Литература: G. Wassermann, Stabllity of unfoldings, Dissertation, Regensburg, 1973, Springer. Lecture Notes, 393 (1974).
J. Mather, Right equivalence, manuscript.

Для изучения особенности $\eta \in \mathfrak{m}(n)^{2}$, т. е. для изучения ростка $\eta:\left(\mathbf{R}^{n}, 0\right) \rightarrow(\mathbf{R}, 0), D \eta(0)=0$, мы вкладываем этот росток в $r$-параметрическое семейство ростков следукцим образом. Пусть $\mathbf{R}^{n}$ – подпространство в $\mathbf{R}^{n+r}$, определяемое приравниванием нулю $r$ последних координат. Точку пространства $\mathbf{R}^{n+r}$ будем обозначать через $(x, u)=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, u_{1}, \ldots, u_{r}\right), x \in \mathbf{R}^{n}, u \in \mathbf{R}^{r}$.
14.1. Определение. Пусть $\eta \in \mathfrak{m}(n)$ – особенность; $r$-параметрической разверткой ${ }^{1}$ ) или деформацией ростка $\eta$ называется такой росток $\mathfrak{f} \in \mathfrak{m}(n+r)$, что $f \mid \mathbf{R}^{n}=\eta$. Эта деформация будет обозначаться через $(r, f)$.

Если $f$ – представитель ростка $f$ и $\left(x_{0} . u_{0}\right)$ – точка, близкая к началу координат, то $f \mid\left(\mathbb{R}^{n} \times\left\{u_{0}\right\},\left(x_{0}, u_{0}\right)\right)$ определяет росток, близкий к ростку $\eta$. Если мы движемся по пути, соединяющему начало координат с точкой ( $\left.x_{0}, u_{0}\right)$, то вдоль этого пути росток $\eta$ деформируется в описанный выше росток.

Между некоторыми деформациями особенности $\eta$ можно определить отображения и получить таким способом категорию деформаций (фиксированной особенности). Объектами этой категории являются деформации особенности $\eta$. Чтобы пояснить определение морфизма, заметим сначала, что $\mathbf{R}^{n_{+}}$расслоено
‘) В оригинале: unfolding. – Прим. перев.

над $\mathbf{R}^{r}$ при помощи проекции $\pi_{r}: \mathbf{R}^{n_{+}} \rightarrow \mathbf{R}^{r}$. Всякое отображение деформаций должно быть согласовано с этой структурой расслоения, поскольку именно на слоях этого расслоения определены построенные выше ростки, близкие к п». В семействе всех таких ростков, определенных на слоях вида $\pi_{r}^{-1}(u)=$ $=\mathbf{R}^{n} \times\{u\}$, близких $к$ слою $\pi_{r}^{-1}(0)=\mathbf{R}^{n} \times\{0\}=\mathbf{R}^{n}$,

мы находим кекоторые из особенностей, «скрывающихся» в , а также деформации этих особенностей. Эта структура должна сохраняться.

Морфизм может произвольным образом действовать на пространстве параметров $\mathbf{R}^{r}$ и на слоях вида $\mathbf{R}^{n} \times\left\{u_{0}\right\}$, где $u_{0}
eq 0$. В образе, т. е. в пространстве $R$, тоже можно было бы допустить произвольные преобразования. Однако мы ограничим наши рассмотрения простейшим случаем, когда разрешаются только трансляции (параллельные переносы). Учитывая все сказанное, мы даем следующее определение морфизма.
14.2. Определение. Пусть $(r, f)$ и $(s, g)$ – две деформации ростка ๆ. Морфизм
\[
(\varphi, \alpha):(r, f) \rightarrow(s, g)
\]

определяется заданием следующих объектов:
(i) ростка $\varphi \in \mathscr{E}(n+r, n+s)$, удовлетворяющего условию $\varphi \mid \mathbf{R}^{n} \times\{0\}=\mathrm{id}$,
(ii) ростка $Ф \in \mathscr{E}(r, s)$, удовлетворяющего условию $\pi_{s} \varphi=\Phi \pi_{r}$,
(iii) ростка $a \in \mathfrak{m}(r)$, удовлетворяющего условию
\[
f=g \circ \varphi+\alpha \circ \pi_{r} .
\]

Взятые вместе, условия (i) и (ii) выражают тот факт, что $\varphi$ – послойное отображение:
\[
\begin{array}{c}
\varphi(x, u)=\left(\varphi_{1}(x, u), \Phi(u)\right) \\
\mathbf{R}^{n+r} \xrightarrow{\varphi} \mathbf{R}^{n+s} \\
\pi_{r} \downarrow_{\pi_{s}} \\
\mathbf{R}^{r} \xrightarrow{\oplus} \mathbf{R}^{s}
\end{array}
\]

Выбрав представи’ель ростка $\alpha$, мы можем сопоставнть каждому $u \in \mathbf{R}^{r}$, близкому к началу координат, параллельный перенос $a_{u}$. Этот перенос $a_{u}: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ задается формулой $a_{u}(t)=t+\alpha(u)$. Условие (iii) нашего определения выражает тот факт, что ростки $f$ и $g$ связаны соотношением
\[
f(x, u)=a_{u} \circ g \circ \varphi(x, u) .
\]

Это определение понятно, хотя было бы более естественно рассматривать семейство произвольных преобразований $a_{u}$, а не только трансляций (или, наоборот, вовсе не делать преобразований в образе). Определение, которое мы дали, принадлежит Мезеру и является сравнительно простым. Во всяком случае это определение позволяет смещать начало координат для каждого и с помощью трансляции. Общий случай разобран Вассерманом.

Композиция морфизмов определяется очевидным образом:
\[
(\varphi, \alpha)(\psi, \beta)=(\varphi \circ \psi, \beta+\alpha \circ \psi) .
\]

При фиксированном $u \in \mathrm{R}^{r}$, где $\mathrm{R}^{r}$ – второе пространство параметров, выражение $\beta(u)+\alpha \Psi(u)$ описызает композицию трансляций, а именно $a_{\Psi(u)} \circ b_{u}$.

Ясно, что морфизм (, $\boldsymbol{\alpha}$ ) обратим (является изоморфизмом) в том и только том случае, когда обратим росток $\varphi$. В частности, обратим морфизм
\[
\text { (id, } \alpha):(r, f) \cong(r, f+a) \text {. }
\]

Функция $\alpha$ позволяет нам добавлять к ростку в слое над $u$ константу $\alpha(u)$.
14.3. Введем сложение деформаций:
\[
(r, f)+(s, g)=(r+s, f+g-\eta),
\]

где последний член определяется формулой
\[
(f+g-\eta)(x, u, v)=f(x, u)+g(x, v)-\eta(x) .
\]
14.4. Постоянная деформация $(r, \eta)$ определяется формулой
\[
\eta(x, u)=\eta(x) \text {. }
\]

Ясно, что
\[
(r, f)+(s, \eta)=(r+s, f) .
\]

Формула в пункте (hi) определения морфизма показывает, что деформация ( $r, f)$ определяется морфизмом ( $\varphi, \alpha$ ) и деформацией $(s, g)$. Следовательно, мы можем дать такое определение.
14.5. Определение. Пусть $(s, g)$ – деформация ростка $\eta$. Предположим, что ростки $\varphi є \mathscr{E}(n+r, n+s)$ и $\mathscr{\Phi} \in \mathscr{E}(r, s)$ удовлетворяют условиям (i) и (ii) из 14.2. Пусть $\alpha \in \mathfrak{m}(r)$. Деформация $(r, f)$, определяемая формулой (iii), называется деформацией ростка $\eta$, иядуцированной деформацией ( $s, g$ ) с помощью морфизма (ф, а).

Деформация ( $r, f$ ) ростка $\eta$ называется версалькой, если всякая деформация ростка $\eta$ индуцируется деформацией $(r, f)$ с помощью подходящего морфизма.
14.6. ПРимер ДЕФОРМации. Пүсть $\eta \in \mathfrak{m}(n)$ – некоторая особенность, и пусть $b_{1}, \ldots, b_{r} \in \mathfrak{m}(n)$; тогда
\[
f(x, u)=\eta(x)+b_{1}(x) u_{1}+\ldots+b_{r}(x) u_{r}
\]

является деформацией ростка $\eta$.

Эта деформация есть сумма однопараметрических деформаций
\[
f\left(x, u_{i}\right)=\eta(x)+b_{i}(x) u_{i} \text {. }
\]
14.7. Определенив. Коразмерностью особенности $\eta$ называется число codim $\eta=\operatorname{dim}_{\mathrm{R}}\left(\mathfrak{m}(n) /\left\langle\partial \eta / \partial x_{i}\right\rangle_{\boldsymbol{\delta}(n)}\right)$.

Версальная деформация ( $r, f)$ с минимальным значением $r$ называется унизерсальной деформацией.

Важность понятий универсальной деформации и коразмерности демонстрирует основная теорема о деформациях.
14.8. Теорема (Мезер). Особенность $\eta \in \mathbb{m}(n)$ оо́ладает версальной деформацией в том и только том случае, когда коразмерность $\eta$ комечна.

Любые две г-параметрческие версальные деформации ростка п изоморфкы.

Всякая версальная деформация изоморфна сумме $(r, f)+$ const, где $(r, f)$ – универсальмая деформация.

Если $\left\{b_{1}, \ldots, b_{r}\right\} \subset \mathfrak{m}(n)$ – произвольный набор представителей элементов базиса. векторного пространства м $(n) /\left\langle\partial \eta / \partial x_{i}\right\rangle_{\text {в (n) }}$, то деформация $f$ ростка $\eta$, определяемая формулой
\[
f(x, u)=\eta(x)+b_{1}(x) u_{1}+\ldots+b_{r}(x) u_{r},
\]

является универсальной.
(Доказательство этой теоремы займет всю гл. 16.)
14.9. Пример. Для сокращения обозначений будем далее вместо $\left\langle\partial \eta / \partial x_{i}\right\rangle_{\varepsilon(n)}$ писать просто $\langle\partial \eta\rangle$. Пусть $n=1$ и $\eta(x)=x^{N}$. Тогда $\langle\partial \eta\rangle=\left\langle x^{N-1}\right\rangle$ и базисом пространства $m /\langle\partial \eta\rangle$ служат смежные классы элементов $x, x^{2}, \ldots, x^{N-2}$. Следовательно, деформация
\[
f(x, u)=x^{N}+u_{N-2} x^{N-2}+u_{N-3} x^{N-3}+\ldots+u_{1} x
\]

является универсальной деформацией ростка $x^{N}$.
Более общо, пусть
\[
\eta(x)=x_{1}^{N} \pm x_{2}^{2} \pm x_{3}^{2} \pm \ldots \pm x_{n}^{2} ;
\]

гогда $\langle\partial \eta\rangle=\left\langle x_{1}^{N-1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right\rangle$, поэтому деформация
\[
f(x, u)=\eta(x)+u_{N-2} x_{1}^{N-2}+\ldots+u_{1} x_{1}
\]

ростка $\eta$ является универсальной.
Последнее замечание можно сформулировать и в общем случае.
14.10. ЗАмечание. Если $\eta\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)$ имеет универсальную деформацию $\eta+f\left(x_{1}, \ldots, x_{k}, u\right)$ и если $q\left(x_{k+1}, \ldots, x_{n}\right)$-невырожденная квадратичная форма от (других) переменных $x_{k+1}, \ldots, x_{n}$, то в качестве универсальной деформации ростка $\eta+q$ можно взять $\eta+q+f\left(x_{1}, \ldots, x_{k}, u\right)$. Это утверж,.ение вытекает из того, что подходящей линейной заменой координат можно привести $q$ к виду $\pm x_{k+1}^{2} \pm \ldots \pm x_{n}^{2} \quad$ и, следовательно, $\langle\partial(\eta+q)\rangle=\left\langle\partial \eta, x_{k+1}, \ldots, x_{n}\right\rangle$. В этих координатах пространства $\mathfrak{m}(n) /\langle\partial(\eta+q)\rangle$ и $\mathfrak{m}(k) /\langle\partial \eta\rangle$ имеют «один и тот же базис».

Итак, при вычислении универсальной деформации удобно прежде всего преокразовать особенность так, чтобы как можно больше независимых переменных входило только в квадратичные члены, не завнсящие от остальных переменных.
14.11. Определение. Корангом особенности $\eta \in \mathfrak{m}(n)$ называется коранг гессиана ( $\partial^{2} \eta / \partial x_{l} \partial x_{l}(0)$ ), т. е. коранг квадратичной фсэмы, заданиой 2-струей.
14.12. ЛЕмМа о РАзлоЖении ‘). Всякая особенность $\eta \in \mathfrak{m}(n)$ коранга $n-r$ правоэквивалентна особекности вида
\[
q\left(x_{1}, \ldots, x_{r}\right)+\zeta\left(x_{r}+1, \ldots, x_{n}\right),
\]

где $j^{2} \zeta=0$ и $q$ – кевырожденмая квадратичмал форма.
Діоказательство. Сделав линейное преобразование, мы всегда можем привести 2-струю ростка $\eta$ к виду $q\left(x_{1}, \ldots, x_{r}\right)= \pm x_{1}^{2} \pm \ldots \pm x_{r}^{2}$. Положим $\theta=\eta \mid \mathbf{R}^{\prime} ;$ тогда $q$ является 2 -струей $\theta$. Отсюда следует, что росток $\theta$ 2-определен (11.3) и, следовательно, $r$-экви-
1) В оригинале: splitting lemma. – Прим. перев.

валентен $q$. Таким образом, можно считать, что $\eta / \mathbf{R}^{r}=q$. Очевидно, что универсальной деформацией ростка $q$ служит деформация $(0, q)$, так как $\langle\partial q\rangle=$ $=\left\langle x_{i}, \ldots, x_{r}\right\rangle$. Значит, росток $\eta$ можно рассматривать как версальную деформацию ростка $q$, поскольку деформация $\eta$ содержит универсальную деформацию. Согласно основной теореме, версальные деформации данной размерности изоморфны, поэтому $(n-r, q)$ изсморфно $(n-r, \eta)$, т. е. существуют росток $(-\zeta) €$ e $\mathrm{m}(n-r)$ и обратимый росток $\varphi$, такие, что
\[
q\left(x_{1}, \ldots, x_{r}\right)=\eta \varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)-\zeta\left(x_{r+1}, \ldots, x_{n}\right) .
\]

Доказательство леммы о разложении окончено. ․
Напомним, что коразмерностью ростка $\eta$ называется число $\operatorname{dim}_{R} \mathfrak{m}(n) /\langle\partial \eta\rangle$. Наибольший интерес представляют такие ростки, у которых универсальная деформация зависит. не более чем от четырех параметров, т. е. $\operatorname{codim} \eta \leqslant 4$.
14.13. Замечание. Если corank $\eta=r$, то $\operatorname{codim} \eta \geqslant$ $\geqslant\left(\begin{array}{c}r+i \\ 2\end{array}\right)$. в частности, corank $\eta \geqslant 3 \Rightarrow \operatorname{codim} \eta \geqslant 6$.

Докаэательство. Если соrank $\eta=r$, то по лемме – разложении росток $\eta$ в подходяцих координатах принимает вид
\[
\eta(x)=\zeta\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{r}\right)+q\left(x_{r+1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

где $i^{2} \zeta=0$.
Рассмотрим векторное пространство, получаемое из $\mathrm{m}(n) /\langle\partial \eta\rangle$ взятием 2 -струи и приравниванием 0 всех коордннат, кроме первых $r$, т. е. пространство $i^{2} \mathfrak{m}(r) / j^{2}\left\langle\partial^{\prime}\right\rangle$. Ясно, что размерность этого пространства меньше, чем $\operatorname{codim} \eta$. Далее, $\operatorname{dim} j^{2} m(r)=r+\left(\begin{array}{c}r+1 \\ 2\end{array}\right)$ и $\operatorname{dim} j^{2}(\partial \zeta) \leqslant r$. Действительно, элементы $\partial \zeta / \partial x_{l}$ сами порождают вещественное векторное пространство $f^{2}\left\langle\partial \zeta\right.$, поскольку каждый элемент $\partial \zeta / \partial x_{i}$ принадлежнт int $(r)^{2}$. Следовательно,
\[
\operatorname{codim} \eta \geqslant \operatorname{dim} j^{2} m(r) / j^{\prime}\langle\partial \zeta\rangle \geqslant\left(\begin{array}{c}
r+1 \\
2
\end{array}\right) .
\]

Итак, если мы интересуемся универсальными деформациями, имеющими не более 4 параметров, то мы можем ограничиться рассмотрением особенностей $\eta(x, y)$ от двух переменных, которые имеют коразмерность $\leqslant 4$ (невырожденную квадратичную форму $q$ можно не принимать во внимание). Эти особенности автоматически оказываются конечно определенными, точнее 6-определенными. В подходящих координатах они записываются как многочлены от двух переменных степени $\leqslant 6$.

При изучении конечно определенных ростков мы использовали число $\operatorname{dim} \operatorname{m}(n) / \mathrm{m}(n)\langle\partial \eta\rangle$ и заметили в гл. 11, что
\[
\mathfrak{m}(n)\langle\partial \eta\rangle+\langle\partial \eta\rangle_{R}=\langle\partial \eta\rangle_{\mathcal{g}(n)}
\]

Отсюд? рытекает такое утверждение.
14.14. $\operatorname{dim}(\mathrm{m}(n) / \mathrm{m}(n)\langle\partial \eta\rangle) \leqslant \operatorname{dim}(m(n) /\langle d \eta\rangle)+n$, причем равенство достигается, если элементы $\partial \eta / \partial x_{i} \bmod \mathrm{m}(n)\langle\partial \eta\rangle$ линейно независимы. В частности, росток $\eta$ конечно определен $(\operatorname{dim}(\mathrm{m}(n) / \mathrm{m}(n)\langle\partial \eta\rangle)<$ $<\infty$ ) в том и только том случае, когда $\operatorname{codim} \eta<\infty$ (CM. 11.10 ).
14.15. Лемма. Если коразмерность ростка $\eta$ комечна ( $\eta$ конечно о.ределен), то $\operatorname{dim}(\mathrm{m}(n) / \mathrm{m}(n)\langle\partial \eta\rangle)=$ $=\operatorname{codim} \eta+n$.

Қак мы знаем из леммы 11.8 , левая часть последнего равенства есть коразмерность орбиты ростка $\eta$ под действием группы правых преобразований в пространстве $\mathfrak{m}(n)$. В гл. 16 мы увидим, что $r$-параметрическое семейство функций определяет росток отображения $\left(R^{n+r}, 0\right) \rightarrow \mathfrak{m}(n)$. Е.сли $r$-параметрическое семейство общего положения содержит росток $\eta$, то соответствующий росток $\left(\mathrm{R}^{n+r}, 0\right) \rightarrow \mathfrak{m}(n)$ траисверсален орбите, проходящей через $\eta$. Лемма показывает, что в случае, когда росток $\eta$ обладает $r$-параметрической деформацией общего положения, коразмерность $\eta$ не превосходит $r$.

Доказательство леммы. Мы должны доказать, что элементы $\partial \eta / \partial x_{i}$ линейно независимы $\bmod m(n)\langle\partial \eta)$. Если зто не так, то найдутся такие константы $a_{i} \in \mathbf{R}$ и ростки $u_{l} \in \mathfrak{m}(n)$, что
\[
\sum a_{i} \frac{\partial \eta}{\partial x_{i}}=\sum u_{i} \frac{\partial \eta}{\partial x_{i}},
\]
T. e.
\[
\begin{array}{c}
\sum\left(a_{l}-u_{l}\right) \frac{\partial \eta}{\partial x_{l}}=0, \\
a_{l}-u_{l}(0)
eq 0 \quad \text { для некоторого } i .
\end{array}
\]

Проинтегрируем векторное поле $\sum\left(a_{i}-u_{i}\right) \partial / \partial:_{i}$ и выберем координаты так, чтобы его интегральные кривые задавались уравнениями $x_{i}=c_{i}$, где $i>1$ и $c_{i} \in \mathbf{R}$. В этих координатах векторное поле приним ает вид $\rho(x) \partial / \partial x_{1}$, где $\rho(x)
eq 0$. Поэтому $\partial \eta / \partial x_{1} \equiv 0$. Другими словами, $\eta$ не зависит от $x_{1}$ и, следовательно, элементы $x_{1}, x_{1}^{2}, x_{1}^{3}, \ldots$ линейно независимь в $\mathrm{m}(n) /\langle\partial \eta\rangle$. Отсюда мы получаем, что коразмерность $\eta$ равна $\infty$, и приходим к противоречию.

Остаются нерешенными две задачи: во-первых, дать полную классификацию особенностей коразмерности $\leqslant 4$ и их универсальных деформаций (гл. 15) и, во-вторых, доказать основную теорему о деформациях (гл. 16).