }_{/}$, где мы истользовали обозначение
$$\begin{array}{rl}\tilde{h}:({\mathbf{R}}^n\times {\mathbf{R}}^p,0)& \to {\mathbf{R}}^p,\\ (x,\lambda )& \mapsto ({\tilde{h}}_1(x,\lambda ),\dots ,{\tilde{h}}_{\rho }(x,\lambda )).\end{array}$$

Это означает, что существует такой росток
$$\tilde{u}=(u_1,\dots ,u_p):({\mathbf{R}}^n,0)\to ({\mathbf{R}}^p,0),$$

что $\tilde{\mathit{h}}(x,\tilde{u}(x))=0$. Действительно, по теореме об обратной функции росток
$$\begin{array}{rl}\phi :({\mathbf{R}}^R\times {\mathbf{R}}^p,0)& \to ({\mathbf{R}}^{\prime \prime }\times {\mathbf{R}}^p,0),\\ (x,\lambda )& \mapsto (x,h(x,\lambda ))\end{array}$$

обратим, так как его матрица Якоби в начале координат имеет вид
$$\left[\begin{array}{llll}1& & 0& \\ & \ddots & & 0\\ 0& \ddots & 1& \\ & ?& h_{ll}\end{array}\right],$$

а $и$ лвляется композицией

Если подставить $\tilde{u}$ вместо $\lambda$ в (1), то из равенств (2) и $\tilde{h}(x,\tilde{u}(x))=0$ вытекает теорема деления.

Из теоремы деления выводится один из основных результатов этой книги:
6.5. ПоДГОТОВИТЕЛЬНАЯ ТЕООРемА МАЛЬГРАНЖА (В форме Дж. Мезера): Пусть $f:({\mathbf{R}}^n,0)\to ({\mathbf{R}}^p,0)-\partial u\varphi -$ ференцируемый росток, икдуцирующий гомоморфизм нолец $f^{\ast }:\mathcal{E}(p)\to \mathcal{E}(n)$. Пусть $A$ — конечно порождекный $\mathcal{E}(n)$-модуль. Тогда $A$ является комечно порожденным $\mathcal{E}(p)$-нодулем ( $\mathcal{E}(p)$ действует на А с помощью $f^{\ast }$ ) в тон и только том случае, когда вещественное векторное пространство $A/(f^{\ast }\mathrm{m}(p):A)$ конечномерно.

Доказательство. Заметим, что в наших пбозначениях $(f^{\ast }\mathrm{m}(p)\cdot A)$ не отличается от $\mathrm{m}(p)\cdot A$, так как $\mathcal{E}(p)$ действует на $A$ с помощью $f^{\ast }$.

Доказательство теоремы в одну сторону тривиально: если $A$ конечно порожден вад $\mathcal{E}(p)$, то существует эпиморфизм $\mathcal{8}(p)$-модулей и, єледовательно, существует эпиморфизм тех же модулей, профакторизованных по действию $\mathfrak{m}(p)$ :
$${\mathbf{R}}^k=\underset{j=1}{\overset{k}{⨁}}\mathcal{E}(p)/\mathfrak{m}(p)\to A/(f^{\ast }\mathfrak{m}(p)\cdot A)$$

Другими словами, образующие $A$ над $\mathcal{E}(p)$ одновременно являются и образующими факторпространства $A/(f^{\ast }\mathrm{m}(p)\cdot A)$ над $\mathcal{E}(p)/\mathrm{m}(p)={\mathbf{R}}^1)$ :

Обратное утверждение весьма нетривиально и составляет, в сущности, содержание теоремы. Однако мы уже проделали трудную часть работы, и сделать оставшиеся три шага — чвстое удовольствие.
Шаг 1. Пусто $n=p+1$ и
$$\begin{array}{rl}f:(\mathbf{R}\times {\mathbf{R}}^p,0)& \to ({\mathbf{R}}^p,0),\\ (t,x)& \mapsto x\end{array}$$
— росток проекции на второй сомножитель (частный случай). Выберем конечное число элементов $a_1,\dots$. $\dots ,a_k\in A$, порождающих как $A$ над $\mathcal{E}(p+1)$, так и $A/(f^{\ast }\mathrm{m}(p)\cdot A)$ над $\mathrm{R}$. Тогда всякий элемент $a\in A$ может быть записан в виде
$a=\sum _{j=1}^k{c}_l{a}_j+\sum _{j=1}^k{z}_j{a}_j$, где $c_j\in \mathbf{R},z_j\in f^{\ast }\mathfrak{m}(p)\cdot \mathcal{E}(p+1)$.
Действительно, $a=\sum c_j{a}_l+b$, где $b\in (f^{\ast }\mathrm{m}(p)\cdot A)$. В свою счередь $b=\sum y_l{b}_l$, где $y_l\in f^{\ast }\mathrm{m}(p)$. Так как $b_l=\sum r_{li}{a}_l$, где $r_{lj}\in \mathcal{E}(p+1)$, то мы можем положить $z_j=\sum y_i{r}_{lj}$.

В частности, представляя в таком виде $a=t{a}_i$, получаем
$$t{a}_i=\sum _{i=1}^k(c_{ij}+z_{ij})a_l$$

где
$$c_{lj}\equiv \mathrm{R},z_{l\ell }\in f^{\ast }\mathrm{m}(d)\cdot \mathcal{E}(p+1).$$
1) Здесь и ниже авторы часто пишут, что элементы $a_1,\dots ,a_n$ некоторого модуля $A$ порождают фактормодуль $A/B$, понимая под этим что смежнце классы $a_1+B,\dots ,a_n+B$ порождают A/B. — При и. перев.

Обозначим через $\left({\delta }_{lȷ}\right)$ единичную матрицу и перепишем эти уравнения в виде
$$(t{\delta }_{lj}-c_{ij}-z_{ij})\cdot \mathrm{a}=0,\text{ где }\mathrm{a}=(a_1,\dots ,a_k).$$

Положим $b_{ij}=t{\delta }_{ij}-c_{ij}-z_{ij}$. В линейной алгебре доказывается существование такой матриць ( $B_l)$, что
$$\left(B_{ij}\right)\cdot \left(b_{ij}\right)=\det \left(b_{ij}\right)\cdot \left({\delta }_{ij}\right).$$
(B качестве $\left(B_{ij}\right)$ нужно взять транспонированную матрицу алгебраических дополнеиий элементов матрицы $\left(b_{ij}\right)$.) Положим $\mathrm{\Delta }(t,x)=\det (t{\delta }_{ij}-c_{ij}-z_{ij})$. Тогда $\mathrm{\Delta }\cdot \mathbf{a}=0$. Определитель $\mathrm{\Delta }$ есть функция от $(t,x)\in \mathbf{R}\times {\mathbf{R}}^p$; при $x=0$ он превращается в многочлен от $t$ со старшим коэффициентом $\pm 1$. (Так как $z_{ij}(t,0)=0$, то при $x=0$ это есть характеристический многочлен числовой матрицы ( $c_{ij})$.) Отсюда получаем, что $\mathrm{\Delta }q$-регулярен относительно $t$ в точке $(t,0)$ при некотором $q⩽k$.

Равенство $\mathrm{\Delta }\mathrm{a}=0$ означает, что $\mathrm{\Delta }A=0$, и потому $A$ есть модуль над $\mathcal{E}(p+1)/\mathrm{\Delta }\cdot \mathcal{E}(p+1)$. Поскольку функция $\mathrm{\Delta }q$-регулярна, из обобщенной леммы деления следует, что $\mathcal{E}(p)$-модуль $\mathcal{E}(p+1)/\mathrm{\Delta }\cdot \mathcal{E}(p+1)$ порожден конечным числом элементов, а именно элементами $1,t,\dots ,t^{q-1}$. Далее, так как модуль $A$ конечно порожден над кольцом $\mathcal{E}(p+1)/\mathrm{\Delta }\cdot \dot{\mathcal{E}}(p+1)$, которое в свою очередь является конечно порожденным $\mathcal{E}(p)$-модулем, то модуль $A$ конечно порожден над $\mathcal{E}(p)$.

LIа2 2. Пусть $f:({\mathbf{R}}^n,0)\to ({\mathbf{R}}^p,0)$ — росток ранга $n$. По теореме о ранге, существуют координатн, в кото рых $f$ задается формулой $(x_1,\dots ,x_n)\mapsto (x_1,\dots ,x_n$, $0,\dots ,0)$. Для канонического рложения ${\mathbf{R}}^n\subset {\mathbf{R}}^p$ всякий дифферениируемый росток $\tilde{\phi }:(R^n,0)\to \mathbf{R}$ может быть продолжен на $(R^p,0)$. Поэтому отображение $f^{\ast }:\delta (p)\to$ $\to \mathcal{E}(n)$ в этом случае сюръективно. Отсюда вытекает, что если конечное число образующих порождает модуль $A$ над $\mathcal{E}(n)$, то эти же образующие порождают модуль $A$ над $\mathcal{E}(\rho )$.

Представим теперь произвольный росток $f:({\mathbf{R}}^n,0)\to$ $\to ({\mathbb{R}}^p,0)$ как композицию
$$({\mathbf{R}}^n,0)\stackrel{(\mathrm{ld},h)}{\to }({\mathbf{R}}^n\times {\mathbf{R}}^p,0)\stackrel{\mathrm{pr},}{\to }({\mathbf{R}}^p,0).$$

Первый росток является иммерсией, а второй разлагается в композицию $n$ проекций, подобных исследованной нами на шаге 1. Обозначим через $M(\tilde{f})$ следующее свойство ростка $f$ :

векторное пространство $A/(f^{\ast }\mathrm{m}(p)\cdot A)$ конечномерно $\Rightarrow$ модуль $A$ конечно порожден над $\mathcal{E}(p)$.

Тогда нам остается доказать следующее утвєрждение:
Шаг 3. Если заданы дифференцируемые ростки
$$({\mathbf{R}}^n,0)\stackrel{f}{\to }({\mathbf{R}}^p,0)\stackrel{\mathit{B}}{\to }({\mathbf{R}}^q,0),$$

то из $M(\tilde{f})$ и $M(\tilde{g})$ следует $M(\tilde{g}\circ \tilde{f})$. Итак; предположим, что $A$ — конечно порожденный $\mathcal{E}(n)$-модуль и пространство
$$A/(\tilde{g}\circ \tilde{f}{)}^{\ast }\mathfrak{m}(q)\cdot A=A/f^{\ast }(g^{\ast }\mathfrak{m}(q))\cdot A$$

конечномерно над R. Так как $g^{\ast }\mathfrak{m}(q)\subset \mathfrak{m}(p)$, то $f^{\ast }{g}^{\prime \prime }\mathrm{m}(q)\subset f^{\ast \prime }\mathrm{m}(p)$ и, следовательно, линейное пространство $A/f^{\ast }\mathfrak{m}(p)\cdot A$ конечномерно. Из $M(\tilde{f})$ вытекает, что модуль $A$, рассматриваемый как $\mathcal{E}(p)$-модуль с помощью отображения $f^{\ast }$, конечно порожден.

Далее, по определению, $A/g^{\ast }\mathfrak{m}(q)\cdot A=A/f^{\ast }{g}^{\ast }\mathfrak{m}(q)\cdot A$ и это пространство имеет конечную размерность. Из $M(\tilde{g})$ следует, что $\mathcal{E}(p)$-модуль $A$, рассматриваемый как $\mathcal{E}(q)$-модуль с помощью отображения $g^{\ast }$, конечно порожден. Но это и означает, что $\mathcal{E}(n)$-модуль $A$, рассматриваемый как $\mathcal{E}(q)$-модуль с помощью отображения $(\tilde{g}\circ \tilde{f}{)}^{\ast }$, конечно порожден.

Подготовительная теорема полностью доказана. Полученный результат можно слегка усилить.
6.6. СлЕдствиЕ подготовительной тЕоремы. В предположениях подготовительной теоремы элемекты $\{a_1,\dots$ …, $a_k\}$ порождают $A$ как $\mathcal{E}(p)$-модуль в том и только том случае, когда их классы смежности порождают векторное пространство $A/(f^{\ast }\mathrm{m}(p)\cdot A)$.

Доказательство. Как мы заметили выше, в одном направлении доказательство тривиально. Пусть классы элементов $a_1,\dots ,a_k\in A$ порождают векторное пространство $A/(f^{\ast }\mathrm{m}(p)\cdot A)$. Тогда из подготовительной теоремы вытекает, что модуль $A$ конечно порожден над $\mathcal{E}(p)$. Далее,
$$A={⟨a_1,\dots ,a_k⟩}_{\mathcal{g}(p)}+\mathfrak{m}(p)\cdot A,$$

где первое слагаемое в правой части — это подмодуль $\mathcal{E}(p)$-модуля $A$, порожденны элементами $a_1,\dots$ …, $a_k$. Таким образом, применима лемма Накаямы, и, значит, $A={⟨a_1,\dots ,a_k⟩}_{8(p)}$.
Особенно важен частный случай $A=\mathcal{E}(n)$.
6.7. ПодготовительНАя теоремА (в форме Мальгранжа). Пусть $f:({\mathbb{R}}^n,0)\to ({\mathbf{R}}^p,0)$ — дифференцируемый росток, икдуцирующий гомоморфизмы колец $f^{\ast }:\mathcal{E}(p)\to \mathcal{E}(n)$ и ${\hat{f}}^{\ast }:\mathcal{E}(p)\to \hat{\mathcal{E}}(n)$. Следующие утверждения равносильны:
(i) ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_k\in \mathcal{E}(n)$ порождают $\mathcal{E}(n)$ ках $\mathcal{E}(p)$ нодуль,
(ii) ${\hat{\phi }}_1,\dots ,{\hat{\phi }}_k\in \hat{\mathcal{E}}(n)$ порождают $\hat{\mathcal{E}}(n)$ как $\hat{\mathcal{E}}(p)$ нодуль,
(iii) ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_k$ порождают вещественное векторное пространство $\mathcal{E}(n)/f^{\ast }\mathfrak{m}(p)\cdot \mathcal{E}(n)$,
(iv) ${\hat{\phi }}_1,\dots ,{\hat{\phi }}_k$ порождают вещественное векторное пространство $\hat{\mathcal{E}}(n)/f^{\ast }\hat{\mathrm{m}}(p)\cdot \hat{\mathcal{E}}(n)$.
(Қак обычно, структура $\mathcal{E}(p)$-модуля в $\mathcal{E}(n)$ вводится с помощью гомоморфизма $f^{\circ }$, а структура $\hat{\delta }(p)$-модуля в $\hat{\mathcal{E}}(n)$ — с помощью гомоморфизма ${\hat{f}}^{\ast }$.)

Доказательство. Эквивалентность (i) и (iii) вытекает из подготовительной теоремы в расширенной форме, если положить $\mathcal{E}(n)=A$.
(iii) $\Rightarrow$ (iv). Из равенства
$${\phi }_1\cdot R+\dots +{\phi }_k\cdot R+f^{\ast }\mathrm{m}(p)\cdot \mathcal{E}(n)=\mathcal{E}(n),$$

используя отображение $j:\mathcal{E}(n)\to \hat{\mathcal{E}}(n)$, получаем
$${\hat{\phi }}_1\cdot \mathbf{R}+\dots +{\hat{\phi }}_k\cdot \mathbf{R}+{\hat{f}}^{\ast }\hat{\mathfrak{m}}(p)\cdot \hat{\mathcal{E}}(n)=\hat{\mathcal{E}}(n).$$
(iv) $\Rightarrow$ (iii). Из (iv) следует, что пространство $\mathcal{E}(n)/\mathfrak{m}(p)\cdot \mathcal{E}(n)+\mathfrak{m}(n{)}^{\mathrm{\infty }})$ конечномерно. Поэтому при некотором $k$ подпространства $\mathfrak{m}(n{)}^k/(\dots )\supset \mathrm{m}(n{)}^{k+1}/(\dots )$ этого конечномерного пространства совпадают (здесь через (…) обозначен подмодуль ( $\mathfrak{m}(p)\cdot \mathcal{E}(n)+\mathfrak{m}(n{)}^{\mathrm{\infty }})$ ). Лемма Накаямы, примененная к конечно порожденному $\mathcal{E}(n)$-модулю (см. 4.5) $\mathfrak{m}(n{)}^k/(\dots )$, показывает, что этот модуль нулевой. Это означает, что
$$\mathfrak{m}(n{)}^k\subset \mathfrak{m}(p)\cdot \mathcal{E}(n)+\mathfrak{m}(n{)}^{\mathrm{\infty }}\subset \mathfrak{m}(p)\cdot \mathcal{E}(n)+\mathfrak{m}(n{)}^{k+1}.$$

По лемме Накаямы, $\mathrm{m}(n{)}^k\subset \mathrm{m}(p)\cdot \mathcal{E}(n)$, значит, пространство $\mathcal{E}(n)/m(p)\cdot \mathcal{E}(n)$ совпадает с пространством $\mathcal{E}(n)/(m(p)\cdot \mathcal{E}(n)+\mathrm{m}(n{)}^k)$.

Последнее простра іство есть образ пространства $\mathcal{E}(n)/(\mathfrak{m}(p)\mathcal{E}(n)+\mathfrak{m}(n{)}^{\mathrm{\infty }})$ при естественной проекции и, следовательно, порождено над $\mathbf{R}$ элементами ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_k$.
(i) $\Rightarrow$ (ii)-тривиально получается после перехода к струям.
(ii) $\Rightarrow$ (iv) доказывается так же, как соответствующая часть дифференци руемой подготовительной теоремы.

Равносильность утверждений. (ii) и (iv) — это формальная подготовительная теорема, которая получается в качестве побочного результата при доказательстве вещественного случая. Однако, как и в случае формальной теоремы об обратной функции из гл. 4 ( $Df(0)$ обратим $\iff \hat{f}$ обратим), этот результат можно доказать гораздо более простым путем, причем в гораздо более общей ситуации.

Идеал $\mathfrak{m}(p)$ порожден ростками координатных функций на ${\mathbb{R}}^p$, а именно ростками ${\tilde{y}}_1,\dots ,{\tilde{y}}_p$. Следовательно, если $f=({\tilde{f}}_1,\dots ,{\tilde{f}}_p)$, то $f^{\ast }{\tilde{y}}_l={\tilde{y}}_1\circ \tilde{f}=f_l$ и, значит,
$$\mathcal{E}(n)\cdot \mathfrak{m}(p)={⟨{\tilde{f}}_1,\dots ,{\tilde{f}}_p⟩}_{y(n)},$$

где в правой части стоит идеал в кольце $\mathcal{E}(n)$, порожденный компонентами $\tilde{f}$.
6.8. Определенив. Дифференцируемый росток $f:({\mathbf{R}}^n,0)\to ({\mathbf{R}}^p,0)$ называется комечным, если пространство $\mathcal{E}(n)/{\tilde{f}}^{\ast }\mathrm{m}(p)\cdot \mathcal{E}(n)$ конечномерно.
6.9. УПражненив. Докажите, что у конечного ростка $f:({\mathbf{R}}^n,0)\to ({\mathbf{R}}^p,0)$ найдется такой представитель $f$, что полный прообраз каждой точки $R^p$ при отображении $f$ состоит не более чем из конечного числа точек. Указамие: сначала покажите, что конечно Множество $f^{-1}(0)$. Затем используйте тот факт, что росток, «близкий к $\tilde{f}$, также конечен (см. гл. 13).
6.10. Из подготовительной теоремы в форме Мальгранжа легко вывести обобщенную лемму деления. Пусть росток $E(t,x_1,\dots ,x_n)$-регулярен относительно $t$. Рассмотрим росток $f(t,x_1,\dots ,x_n)=$ $=(\tilde{F}(t,x),x_1,\dots ,x_n)$. Из $p$-регулярности $F$ следует, что

Если ввести на $\mathcal{E}(n+1)$ структуру $\mathcal{E}(n+1)$-модуля с помощью отображения $f$, то, согласно подготовительной теореме, полученный модуль будет конечно порожден, а именно ростками $1,t,t^2,\dots ,t^{p-1}$. Таким образом, для любого $g\in \mathcal{E}(n+1)$ имеем
$$\tilde{g}(t,x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^p{\tilde{g}}_l(F(t,x),x_1,\dots ,x_n)t^{p-i},$$

где ${\mathit{g}}_l$ — некоторые ростки из $\mathcal{E}(n+1)$. Если мы теперь обозначим ${\tilde{g}}_i(0,x)$ через ${\tilde{h}}_l(x)$, то ${\tilde{g}}_l(\tau ,x)$ $-{\tilde{h}}_l(x)=\tau \cdot {\tilde{k}}_l(\tau ,x)$, и поэтому, заменяя $\tau$ на $F$, получаем
$$\begin{array}{l}\tilde{g}(t,x_1,\dots ,x_n)=\sum _{t=1}^p{\tilde{h}}_l(x)t^{p-t}+\tilde{F}(t,x)\cdot \tilde{Q}(t,x),\\ \text{ где }\tilde{Q}(t,x)=\sum _{i=1}^p{\tilde{k}}_i(F(t,x),x)t^{p-t}.\end{array}$$

Для любого $\mathcal{E}(n)$-модуля $A$ легко определить $\hat{\mathcal{E}}(n)$ модуль $\hat{A}$, и тогда можно будет сформулировать теорему типа теоремы Мальгранжа даже в более общей ситуации, рассмотренной Мезером.
6.11. УПРажнение. Пусть $f:(R^n,0)\to (R^p,0)-$ Докажите, что $\mathcal{E}(p)$-модуль $\mathcal{E}(n)$ порожден мономами степени $<k$ от координат на ${\mathbb{R}}^n$. (Указакие: лемма Накаямы.)