Литература: H. Whitney, On slngularities of mappings of Euclidean spaces I, mappings of the plane into the plane, Ann. of Math., 62 (1955), 374-410.
Б. Мальгранж, Идеалы дифференцируемых фунхцй, «Миру, М., 1968.
Дж. Милнор, Теория Морса, «Мир», М., 1965.
Р. Нарасимхан, Анализ на действтельных и комплексных многообразиях, «мирл, М., 1971.

Обозначим множество дифференцируемых отображений $\mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{p}$ через $C^{\infty}\left(\mathbf{R}^{n}, \mathbf{R}^{p}\right)$ и введем в этом множестве топологию, задав базу окрестностей $\{U(\varepsilon, k)\}$ нулевого отображения. Для каждого $k \in \mathbf{N}$ и каждой непрерывной строго положительной функции $\boldsymbol{\varepsilon}: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}$ определим множество $U(\varepsilon, k)$ следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
f \in U(\varepsilon, k) \Leftrightarrow\left|D^{\alpha} f_{f}(x)\right|<\varepsilon(x) \text { при } j=1, \ldots, p \\
\text { для всех }|\alpha| \leqslant k, x \in \mathbf{R}^{n} .
\end{array}
\]

Такую топологию можно ввести также и в множестве $C^{\infty}(M, N)$, где $M, N$ – диференцируемые многообразия, вложив $M$ и $N$ в евклидово пространство. Мы не будем вдаваться в детали (см. книгу Нарасимхана).

Говоря <f близко к $g$ » или «f мало», мы будем иметь в виду только что описанную топологию. Если $K$ – компактное множество в $\mathbf{R}^{n}$, то множество $C^{\infty}\left(K, R^{p}\right)$ наделено фактортопологией, индуцированной из $C^{\infty}\left(\mathbf{R}^{n}, \mathbf{R}^{p}\right)$ с помощью отображения ограничения $C^{\infty}\left(\mathbf{R}^{n}, \mathbf{R}^{p}\right) \rightarrow C^{\infty}\left(K, \mathbf{R}^{p}\right)$. Это придает смысл выражению $<f: R^{n} \rightarrow R^{p}$ мало на $K$ ».

Теперь мы приступим к изучению следующих понятий.
8.1. Определенив. Пусть $M, N$ – дифференцируемые многообразия. Два дифференцируемых отображения $f_{0}, f_{1}: M \rightarrow N$ называются $C^{\infty}$-эквивалентными (соотв. топологически экөивалентными), если существуют диффеоморфизмы (соотв. гомеоморфизмы) $h$ : $M \rightarrow M, k: N \rightarrow N$, такие, что следующая диаграмма коммутативна:

Вопрос об описании всех классов эквивалентности по этому отношению слишком сложен для того, чтобы на него можио было полностью ответить. Например, задача 2 в гл. 3 показывает, что всякое замкнутое множество в $\mathbf{R}^{n}$ является множеством особых точек некоторого отображения $f: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{n}$.

Таким образом, классификация дифференцируемых отображений с точностью до введенного выше отношения эквивалентности является необъятной задачей, более сложной даже, чем задача классификации всех замкнутых подмножеств в $\mathbf{R}^{n}$.

Вот максимум того, на что мы можем надеяться: описать классы эквивалентности для некоторого открытого и плотного подмножества во множестве дифференцируемых отображений (т.е. описать классы эквивалентности для «почти всех» в топологическом смысле дифференцируемых отображений). Совсем хорошо было бы доказать существование открытого н плотного множества отображений, обладающих следующим свойством.
8.2. Определенив. Дифференцируемое отображение $f: M \rightarrow N$ называется $C^{\infty}$ – устойчизым (соотв. тополоенчески устойчшвьм), если найдется такая окрестность $U$ тоики $f$ в $C^{\infty}(M, N)$, что каждое отображение $f_{1} \in U$ C $C^{\infty}$-эквивалентно (соотв. топологически эквивалентно) $f$.

Устойчивые отображения действительно образуют открытое множество в $C^{\infty}(M, N)$, но вопрос заключается в том, плотно ли это множество и можно ли классифицировать устойчивые отображения. Последняя часть вопроса является очень глубокой. Мы можем определить отношение эквивалентности на множестве ростков отображений подобно тому, как это было сделано в определении 8.1, и спросить:

Существует ли конечное множество ростков $\left(\mathbf{R}^{m}, 0\right) \rightarrow\left(\mathbf{R}^{n}, 0\right)$, такое, что если отображение $f: M^{m} \rightarrow N^{n}$ устойчиво, то каждый росток $\tilde{f}:(M, x) \rightarrow$ $\rightarrow(N, f(x))$, определяемый отображением $f$, эквивален тен одному из элементов этого конечного мкожества?

Можно предполагать, что природные геометрические формы описываются устойчивыми отображениями (инвариантны отіосительно малых возмущений). Следовательно, классификация ростков устойчивых отображений есть в то же время локальная классификация природных геометрических форм.

Первый-результат в этом направлении дается теорией Морса. Почти всякая дифференцируемая функция $f: M \rightarrow \mathbb{R}$ устойчива, и каждый росток устойчивой функции зквивалентен ростку одного из следующих типов:
A) $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \mapsto x_{1}$ (регулярная точка),
B) $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \mapsto x_{1}^{2}+\ldots+x_{k}^{2}-\left(x_{k+1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}\right)$ (критическая точка индекса $n-k$ ).
Это легко получить из результатов книги Милнора «Теория Морса».

Следующий результат был впервые доказан Уитни и описывает дифференцируемые отображения $\mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}^{2}$. есть только три класса зквивалентности устойчивых ростков отображений $\mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}^{2}$. Представьте себе смятый кусок эластичной материи, прилегающий к ровной поверхности. Картина, которая у вас при этоо возникла, и есть типичный образ устойчивого отображения плоскости в плоскость. Қак выглядит такое отображение локально (в подхопящих системах координат)?
8.3. Могут представиться три возможности:
(i) Окрестность точки $x \in R^{2}$ отображается регулярно.
(ii) Точка $x$ лежит на складке.
(iii) Точка $x$ лежит там, где складка начинается или кончается.
В каждом из этих случаев легко привести соответствующий аналитический пример:
(i) $f: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}^{2},(x, z) \longmapsto(x, z)$ – регулярная точка.
(ii) f: $\mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}^{2},(x, z) \rightarrow\left(x, z^{2}\right)=(x, y)-$ схладка.
(iii) $f: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}^{2},(x, z) \mapsto\left(x, z^{3}-x z\right)=(x, y)-$ сборка,

Вторая координата $y=z^{3}-x z$ при фиксированном $x$ является многочленом третьей степени с производной $\partial y / \partial z=3 z^{2}-x$. Точки экстремума этого многочлена задаются уравнением $x=3 z^{2}$, а сами экстремальные значения равны $y= \pm \frac{2}{3 \sqrt{3}} x^{3 / 2}$.Это приводит к следующей картине:
Мы хотим доказать такой результат:
8.4. Теорема (X. Уитни). Суцествует открытое $u$ плотное подмножество $T \subset C^{\infty}\left(\mathrm{R}^{2}, \mathrm{R}^{2}\right)$, такое, что для $x \in \mathbf{R}^{2}$ и $f \in T$ росток $\tilde{f}:\left(\mathbf{R}^{2}, x\right) \rightarrow\left(\mathbf{R}^{2}, f(x)\right.$ ) дифференцируемо эквивалентен одному из трех ростков (i), (ii) или (iii).

На самом деле отображения из $T$, удовлетворяюцие некоторым слабым дополнительным глобальным условиям, устойчивы. Эти дополнительные условня таковы: (1) образы складок (являюшиеся дифференцируемыми кривыми в $\mathbf{R}^{2}$ ) должны пересекаться трансверсально (т. е. иметь линейно независимые касательные); (2) в каждой точке должно пересекаться не более двух образов складок, и (3) две точки сборки или точка сборки и точка складки не должны иметь фдин и тот же образ. Эта теорема легко обобщается на отображения одной поверхноски в другую (см. рисунок).

Доказательству этой теоремы и будет посвящена оставшаяся часть главы.
8.5. Лемма. Пусть $X=Y=\mathbf{R}^{2}, X=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \mid x_{l} \in\right.$ $\in \mathbf{R}\}, \quad \boldsymbol{\gamma}=\left\{\left(y_{1}, y_{2}\right) \mid y_{1} \in \mathbf{R}\right\}$, и пусть $f=\left(f_{1}, f_{2}\right): X \rightarrow$ $\rightarrow Y$-дифференцируемое отобрэение. Тогда в каждой окрестности отображения $f$ существует дифференцируемое отображение $\mathrm{g}=\left(\mathrm{g}_{1}, \mathrm{~g}_{2}\right)$, такое, что $\mathrm{Rk}_{x} \mathrm{~g}=$ $=\mathrm{Rk}\left(\partial g_{i} / \partial x_{j}\right)(x)
eq 0$.

Доказательство. Фиксируем некоторую охрестность отображения $f$. Рассмотрим отображение
\[
\left(\partial f_{i} / \lambda x_{1}\right), 1-1,2: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}^{4} .
\]

Это отображение дифференцируемо, и по теореме Сарда (тривиальный случай) его образ имеет меру нуль. Сколь угодно близко к точке $0 \in \mathrm{R}^{4}$ найдется точка $\lambda=\left(\lambda_{i j}\right)$, не принадлежащая образу этого отображения. Следовательно, матрица ‘Якоби отображения
\[
\bar{g}_{l}\left(x_{1}, x_{2}\right)=f_{l}\left(x_{1}, x_{2}\right)-\lambda_{1} x_{1}-\lambda_{12} x_{n}
\]

нигде не обращается в нуль.
Обозначим через $K(0, n)$ круг в $\mathbf{R}^{2}$ радиуса $n$ с центром в начале координат. Построим теперь дифференцируемую функцию $\varphi_{n}: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}$, такую, что $\varphi_{n} \mid K(0, n)=1$ и $\varphi_{n} \mid R^{2}-K(0, n+1)=0$. Положвм
\[
g^{1}=\varphi_{1} \bar{g}+\left(1-\varphi_{1}\right) f .
\]

Тогда $g^{\prime}$ близко к $f$ при малых $\lambda$ и удовлетворяет условию $\left(\partial g_{i} / \partial x_{i}\right)
eq 0$ на $K(0,1)$ для почти всех $\lambda$. Построим отображение $\boldsymbol{g}^{\boldsymbol{n}}$ индуктивно, полагая $g^{n}=\left(\varphi_{n}-\varphi_{n-2}\right) \bar{g}+\left(1-\left(\varphi_{n}-\varphi_{n-2}\right)\right) g^{n-1}$, где $\varphi-1=0$. Из этой формулы видно, что $g^{n}$ и $g^{n-1}$ отличаются только на множестве $K(0, n+1)-K(0, n-2)$ : Отображение $g$ выбирается так же, как выше, причем $\lambda$ берется столь малым, чтобы $g^{n}$ было достаточно близко к $g^{n-1}$, а именно, чтобы были выполнены следующие два условия:
(1) $g^{n}$ лежит в предписанной окрестности отображения $f$;
(2) матрица Якоби $g^{n}$ не обращается в нуль на $K(0, n-1)$ (матрица Якоби $g^{n-1}$ не обращаетея в нуль на $\therefore(0, n-1)$ и, следовательно, тем же свойством обладает всякое близкое к $g^{n-1}$. отображение; заметьте, что $g^{n}=\bar{g}$ на $\left.K(0, n)-K(0, n-1)\right)$.

Положим $\boldsymbol{g}=\lim _{n \rightarrow \infty} g^{n}$. В окрестности всякой точки отображения $g^{n \rightarrow \infty}$ и $g^{n}$ локально совпадают при всех достаточно больших $n$. Следовательно, отображение $g$ дифференцируемо и его матрица Якоби ни в одной точке не равна нулю. Кроме того, $g$ лежит в заданной окрестности отображения $f$.
8.6. Характерные особенности этой конструкции, которая постоянно встречается в дифференциальной топологии, таковы:
(1) свойство, которое мы желаем получить (в данном случае: $\mathrm{Rk}_{x} g
eq 0$ всюду), выполняется на открытом множестве отображенин;
(2) каждое отображение локально может быть аппроксимировано отображением, обладаюшим этим свойством.

Без ограничения общности можно считать, что для ростка $g:\left(\mathbf{R}^{2}, 0\right) \rightarrow\left(\mathbf{R}^{2}, 0\right)$ с ненулевой матрицей Якоби выполнено неравенство $\partial g_{1} / \partial x_{1}(0)
eq 0$. Сделав замен\” $\left(x_{1}, x_{2}\right) \longrightarrow\left(g_{1}(x), x_{2}\right)$ в области определения $g$, мы прнведем росток $g$ к виду $(x, z) \longrightarrow(x, \varphi(x, z))$.

Предыдущая лемма показывает, что почти всякое отображение имеет только что описанный вид в подходящей системе координат. Кроме того, если отображение имеет такой вид в некоторой компактной окрестности, то всякое близкое отображение может быть приведено к такому виду в этой окрестности.

Другие изменения ростка, нужные для того, чтобы получить основную теорему, нам удастся сделать, изменяя лишь определенную выше функцию $\varphi: R^{2} \rightarrow R$. Мы будем работать с отображениями $\mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}$ и по образцу леммы 8.5 докажем такое утверждение:
8.7. Лемма. Пусть $U \subset \mathbf{R}^{2}=\{(x, z) \mid x, z \in \mathbf{R}\} \rightarrow$ открытое множество. IIусть $\mathrm{f:} U \rightarrow \mathbf{R}$ – дифференцируемая функция и $K$ – компактное подмножество в U. Тогда существуют сколь угодно близкие к $f$ на $К$ функции $g: U \rightarrow \mathrm{R}$, такие, что в любой точке $a \in U$
(i) зибо $\partial g / \partial z(a)
eq 0$,
(ii) либо $\partial g / \partial z(a)=0$, но $\partial^{2} \xi / \partial z^{2}(a)
eq 0$;
(iii) либо $\partial g / \partial z(a)=0, \partial^{2} g / \partial z^{2}(a)=0$, но $\partial^{2} g / \partial x \partial z(a)
eq$ $
eq 0 u \partial^{3} g / \partial z^{3}(a)
eq 0$.
Доказательство. Положим.
\[
g(x, z)=f(x, z)+\lambda_{1} z+\lambda_{2} z^{2}+\lambda_{3} x z+\lambda_{4} z^{3} .
\]

Требуется показа:: то найдется достаточно малое $\lambda=\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{4}\right) \in \mathbf{R}^{4}$, для которого всюду будет выполнено одно из условий (i), (ii), (ii). Имеем
\[
\begin{aligned}
\partial g / \partial z & =(\partial f / \partial z)+\lambda_{1}+2 \lambda_{2} z+\lambda_{3} x+3 \lambda_{4} z^{2}, \\
\partial^{2} g / \partial z^{2} & =\left(\partial^{2} f / \partial z^{2}\right)+2 \lambda_{2}+6 \lambda_{4} z, \\
\partial^{2} g / \partial x \partial z & =\left(\partial^{2} f / \partial x \partial z\right)+\lambda_{3}, \\
\partial^{3} g / \partial z^{3} & =\left(\partial^{3} f / \partial z^{3}\right)+6 \lambda_{4} .
\end{aligned}
\]

Отсюда следует, что если $\partial g / \partial z(a)=\partial^{2} g / \partial z^{2}(a)=0$, ro
\[
\partial^{2} g / \partial x \partial z(a)=0 \Leftrightarrow A(a) \cdot \lambda=b(a),
\]

где
\[
A(a)=\left[\begin{array}{llll}
1 & 2 z & x & 3 z^{?} \\
0 & 2 & 0 & 6 z \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right] \text { и } b(a)=-\left(\frac{\partial f}{\partial z}, \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial z}\right) .
\]

Аналогичное условие имеется и для равенства $\partial^{3} g / \partial z^{3}(a)=0$, отличающееся только -видом матрицы. В этом случае
\[
\vec{A}(a)=\left[\begin{array}{llll}
1 & ? z & x & 3 z \\
0 & 2 & 0 & 6 z \\
0 & 0 & 0 & 6
\end{array}\right] .
\]

Матрицы $A$ и $\bar{A}$ в каждой точке имеют ранг 3 , поэтому достаточно показать, что те $\lambda=\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{4}\right)$, для которых $A(a) \cdot \lambda=b(a)$ для некоторого $a$, образуют множество меры нуль (и что это же верно для матрицы $\bar{A}$ ).
Матрица $A$ олределяет отображение
\[
\begin{aligned}
U \times \mathbf{R}^{4} & \rightarrow U \times \mathbf{R}^{3}, \\
(a, \lambda) & \mapsto(a, A(a) \cdot \lambda) .
\end{aligned}
\]

Поскольку $A$ имеет ранг 3 , это отображение – субмерсия. Оно имеет всюду ранг 5.

Точки $\{(a, b(a)) \mid a \in U\}$ образуют в $U \times \mathbf{R}^{3}$ подмногообразие коразмерности 3. Следовательно, прообраз этого многообразия в $U \times \mathbf{R}^{4}$ есть подмногообразие коразмерности (а значит, и размерности) 3 . Спроектировав это многообразие на $\mathbf{R}^{4}$, мы получим множество меры нуль, состоящее из тех $\lambda \in \mathbf{R}^{4}$, которые удовлетворяют условию $A(a) \cdot \lambda=b(a)$ при некотором $a \in U$.

Стандартное рассуждение с использованием локально конечного покрытия дает открытое и плотное множество $T \subset C^{\infty}\left(\mathbf{R}^{2}, \mathbf{R}^{2}\right)$, такое, что каждое отображение из $T$ в каждой точке имеет локальное координатное представление
\[
(x, z) \mapsto(x, f(x, z)),
\]

в котором функция $f$ удовлетворяет одному из условий (i), (ii), (iii) леммы 8.7.

Мы только коротко поясним, как это делается. По лемме 8.5, существует открытое и плотное множество отображений $F: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}^{2}$, для каждого из которых можно найти счетное семейство компактных множеств $\left\{K_{n} \mid n \in \mathrm{N}\right\}$ и окрестность $U_{n}$ каждого множества $K_{n}$, обладающие следуюшчми свойствами:
внутренности множеств $K_{n}$ покрывают $\mathbf{R}^{2}$,
каждая окрестность $U_{n}$ имеет компактное замыкание,

семейство $\left\{U_{n} \mid n \in \mathbf{N}\right\}$ локально конечно, и, если $\mathbf{R}^{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right)\right\}$,

для каждого $n$ найдется такая пара $(i, j)(i, j \in$ $\in\{1,2\})$, что в любой точке $a \in K_{n}$ имеем $\partial F_{l} / \partial x_{l}(a)
eq 0$.

Теперь мы можем определить на всем $K_{n}$ отображение $\left(x_{1}, x_{2}\right) \rightarrow\left(x_{k}, F_{1}\right)$, которое локально, в каждой точке $K_{n}$, является заменой координат. Это отображение переводит первоначальный росток в росток вида $\left(x_{1}, x_{2}\right) \mapsto\left(x_{1}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)$.

Заметим, что из последнего условия на $K_{n}$ следует, что для любого отображения $G$, достаточно близкого к $F, \partial G_{i} / \partial x_{i}(a)
eq 0$ при всех $a \in K_{n}$. Для таких $G$ существует замена координат, соответствующая аналогичной замене координат для $F$, приводящая $G$ к внду $\left(x_{1}, x_{2}\right) \mapsto\left(x_{1}, g\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)$. Если $G$ близко к $F$, то $g$ близко к $f$.

Будем теперь менять исходное отображение индуктивно на каждом $U_{n}$ таким образом, чтобы после $n$ шагов условия леммы 8.7 выполнялись на множестве $\bigcup_{i=1}^{n} K_{i}$. Предположим, что мы уже сделали $n$ шагов и что полученное отображение $F$ столь мало отличается от исходного отображения, что $\partial F_{i} / \partial x_{j}(a)$ по-прежнему отлично от нуля для всех $a \in K_{m}$ и для всех $m$, где для каждого $m$ рассматривается соответствующая пара $(i, j)$. Будем теперь менять отображение $F$ на $U_{n+1}$ так, чтобы условия леммы 8.7 выполнялись на $K_{n+1}$ и чтобы были выполнены следующие три условия: (1) отображение остается в предписанной окрестности исходного отображения, 2) условия леммы 8.7 по-прежнему выполняются па множестве $\bigcup_{i=1}^{n} K_{n} \cap U_{n+1}$, (3) для любого $m$ и подходящей пары $(i, j)$ неравенство $\partial F_{i} / \partial x_{l}(a)
eq 0$ выполняется для всех $a \in K_{m}$.

Поскольку семейство $\left\{U_{n} \mid n \in \mathrm{N}\right\}$ локально конечно, мы будем менять отображение $F$ в окрестности каждой точки лишь конечное число раз. Следовательно, предел описағ шых выше отображений существует и является дифференцируемым отображением, которое локально можно привести к виду $(x, y) \mapsto$ $\longmapsto(x, f(x, y))$ где $\dot{f}$ удовлетворяет условиям леммы 8.7.

Второй шаг доказательства теоремы Уитни – показать, что любое отображение из множества $T$ локально можно привести к одной из трех рассмотренных выше форм: регулярная точка, складка или сборка. Итак, мы рассматриваем росток
\[
\begin{aligned}
\tilde{F}:\left(\mathbb{R}^{2}, 0\right) & \rightarrow\left(\mathbf{R}^{2}, 0\right), \\
(x, z) & \rightarrow(x, \tilde{f}(x, z)),
\end{aligned}
\]

где
(i) либо $\partial f / \partial z(0)
eq$,
(ii) либо $\partial f / \partial z(0)=0$ и $\partial^{2} f / \partial z^{2}(0)
eq 0$,
(iii) либо $\partial \mathrm{f} / \partial z(0)=\partial^{2} f / \partial z^{2}(0)=0$ и
\[
\partial^{2} f / \partial x \partial z(0)
eq 0, \quad \partial^{3} f / \partial z^{3}(0)
eq 0 .
\]
8.8. Случай (i). Росток $\tilde{F}$ регулярен. Сделав в образе замену координат с помощью $F^{-1}$, мы превратим $F$ в тождественное отображение.

8.9. Случай (ii). $f(0, z)=z^{2} \cdot q(z)$, где $q(0)
eq 0$. В этом случае идеалы $\langle x, f\rangle_{\delta(2)},\left\langle x, z^{2}\right\rangle_{\delta(2)}$ совпадают. и, согласно подготовительной теореме, функции $1, z$ порождают $\mathscr{E}(2)$ как $\mathscr{E}(2)$ модуль со структурой модуля, определенной с помощью отображения $F^{*}$.
В частности, росток $z^{z}$ можно записать в виде
\[
z^{2}=\Phi(x, f(x, z))+2 \psi(x, f(x, z)) \cdot z,
\]

где $\Phi(x, y), \psi(x, y)$ – некоторые ростки.
Взяв разложение Тейлора до членов второго порядка от обеих частей этого тождества, получим два многочлена второй степени с совпадаюцими коэффициентами:
\[
\begin{array}{c}
\Phi(0,0)=\psi(0,0)=0 ; \quad \partial \Phi / \partial y(0)
eq 0 ; \\
\partial \psi\left(x, f\left(x_{2} z\right)\right) / \partial z(0)=\partial \psi / \partial y(0) \cdot \partial f / \partial z(0)=0 .
\end{array}
\]

Это означает, что огображения
\[
\begin{array}{l}
h(x, z)=(x, z-\psi(x, f(x, z))), \\
k(x, y)=\left(x, \Phi(x, y)+\psi^{2}(x, y)\right)
\end{array}
\]

являются заменами координат. Таким образом, коммутативна диаграмма
\[
\begin{array}{l}
(x, z) \xrightarrow{h}(x, z-\psi(x, f(x, z))) \\
F\rceil \quad \downarrow\left(\mathrm{d} .1 \mathrm{~d}^{2}\right) \\
(x, f(x, z)) \stackrel{k}{\longmapsto}\left(x, \Phi(x, f(x, z))+\psi^{2}(x, f(x, z))\right) \\
\end{array}
\]

поскольку $z^{2}+\psi^{2}-2 \psi z=\Phi+2 \psi z+\psi^{2}-2 \psi z=\Phi+$ $+\Psi^{2}$. Следовательно, $F$ эквивалентно отображению $(x, z) \mapsto\left(x, z^{2}\right)$.
8.10. Случай (iii). В этом случае $\partial f / \partial z(0) ш$ $=\partial^{2} f / \partial z^{2}(0)=0$ и $\partial^{2} f / \partial x \partial z(0)
eq 0, \partial^{3} f / \partial z^{3}(0)
eq 0$. Как в выше, мы выводим из подготовительной теоремы, что существуют ростки $\tilde{\Phi}, \tilde{\psi}, \tilde{A}$, для которых
\[
z^{s}=\tilde{\Phi}(x, \tilde{f}(x, z))+\tilde{\psi}(x, \tilde{f}(x, z)) z+3 \tilde{\theta}(x, \tilde{f}(x, z)) z^{2}
\]

Из этого тождества вытекает тождество между струями в начале координат. Сравнивая коэффициенты при $1, z, z^{2}$, находим, что $\grave{\Phi}(0)=\bar{\psi}(0)=\tilde{\theta}(0)=0$ и что функция $\theta(0, f(0, z))$ имеет нуль по меньшей мере третьего порядка по $z$ (напомним, что это означает, что эта функция лежит в $\left.\mathfrak{m}(1)^{3}\right)$. Следовательно, преобразование
\[
(x, z) \mapsto(x, z-\tilde{\theta}(x, \tilde{f}(x, z)))
\]

является допустимой заменой координат.
Эта замена координат переводит функцию $f$ в функцию $f_{T}$, определяемую с помощью следующей диаграммы:
\[
(x, z) \mapsto(x, z-\tilde{\theta}(x, \tilde{f}(x, z)))=(x, \bar{z})
\]

Функция $f_{T}$ удовлетворяет в случае (iii) тому же условию, что и $f$ : функция $f_{T}(0, \bar{z})=f(0, z-\theta(0, f(0, z)))$ нмеет нуль в точности третьего порядка, а $\partial f_{T} / \partial x(0, \bar{z})$ имеет нуль в точности первого порядка, в чем можно убедиться путем сравнения коэффициентов 2-струй:
\[
\begin{array}{l}
f(x, z)=f_{1} x+f_{2} x^{2}+f_{3} x z \bmod \hat{\mathfrak{m}}(2)^{3}, \\
\hat{\bar{z}}(x, z)=z+c_{1} x+c_{2} x^{2}+c_{3} x z \bmod \hat{\mathfrak{m}}(2)^{3}, \text { следовательно, } \\
z(x, \bar{z})=\bar{z}-c_{1} x-\left(c_{2}-c_{1} c_{3}\right) x^{2}-c_{3} x \bar{z} \bmod \hat{m}(2)^{3},
\end{array}
\]

следовательно,
\[
\begin{aligned}
\hat{f}_{T}(x, \bar{z}) & =\hat{f}(x, \hat{z}(x, \bar{z}))= \\
& =f_{1} x+\left(f_{2}-f_{3} c_{1}\right) x^{2}+f_{3} x \bar{z} \bmod \hat{\mathfrak{m}}(2)^{3},
\end{aligned}
\]

где $f_{3}$ отлично от нуля по предположению. Заметим теперь, что в новых координатах
\[
\begin{aligned}
\bar{z}^{3} & =(z-\theta)^{3}=z^{3}-3 z^{\prime} \theta+3 z \theta^{2}-\theta^{3}= \\
& =\Phi+\psi z+3 \theta z^{2}-3 z^{2} \theta+3 z \theta^{2}-\theta^{3}= \\
& =\left(\Psi+3 \theta^{\prime}\right)(z-\theta)+\left(\Phi+2 \theta^{3}+\psi \cdot \theta\right)=\psi_{1} \bar{z}+\Theta_{1},
\end{aligned}
\]

где $\Psi_{1}$ и $Ф$ – некоторые постки. Это показывает, что мы могли с самогс начала предполагать, что $\theta=0$, т. e.
\[
\begin{aligned}
z^{3} & =\Phi(x, f)+\Psi(x, f) z, \\
\Phi(0,0) & =\psi(0,0)=0 .
\end{aligned}
\]

Сделаем теперь замену координат в прообразе $\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right)\right\}$ и в образе $\left\{\left(y_{1}, y_{2}\right)\right\}$ по формулам
(A). $\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right] \mapsto\left[\begin{array}{c}\psi\left(x_{1}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \\ x_{2}\end{array}\right]$.
(B) $\left[\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2}\end{array}\right] \mapsto\left[\begin{array}{l}\Psi\left(y_{1}, y_{2}\right) \\ \Phi\left(y_{1}, y_{2}\right)\end{array}\right]$.
Прежде всего мы должны проверить, что эти формулы действительно задают допустимые замены координат. ҮТроделаем некоторые вычисления в 3-струях:
\[
f\left(x_{1}, x_{2}\right)=f_{1} x_{1}+f_{2} x_{1}^{2}+f_{3} x_{1} x_{2}+f_{4} x_{2}^{3}+x_{1} \cdot o(2) \bmod \hat{m}^{4},
\]

где $f_{3}, f_{4}
eq 0$ (напомним, что обозначение $o()$ вводилось в 4.7),
\[
\begin{array}{l}
\hat{\Phi}\left(x_{1}, y\right)=b_{1} x_{1}+b_{2} y \bmod \hat{\mathrm{m}}^{2}, \\
\hat{\Phi}\left(x_{1}, y\right)=c_{1} x_{1}+c_{2} y \bmod \hat{\mathrm{m}}^{2}, \\
\text { (C) } x_{2}^{3}=\hat{\Phi}\left(x_{1}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)+\hat{\Phi}\left(x_{1}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \cdot x_{2} .
\end{array}
\]

Для замены (A) мы должны показать, что $c_{1}+c_{2} f_{1}
eq 0$, а для замены (B) – что $\left|\begin{array}{ll}b_{1} & b_{2} \\ c_{1} & c_{2}\end{array}\right|
eq 0$. ИЗ формулы (C), которая представляет собой тождество между степенными рядами, вытекает, что $\xi_{2}
eq 0$, поскольку $b_{2} f_{4}$ коэффициент при $x_{2}^{3}$ в правой части. С другой стороны, коэффициент при $x_{1} x_{2}$, а именно $\left(c_{1}+c_{2} f_{1}\right)+b_{2} f_{3}$, равен нулю, и, так как $f_{3}
eq 0, b_{2}
eq 0$, имеем $c_{1}+$ $+c_{2} f_{1}
eq 0$. Коэффициент при $x_{1}$ равен $b_{1}+b_{2} f_{1}$, т. е. нулю, поэтому $b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}=-b_{2}\left(f_{1} c_{2}+c_{1}\right)
eq 0$, что и требовалось доказать.

Чтобы завершить доказательство теоремы Уитни об отображениях плоскости в плоскость, мы должны проверить коммутативность следующей диаграммы:
\[
\begin{array}{l}
\left(x_{1}, x_{2}\right) \quad \stackrel{(\mathrm{A})}{\mapsto}\left(\Psi\left(x_{1}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right), x_{2}\right)=(\bar{x}, \bar{y}) \\
\text { F } \downarrow \quad \downarrow \\
\left(x_{1}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \stackrel{(B)}{\mapsto}\left(\Psi\left(x_{1}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right), \Phi\left(x_{1}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)\right)= \\
=\left(\bar{x}, \bar{y}^{3}-\bar{x} \bar{y}\right) \\
\end{array}
\]

которая эквивалентна нашему уравнению
\[
x_{2}^{3}-\Psi\left(x_{1}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) x_{2}=\Phi\left(x_{1}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) .
\]