Литература: та же, что х гл. 5.

6.1. Опрвделвнив. Дифференцируемыи росток f: $\left(\mathbf{R} \times \mathbf{R}^{n}, 0\right) \rightarrow \mathrm{R}:(t, x) \rightarrow f(t, x)$ называетея $p$-ревулярных относительно координаты $t$, если $f(R) \times(0)$ a $=m(1)^{p}
otin m(1)^{p+1}$. Другими словами,
\[
\begin{array}{c}
f(0,0)-\frac{\partial}{\partial t} l(0,0)-\ldots-\frac{\partial^{o-1}}{\partial t^{p-1}} \mathcal{l}(0,0)=0, \\
\frac{\partial^{p}}{\partial t^{p}} T(0,0)
eq 0 .
\end{array}
\]

В термитах струи ростка $f$ это условие овначает, что $f(t, 0)=a t^{p}+$ (члены более высокого порядка), $a
eq 0$. то существуют линейный автоморфиэм $h$ простран: ства $R^{n+1}$ и целое число $\rho$, такив, что росток $f \circ \bar{h}$ p-регуяярен. В качестве $p$ молно выбрать число, определяемое условиями $f \in \mathrm{m}(n+1)^{p}, f
otin \mathrm{m}(n+1)^{p+1}$, причем такое $p$ – нашменьшев из воз мозных.

Докаяательство. Имеем $l=\varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right)+$ $+\phi\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right)$, где $\varphi
eq 0$ – однороднын многочлен степени $p$ и $\phi \in \hat{\mathfrak{m}}(n+1)^{p+1}$. Выберем такое $a=$ $=\left(a_{i}, \ldots, a_{n+1}\right)
eq 0$, 8то $\varphi(a)
eq 0$. Возьмем линейный автоморфнзм $h: \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \mathbb{R}^{n+1}$, удовлетворяющи усло вню $h(1,0, \ldots, 0)=a$. Тогда
\[
\begin{aligned}
f \cdot h(t, 0, \ldots, 0) & =f\left(t a_{1}, \ldots, t a_{n+1}\right)= \\
& =t^{n} \cdot \underbrace{\varphi\left(a_{1},\right.}_{=m\left(a_{1}, \ldots, a_{n+1}\right)}+\underbrace{}_{\in(t a) .} .
\end{aligned}
\]

Теперь мы обратимся к утверждению, сформулированному в предыдущей главе.
6.3. Теорема деления (Мальгранж), Пусть $\tilde{f}$ : ( $R \times$ $\left.\times \mathbf{R}^{n}, 0\right) \rightarrow \mathbf{R}$ – росток, р-регулярный относительно первой координаты; тогда существуют такие ростки $\tilde{u}_{1}, \ldots, \tilde{u}_{p} \in \mathfrak{m}(n)$ и такой обратимый элемент $\tilde{\mathrm{Q}} \in$ $\in \mathcal{E}(n+1)$, что
\[
\tilde{f}=\tilde{Q} \cdot \tilde{P}_{u}, \quad \text { где } \quad \tilde{P}_{u}(t, x)=t^{p}+\sum_{l=1}^{p} \tilde{u}_{l}(x) t^{p-l} .
\]

Хак было замечено раньше, это означает, что с точностью до умножения на обраяимый элемент всякий росток из $\mathscr{E}(n+1)$, имеющий ненулевую струю, в подходящей системе координат превращается в отмеченный многочлен с коэффициентами из $\mathscr{E}(n)$. Здесь $\mathscr{E}(n) \subset \mathscr{E}(n+1)$ – подкольцо ростков, не зависящих от первой координаты.
6.4. Следствив (обобщенная лемма деления). Пусть f. $\tilde{g} \in \mathscr{E}(n+1)$, причем $\bar{f}$ р-реаулярен. Тогда сущвствуют обратимый элемент $\tilde{Q} \in \mathscr{E}(n+1)$ и ростки $h_{j} \in \mathscr{E}(n), j=1, \ldots, p$, такие, что
\[
\tilde{\boldsymbol{g}}=\tilde{\boldsymbol{Q}} \cdot \tilde{f}+\tilde{R}_{h}, \quad \text { где } \tilde{R}_{h}(t, x)=\sum_{l=1}^{p} \tilde{h}_{l}(x) t^{p-1} .
\]

Итак, вместо того, чтобы делить на многочлен, можио делить на произвольный $p$-регулярный росток таким образом, чтобы получать в остатке многочлен стелеми $<p$ с коэффициентами из $\mathscr{E}(n)$.

Доказатальство следствия. По теореме деления $f=\widetilde{Q}_{1} \cdot \widetilde{P}_{u}$ где $\widetilde{Q}_{1} \in \mathscr{E}(n+1)$ – некоторый обратимый элемент и $P_{u} \in \mathscr{E}(n)[t]-$ некоторый отмеченный многочлен. По специальной лемме деления
\[
\tilde{g}=\tilde{Q}_{2} \cdot \tilde{P}_{t}+\tilde{R}_{h}, \quad \text { где } \quad \tilde{R}_{h}(t, x)=\sum_{h=1}^{p} \tilde{h}_{l}(x)-1
\]

(мы положили в специальной лемме деления $\lambda_{1}=$ $\left.=\tilde{u}_{l}(x)\right)$. Следовательно,
\[
\tilde{g}=\left(\tilde{Q}_{2} / \tilde{Q}_{1}\right) \cdot \tilde{f}+\tilde{R}_{h} .
\]

Доказательство теоремы деления. Рассмотрим снова коэффициенты $\lambda=\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{p}\right) \in \mathbf{R}^{p}$ кобщего» многочлена как независимые переменные. По специальной лемме деления (деление с остатком), получаем
\[
\begin{array}{c}
\tilde{f}(t, x)=\tilde{Q}_{1}(t, x, \lambda) \cdot \tilde{P}(t, \lambda)+\tilde{R}(t, x, \lambda), \\
\tilde{P}(t, \lambda)=\sum_{t=0}^{p} \lambda_{l} t^{p-1}, \quad \text { гдғ } \quad \lambda_{0}=1, \\
\tilde{R}(t, x, \lambda)=\sum_{t=1}^{p} \tilde{h}_{l}(x, \lambda) t^{p-1} .
\end{array}
\]

Задача теперь состоит в том, чтобы подставить вместо $\lambda_{i}$ специально подобранные ростки $\tilde{u}_{j}(x)$, так чтобы ростки $\tilde{h}_{l}\left(x, \tilde{u}_{l}(x)\right) \in \mathscr{E}(n)$ стали нулевыми. Заметим, что росток $f$ p-регулярен относнтельно $t$. Из этого вытекает, что
\[
\begin{array}{lr}
\tilde{Q}_{1}(0,0,0)
eq 0, & \tilde{h}_{l}(0,0)=0, \\
\frac{\partial h_{f}}{\partial \lambda_{l}}(0,0)=0 \quad \text { при } \quad i<j, \\
\frac{\partial h_{f}}{\partial \lambda_{l}}(0,0)
eq 0 . &
\end{array}
\]

Доказательство. (2) Подставим в (1) $x=\lambda=0$; получим
\[
\tilde{f}(t, 0)=\tilde{Q}(t, 0,0) \cdot t^{p}+\sum_{i=1}^{p} \tilde{h}_{l}(0,0) t^{p-1} .
\]

Поскольку эта функция имеет нуль в точности норядка $p$, из этого равенства следует (2).
(3) и (4). Продифференцир;’ем (1) по $\lambda_{i}$ при $x=$ $=\lambda=0$. Получии
\[
0=t^{p-t} \cdot \hat{Q}_{1}(t, 0,0)+t^{p} \cdot \frac{\partial \tilde{Q}_{1}}{\partial \lambda_{t}}(t, 0,0)+\sum_{i=1}^{p} \frac{\partial \tilde{h}_{t}}{\partial \lambda_{t}}(0,0) t^{p-1} \text {. }
\]

По модулю членов порядка $p$ это равенство принимает вид
\[
0=t^{p-1} \cdot q(t)+\sum_{j=1}^{p} h_{j} t^{p-1}
\]

где $q(0)
eq 0$ согласно (2). Мы получили уравнение, связывающее ростки от одной переменной $t$ и рассматриваемое в $\mathscr{E}(1) / \mathrm{m}(1)^{p} \cong \mathbf{R}[t] /\left(t^{p}\right)$.

Случай $i<j$. Рассмотрим последнее уравнение по модулю $t^{p-i}$ для фиксированного $i$. Получим
\[
0=\sum_{i=i+1}^{p} h_{i i} t^{p-1}, \quad \text { т. e. } h_{l i}=\frac{\partial h_{l}}{\partial \lambda_{i}}(0,0)=0 .
\]

Случай $i=j$. Уравнение (5) по модулю $t^{0-i+1}$ превращается в уравнение
\[
0=t^{p-i} \cdot q(0)+h_{12} t^{p-i},
\]

откуда $h_{i l}
eq 0$.
Приступим теперь к доказательству теоремы деления. Уравнение (2) показывает, что росток $\hat{Q}_{1} \Leftarrow \mathscr{E}(n+1)$ обратим. Далее, матрица $\left(h_{h}\right)=\left(\partial h_{j} / \partial \lambda_{i}(0,0)\right)$ имеет треугольный вид с ненулевыми элементами на диагонали. Следовательно, уравнение $\tilde{h}(x, \lambda)=0$ можно разрешить относительно $\lambda_{/}$, где мы истользовали обозначение
\[
\begin{aligned}
\tilde{h}:\left(\mathbf{R}^{n} \times \mathbf{R}^{p}, 0\right) & \rightarrow \mathbf{R}^{p}, \\
(x, \lambda) & \mapsto\left(\tilde{h}_{1}(x, \lambda), \ldots, \tilde{h}_{\rho}(x, \lambda)\right) .
\end{aligned}
\]

Это означает, что существует такой росток
\[
\tilde{u}=\left(u_{1}, \ldots, u_{p}\right):\left(\mathbf{R}^{n}, 0\right) \rightarrow\left(\mathbf{R}^{p}, 0\right),
\]

что $\tilde{\boldsymbol{h}}(x, \tilde{u}(x))=0$. Действительно, по теореме об обратной функции росток
\[
\begin{aligned}
\varphi:\left(\mathbf{R}^{R} \times \mathbf{R}^{p}, 0\right) & \rightarrow\left(\mathbf{R}^{\prime \prime} \times \mathbf{R}^{p}, 0\right), \\
(x, \lambda) & \mapsto(x, h(x, \lambda))
\end{aligned}
\]

обратим, так как его матрица Якоби в начале координат имеет вид
\[
\left[\begin{array}{lll|l}
1 & & 0 & \\
& \ddots & & 0 \\
0 & \ddots & 1 & \\
\hline & ? & h_{l l}
\end{array}\right],
\]

а $и$ лвляется композицией

Если подставить $\tilde{u}$ вместо $\lambda$ в (1), то из равенств (2) и $\tilde{h}(x, \tilde{u}(x))=0$ вытекает теорема деления.

Из теоремы деления выводится один из основных результатов этой книги:
6.5. ПоДГОТОВИТЕЛЬНАЯ ТЕООРемА МАЛЬГРАНЖА (В форме Дж. Мезера): Пусть $f:\left(\mathbf{R}^{n}, 0\right) \rightarrow\left(\mathbf{R}^{p}, 0\right)-\partial u \phi-$ ференцируемый росток, икдуцирующий гомоморфизм нолец $f^{*}: \mathscr{E}(p) \rightarrow \mathscr{E}(n)$. Пусть $A$ – конечно порождекный $\mathscr{E}(n)$-модуль. Тогда $A$ является комечно порожденным $\mathscr{E}(p)$-нодулем ( $\mathscr{E}(p)$ действует на А с помощью $f^{*}$ ) в тон и только том случае, когда вещественное векторное пространство $A /\left(f^{*} \mathrm{~m}(p): A\right)$ конечномерно.

Доказательство. Заметим, что в наших пбозначениях $\left(f^{*} \mathrm{~m}(p) \cdot A\right)$ не отличается от $\mathrm{m}(p) \cdot A$, так как $\mathscr{E}(p)$ действует на $A$ с помощью $f^{*}$.

Доказательство теоремы в одну сторону тривиально: если $A$ конечно порожден вад $\mathscr{E}(p)$, то существует эпиморфизм $\mathscr{8}(p)$-модулей и, єледовательно, существует эпиморфизм тех же модулей, профакторизованных по действию $\mathfrak{m}(p)$ :
\[
\mathbf{R}^{k}=\bigoplus_{j=1}^{k} \mathscr{E}(p) / \mathfrak{m}(p) \rightarrow A /\left(f^{*} \mathfrak{m}(p) \cdot A\right)
\]

Другими словами, образующие $A$ над $\mathscr{E}(p)$ одновременно являются и образующими факторпространства $A /\left(f^{*} \mathrm{~m}(p) \cdot A\right)$ над $\left.\mathscr{E}(p) / \mathrm{m}(p)=\mathbf{R}^{1}\right)$ :

Обратное утверждение весьма нетривиально и составляет, в сущности, содержание теоремы. Однако мы уже проделали трудную часть работы, и сделать оставшиеся три шага – чвстое удовольствие.
Шаг 1. Пусто $n=p+1$ и
\[
\begin{aligned}
f:\left(\mathbf{R} \times \mathbf{R}^{p}, 0\right) & \rightarrow\left(\mathbf{R}^{p}, 0\right), \\
(t, x) & \mapsto x
\end{aligned}
\]
– росток проекции на второй сомножитель (частный случай). Выберем конечное число элементов $a_{1}, \ldots$. $\ldots, a_{k} \in A$, порождающих как $A$ над $\mathscr{E}(p+1)$, так и $A /\left(f^{*} \mathrm{~m}(p) \cdot A\right)$ над $\mathrm{R}$. Тогда всякий элемент $a \in A$ может быть записан в виде
$a=\sum_{j=1}^{k} c_{l} a_{j}+\sum_{j=1}^{k} z_{j} a_{j}$, где $c_{j} \in \mathbf{R}, z_{j} \in f^{*} \mathfrak{m}(p) \cdot \mathscr{E}(p+1)$.
Действительно, $a=\sum c_{j} a_{l}+b$, где $b \in\left(f^{*} \mathrm{~m}(p) \cdot A\right)$. В свою счередь $b=\sum y_{l} b_{l}$, где $y_{l} \in f^{*} \mathrm{~m}(p)$. Так как $b_{l}=\sum r_{l i} a_{l}$, где $r_{l j} \in \mathscr{E}(p+1)$, то мы можем положить $z_{j}=\sum y_{i} r_{l j}$.

В частности, представляя в таком виде $a=t a_{i}$, получаем
\[
t a_{i}=\sum_{i=1}^{k}\left(c_{i j}+z_{i j}\right) a_{l}
\]

где
\[
c_{l j} \equiv \mathrm{R}, \quad z_{l \ell} \in f^{*} \mathrm{~m}(d) \cdot \mathscr{E}(p+1) .
\]
1) Здесь и ниже авторы часто пишут, что элементы $a_{1}, \ldots, a_{n}$ некоторого модуля $A$ порождают фактормодуль $A / B$, понимая под этим что смежнце классы $a_{1}+B, \ldots, a_{n}+B$ порождают A/B. – При и. перев.

Обозначим через $\left(\delta_{l \jmath}\right)$ единичную матрицу и перепишем эти уравнения в виде
\[
\left(t \delta_{l j}-c_{i j}-z_{i j}\right) \cdot \mathrm{a}=0, \quad \text { где } \mathrm{a}=\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right) .
\]

Положим $b_{i j}=t \delta_{i j}-c_{i j}-z_{i j}$. В линейной алгебре доказывается существование такой матриць ( $\left.B_{l}\right)$, что
\[
\left(B_{i j}\right) \cdot\left(b_{i j}\right)=\operatorname{det}\left(b_{i j}\right) \cdot\left(\delta_{i j}\right) .
\]
(B качестве $\left(B_{i j}\right)$ нужно взять транспонированную матрицу алгебраических дополнеиий элементов матрицы $\left(b_{i j}\right)$.) Положим $\Delta(t, x)=\operatorname{det}\left(t \delta_{i j}-c_{i j}-z_{i j}\right)$. Тогда $\Delta \cdot \mathbf{a}=0$. Определитель $\Delta$ есть функция от $(t, x) \in \mathbf{R} \times \mathbf{R}^{p}$; при $x=0$ он превращается в многочлен от $t$ со старшим коэффициентом $\pm 1$. (Так как $z_{i j}(t, 0)=0$, то при $x=0$ это есть характеристический многочлен числовой матрицы ( $\left.c_{i j}\right)$.) Отсюда получаем, что $\Delta q$-регулярен относительно $t$ в точке $(t, 0)$ при некотором $q \leqslant k$.

Равенство $\Delta \mathrm{a}=0$ означает, что $\Delta A=0$, и потому $A$ есть модуль над $\mathscr{E}(p+1) / \Delta \cdot \mathscr{E}(p+1)$. Поскольку функция $\Delta q$-регулярна, из обобщенной леммы деления следует, что $\mathscr{E}(p)$-модуль $\mathscr{E}(p+1) / \Delta \cdot \mathscr{E}(p+1)$ порожден конечным числом элементов, а именно элементами $1, t, \ldots, t^{q-1}$. Далее, так как модуль $A$ конечно порожден над кольцом $\mathscr{E}(p+1) / \Delta \cdot \dot{\mathscr{E}}(p+1)$, которое в свою очередь является конечно порожденным $\mathscr{E}(p)$-модулем, то модуль $A$ конечно порожден над $\mathscr{E}(p)$.

LIа2 2. Пусть $f:\left(\mathbf{R}^{n}, 0\right) \rightarrow\left(\mathbf{R}^{p}, 0\right)$ – росток ранга $n$. По теореме о ранге, существуют координатн, в кото рых $f$ задается формулой $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \mapsto\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right.$, $0, \ldots, 0)$. Для канонического рложения $\mathbf{R}^{n} \subset \mathbf{R}^{p}$ всякий дифферениируемый росток $\tilde{\varphi}:\left(R^{n}, 0\right) \rightarrow \mathbf{R}$ может быть продолжен на $\left(R^{p}, 0\right)$. Поэтому отображение $f^{*}: \mathscr{\delta}(p) \rightarrow$ $\rightarrow \mathscr{E}(n)$ в этом случае сюръективно. Отсюда вытекает, что если конечное число образующих порождает модуль $A$ над $\mathscr{E}(n)$, то эти же образующие порождают модуль $A$ над $\mathscr{E}(\rho)$.

Представим теперь произвольный росток $f:\left(\mathbf{R}^{n}, 0\right) \rightarrow$ $\rightarrow\left(\mathbb{R}^{p}, 0\right)$ как композицию
\[
\left(\mathbf{R}^{n}, 0\right) \xrightarrow{(\mathrm{ld}, h)}\left(\mathbf{R}^{n} \times \mathbf{R}^{p}, 0\right) \xrightarrow{\mathrm{pr},}\left(\mathbf{R}^{p}, 0\right) .
\]

Первый росток является иммерсией, а второй разлагается в композицию $n$ проекций, подобных исследованной нами на шаге 1. Обозначим через $M(\tilde{f})$ следующее свойство ростка $f$ :

векторное пространство $A /\left(f^{*} \mathrm{~m}(p) \cdot A\right)$ конечномерно $\Rightarrow$ модуль $A$ конечно порожден над $\mathscr{E}(p)$.

Тогда нам остается доказать следующее утвєрждение:
Шаг 3. Если заданы дифференцируемые ростки
\[
\left(\mathbf{R}^{n}, 0\right) \xrightarrow{f}\left(\mathbf{R}^{p}, 0\right) \xrightarrow{\boldsymbol{B}}\left(\mathbf{R}^{q}, 0\right),
\]

то из $M(\tilde{f})$ и $M(\tilde{g})$ следует $M(\tilde{g} \circ \tilde{f})$. Итак; предположим, что $A$ – конечно порожденный $\mathscr{E}(n)$-модуль и пространство
\[
A /(\tilde{g} \circ \tilde{f})^{*} \mathfrak{m}(q) \cdot A=A / f^{*}\left(g^{*} \mathfrak{m}(q)\right) \cdot A
\]

конечномерно над R. Так как $g^{*} \mathfrak{m}(q) \subset \mathfrak{m}(p)$, то $f^{*} g^{\prime \prime} \mathrm{m}(q) \subset f^{* \prime} \mathrm{m}(p)$ и, следовательно, линейное пространство $A / f^{*} \mathfrak{m}(p) \cdot A$ конечномерно. Из $M(\tilde{f})$ вытекает, что модуль $A$, рассматриваемый как $\mathscr{E}(p)$-модуль с помощью отображения $f^{*}$, конечно порожден.

Далее, по определению, $A / g^{*} \mathfrak{m}(q) \cdot A=A / f^{*} g^{*} \mathfrak{m}(q) \cdot A$ и это пространство имеет конечную размерность. Из $M(\tilde{g})$ следует, что $\mathscr{E}(p)$-модуль $A$, рассматриваемый как $\mathscr{E}(q)$-модуль с помощью отображения $g^{*}$, конечно порожден. Но это и означает, что $\mathscr{E}(n)$-модуль $A$, рассматриваемый как $\mathscr{E}(q)$-модуль с помощью отображения $(\tilde{g} \circ \tilde{f})^{*}$, конечно порожден.

Подготовительная теорема полностью доказана. Полученный результат можно слегка усилить.
6.6. СлЕдствиЕ подготовительной тЕоремы. В предположениях подготовительной теоремы элемекты $\left\{a_{1}, \ldots\right.$ …, $\left.a_{k}\right\}$ порождают $A$ как $\mathscr{E}(p)$-модуль в том и только том случае, когда их классы смежности порождают векторное пространство $A /\left(f^{*} \mathrm{~m}(p) \cdot A\right)$.

Доказательство. Как мы заметили выше, в одном направлении доказательство тривиально. Пусть классы элементов $a_{1}, \ldots, a_{k} \in A$ порождают векторное пространство $A /\left(f^{*} \mathrm{~m}(p) \cdot A\right)$. Тогда из подготовительной теоремы вытекает, что модуль $A$ конечно порожден над $\mathscr{E}(p)$. Далее,
\[
A=\left\langle a_{1}, \ldots, a_{k}\right\rangle_{\mathscr{g}(p)}+\mathfrak{m}(p) \cdot A,
\]

где первое слагаемое в правой части – это подмодуль $\mathscr{E}(p)$-модуля $A$, порожденны элементами $a_{1}, \ldots$ …, $a_{k}$. Таким образом, применима лемма Накаямы, и, значит, $A=\left\langle a_{1}, \ldots, a_{k}\right\rangle_{8(p)}$.
Особенно важен частный случай $A=\mathscr{E}(n)$.
6.7. ПодготовительНАя теоремА (в форме Мальгранжа). Пусть $f:\left(\mathbb{R}^{n}, 0\right) \rightarrow\left(\mathbf{R}^{p}, 0\right)$ – дифференцируемый росток, икдуцирующий гомоморфизмы колец $f^{*}: \mathscr{E}(p) \rightarrow \mathscr{E}(n)$ и $\hat{f}^{*}: \mathscr{\mathscr { E }}(p) \rightarrow \hat{\mathscr{E}}(n)$. Следующие утверждения равносильны:
(i) $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{k} \in \mathscr{E}(n)$ порождают $\mathscr{E}(n)$ ках $\mathscr{E}(p)$ нодуль,
(ii) $\hat{\varphi}_{1}, \ldots, \hat{\varphi}_{k} \in \hat{\mathscr{E}}(n)$ порождают $\hat{\mathscr{E}}(n)$ как $\hat{\mathscr{E}}(p)$ нодуль,
(iii) $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{k}$ порождают вещественное векторное пространство $\mathscr{E}(n) / f^{*} \mathfrak{m}(p) \cdot \mathscr{E}(n)$,
(iv) $\hat{\varphi}_{1}, \ldots, \hat{\varphi}_{k}$ порождают вещественное векторное пространство $\widehat{\mathscr{E}}(n) / f^{*} \hat{\mathrm{m}}(p) \cdot \hat{\mathscr{E}}(n)$.
(Қак обычно, структура $\mathscr{E}(p)$-модуля в $\mathscr{E}(n)$ вводится с помощью гомоморфизма $f^{\circ}$, а структура $\widehat{\mathscr{\delta}}(p)$-модуля в $\hat{\mathscr{E}}(n)$ – с помощью гомоморфизма $\hat{f}^{*}$.)

Доказательство. Эквивалентность (i) и (iii) вытекает из подготовительной теоремы в расширенной форме, если положить $\mathscr{E}(n)=A$.
(iii) $\Rightarrow$ (iv). Из равенства
\[
\varphi_{1} \cdot R+\ldots+\varphi_{k} \cdot R+f^{*} \mathrm{~m}(p) \cdot \mathscr{E}(n)=\mathscr{E}(n),
\]

используя отображение $j: \mathscr{E}(n) \rightarrow \hat{\mathscr{E}}(n)$, получаем
\[
\hat{\varphi}_{1} \cdot \mathbf{R}+\ldots+\hat{\varphi}_{k} \cdot \mathbf{R}+\hat{f}^{*} \hat{\mathfrak{m}}(p) \cdot \hat{\mathscr{E}}(n)=\hat{\mathscr{E}}(n) .
\]
(iv) $\Rightarrow$ (iii). Из (iv) следует, что пространство $\left.\mathscr{E}(n) / \mathfrak{m}(p) \cdot \mathscr{E}(n)+\mathfrak{m}(n)^{\infty}\right)$ конечномерно. Поэтому при некотором $k$ подпространства $\mathfrak{m}(n)^{k} /(\ldots) \supset \mathrm{m}(n)^{k+1} /(\ldots)$ этого конечномерного пространства совпадают (здесь через (…) обозначен подмодуль ( $\left.\mathfrak{m}(p) \cdot \mathscr{E}(n)+\mathfrak{m}(n)^{\infty}\right)$ ). Лемма Накаямы, примененная к конечно порожденному $\mathscr{E}(n)$-модулю (см. 4.5) $\mathfrak{m}(n)^{k} /(\ldots)$, показывает, что этот модуль нулевой. Это означает, что
\[
\mathfrak{m}(n)^{k} \subset \mathfrak{m}(p) \cdot \mathscr{E}(n)+\mathfrak{m}(n)^{\infty} \subset \mathfrak{m}(p) \cdot \mathscr{E}(n)+\mathfrak{m}(n)^{k+1} .
\]

По лемме Накаямы, $\mathrm{m}(n)^{k} \subset \mathrm{m}(p) \cdot \mathscr{E}(n)$, значит, пространство $\mathscr{E}(n) / m(p) \cdot \mathscr{E}(n)$ совпадает с пространством $\mathscr{E}(n) /\left(m(p) \cdot \mathscr{E}(n)+\mathrm{m}(n)^{k}\right)$.

Последнее простра іство есть образ пространства $\mathscr{E}(n) /\left(\mathfrak{m}(p) \mathscr{E}(n)+\mathfrak{m}(n)^{\infty}\right)$ при естественной проекции и, следовательно, порождено над $\mathbf{R}$ элементами $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{k}$.
(i) $\Rightarrow$ (ii)-тривиально получается после перехода к струям.
(ii) $\Rightarrow$ (iv) доказывается так же, как соответствующая часть дифференци руемой подготовительной теоремы.

Равносильность утверждений. (ii) и (iv) – это формальная подготовительная теорема, которая получается в качестве побочного результата при доказательстве вещественного случая. Однако, как и в случае формальной теоремы об обратной функции из гл. 4 ( $D f(0)$ обратим $\Leftrightarrow \hat{f}$ обратим), этот результат можно доказать гораздо более простым путем, причем в гораздо более общей ситуации.

Идеал $\mathfrak{m}(p)$ порожден ростками координатных функций на $\mathbb{R}^{p}$, а именно ростками $\tilde{y}_{1}, \ldots, \tilde{y}_{p}$. Следовательно, если $f=\left(\tilde{f}_{1}, \ldots, \tilde{f}_{p}\right)$, то $f^{*} \tilde{y}_{l}=\tilde{y}_{1} \circ \tilde{f}=f_{l}$ и, значит,
\[
\mathscr{E}(n) \cdot \mathfrak{m}(p)=\left\langle\tilde{f}_{1}, \ldots, \tilde{f}_{p}\right\rangle_{y(n)},
\]

где в правой части стоит идеал в кольце $\mathscr{E}(n)$, порожденный компонентами $\tilde{f}$.
6.8. Определенив. Дифференцируемый росток $f:\left(\mathbf{R}^{n}, 0\right) \rightarrow\left(\mathbf{R}^{p}, 0\right)$ называется комечным, если пространство $\mathscr{E}(n) / \tilde{f}^{*} \mathrm{~m}(p) \cdot \mathscr{E}(n)$ конечномерно.
6.9. УПражненив. Докажите, что у конечного ростка $f:\left(\mathbf{R}^{n}, 0\right) \rightarrow\left(\mathbf{R}^{p}, 0\right)$ найдется такой представитель $f$, что полный прообраз каждой точки $R^{p}$ при отображении $f$ состоит не более чем из конечного числа точек. Указамие: сначала покажите, что конечно Множество $f^{-1}(0)$. Затем используйте тот факт, что росток, «близкий к $\tilde{f}$, также конечен (см. гл. 13).
6.10. Из подготовительной теоремы в форме Мальгранжа легко вывести обобщенную лемму деления. Пусть росток $E\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$-регулярен относительно $t$. Рассмотрим росток $f\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=$ $=\left(\tilde{F}(t, x), x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$. Из $p$-регулярности $F$ следует, что

Если ввести на $\mathscr{E}(n+1)$ структуру $\mathscr{E}(n+1)$-модуля с помощью отображения $f$, то, согласно подготовительной теореме, полученный модуль будет конечно порожден, а именно ростками $1, t, t^{2}, \ldots, t^{p-1}$. Таким образом, для любого $g \in \mathscr{E}(n+1)$ имеем
\[
\tilde{g}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{p} \tilde{g}_{l}\left(F(t, x), x_{1}, \ldots, x_{n}\right) t^{p-i},
\]

где $\boldsymbol{g}_{l}$ – некоторые ростки из $\mathscr{E}(n+1)$. Если мы теперь обозначим $\tilde{g}_{i}(0, x)$ через $\tilde{h}_{l}(x)$, то $\tilde{g}_{l}(\tau, x)$ $-\tilde{h}_{l}(x)=\tau \cdot \tilde{k}_{l}(\tau, x)$, и поэтому, заменяя $\tau$ на $F$, получаем
\[
\begin{array}{l}
\tilde{g}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\sum_{t=1}^{p} \tilde{h}_{l}(x) t^{p-t}+\tilde{F}(t, x) \cdot \tilde{Q}(t, x), \\
\text { где } \tilde{Q}(t, x)=\sum_{i=1}^{p} \tilde{k}_{i}(F(t, x), x) t^{p-t} .
\end{array}
\]

Для любого $\mathscr{E}(n)$-модуля $A$ легко определить $\hat{\mathscr{E}}(n)$ модуль $\hat{A}$, и тогда можно будет сформулировать теорему типа теоремы Мальгранжа даже в более общей ситуации, рассмотренной Мезером.
6.11. УПРажнение. Пусть $f:\left(R^{n}, 0\right) \rightarrow\left(R^{p}, 0\right)-$ Докажите, что $\mathscr{E}(p)$-модуль $\mathscr{E}(n)$ порожден мономами степени $<k$ от координат на $\mathbb{R}^{n}$. (Указакие: лемма Накаямы.)