На протяжении этой главы буква $\eta$ будет обозна чать особенность. Версальные деформации особенности $\eta$ характеризуются условиями трансверсалькости, которые мы сейчас опишем в явном виде.

Пусть $\eta \Subset \operatorname{m}(n)^{2}$ — некоторый росток и $(r, \tilde{f})$ его $r$-параметрическая деформация. Пусть $f$-представитель $\tilde{f}$. Обозначим через $J_{0}^{k}(n, 1)$ пространство $k$-струй с нулевым свободным членом. Определим росток отображения
\[
\text { ilf: }\left(\mathbb{R}^{n+r}, 0\right) \rightarrow J_{0}^{k}(n, 1)
\]

следующим образом: представителем ilf служит отображение, переводяцее пару $(x, u)$ в $k$-струю отображения $(y \mapsto f(x+y, u)-f(x, u))$.

Тогда $j_{1}^{k} f$ можно рассматривать как обобщение частной производной: это частичное (взятое по переменным $x$ ) разложение Тейлора в точке $(x, n)$.
16.1. Определвние. Отображение $f$ пазывается $k$-трансьерсальным, если росток $j_{1}^{k} f$ в начале координат трансверсален орбите $\hat{\eta} \widehat{\mathscr{B}}_{k}(n)$ точки $\hat{\eta} \cdot($ т. е. $k$-струи ванй.
Очевидно, что $j_{1}^{k} f(0)=j^{\tilde{\kappa}_{\eta}}(0)=\hat{\eta} \in \hat{\eta} \hat{\mathscr{B}}_{k}(n)$.
Теперь мы можем добавить к основной теореме следуюций критерий версальности деформаций.

16.2. Творема (версальность $\Leftrightarrow k$-трансверсальность). Если росток $\eta$-определен, то его деформация версалька тогда и только тогда, когда она $k$-трансверсальна.

Самой трудной частью этой главы будет доказательство следующей леммы.
16.3. Основная лемма. Если росток $\eta k$-определен $u(r, f),(r, g)$-дөе $k$-трансверсальные деформации, To $(r, f) \simeq(r, g)$.

Прежде всего сформулируем :о-другому определение $k$-трансверсальности, используя явную. формулу. На этом пути мы сможем вывести как основную теорему 14.8 , так и теорему 16.2 из основной леммы. Доказательство основной леммы отложим на конец главы.
16.4. Лемма. Отображение $f$-трансверсально тогда и голько тогда, когда
\[
\mathrm{m}(n)=\left\langle\partial \eta / \partial x_{l}\right\rangle+V_{f}+\mathfrak{m}(n)^{k+1},
\]
sде $V_{f}=\left\langle\partial f / \partial u_{i} \mid R^{n} \times\{0\}-\partial f / \partial u_{l}(0)\right\rangle_{R}$ — вецественное өекторное пространство, порожденное указанными эленентами.

Доказательство. Из (11.8) мы знаем, что касательное аространство к $\eta \hat{\mathscr{g}}_{k}$ есть
\[
\mathfrak{m}(n)\left\langle\partial \eta / \partial x_{i}\right\rangle+\mathfrak{m}(n)^{k+1} .
\]

Нужно вычислить образ $D j_{1}^{k} f(0)$. Касательное пространство $T_{0}\left(\mathbf{R}^{n} \times \mathbf{R}^{\prime}\right)$ порождено векторами $\frac{\partial}{\partial x_{i}} \cdot \frac{\partial}{\partial u_{j}}$. п поэтому искомый образ порожден векторами
\[
\frac{\partial}{\partial x_{i}} j_{1}^{k} f(0)=j_{1}^{k} \frac{\partial}{\partial x_{i}} f(0) \quad \therefore \quad j_{1}^{k} \frac{\partial}{\partial u_{j}} f(0) .
\]

Далее,
\[
j_{1}^{k} \frac{\partial}{\partial x_{l}} f(0)=j_{1}^{k} \frac{\partial}{\partial x_{l}} \eta(0) .
\]

Tеперь лемма следует из равенств
\[
\mathfrak{m}(n)\langle\partial \eta\rangle+\mathfrak{m}(n)^{k+1}+\left\langle j^{k} \frac{\partial \eta}{\partial x_{l}}(0)\right\rangle_{\mathbb{R}}=\langle\partial \eta\rangle+\mathfrak{m}(n)^{k+1}
\]

н
\[
\begin{aligned}
\left\langle i_{1}^{k} \frac{\partial}{\partial u_{l}} f(0)\right\rangle_{\mathrm{R}} & +\mathrm{m}(n)^{k+1}= \\
& =\left\langle\frac{\partial f}{\partial u_{l}} \left\lvert\, \mathrm{R}^{n} \times\{0\}-\frac{\partial f}{\partial u_{l}}(0)\right.\right\rangle_{\mathrm{R}}+\mathrm{m}(n)^{n+1} .
\end{aligned}
\]
16.5. Следствие. Если $b_{1}, \ldots, b_{r}$ — базис вехторного пространства $\mathrm{m}(n) /\left(\langle\partial \eta\rangle+\mathfrak{m}(n)^{k+1}\right)$, то отображение $\eta+\sum u_{i} b_{1} k$-трансверсально.
16.6. Следствие. Если $(r, f)$ — версальная деформация ростка $\eta$, то деформация $f k$-трансверсальна для любого $k$.

Доказательство. Бозьмем $k$-трансверсальную деформацию $(s, g)$; ее легко построить при помощи следствия 16.5. По определению версальной деформации, существует морфизм
\[
(\varphi, \alpha):(s, g) \rightarrow(r, f) .
\]

Таким образом, $g=f \circ \varphi+\alpha$ и так как $\alpha$ не зависит
\[
V_{f \varphi} \subset\langle\partial \eta\rangle+V_{f}
\]

поскольку
\[
\frac{\partial f \cdot \varphi}{\partial u_{l}}=\sum_{l=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{l}} \frac{\partial \varphi_{l}}{\partial u_{l}}+\sum_{v=1}^{r} \frac{\partial f}{\partial v_{v}} \frac{\partial \varphi_{v}}{\partial u_{l}} .
\]

Ограничнвая это равенство на $\mathbf{R}^{n} \times\{0\}$, получаем
\[
\frac{\partial f \circ \varphi}{\partial u_{j}}=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial \eta}{\partial x_{l}} \cdot \frac{\partial \varphi_{l}}{\partial u_{l}}+\sum_{v=1}^{r} \frac{\partial f}{\partial v_{v}}: a_{v j},
\]

где $a_{v f}=\frac{\partial \varphi_{v}}{\partial u_{j}}(0)$.
По лемме 16.4, деформация $f$ является $k$-трансверсальной.

Итак, версальные деформации $k$-трансверсальны. Обратное еще проще — достаточно воспользоваться основной леммой.

Доказательство теорежы 16.2 (версальность $\Leftrightarrow$ $k$-трансверсальность). Пусть $\eta$ есть $k$-определенный росток, $(r, f)$ есть $k$-трансверсальная деформация и $(s, g)$ — произвольная деформация. Мы должны найти морфизм $(s, g) \rightarrow(r, f)$. Построим его так. Существует очевидный морфизм $(s, g) \rightarrow(s, g)+(r, f)$. Последняя деформация $k$-трансверсальна, поскольку трансверсальна деформация ( $r, f)$. По основной лемме, существует морфизм этой деформации в $k$-тр знсверсальную деформацию const $+(r, f)$, для которой, очевидно, существует морфизм в $(r, f)$.
16.7. Слвдствие (ср. с леммой 14.15). Если ( $r, f)-$ версальная деформация ростка $\eta$, то codim $\eta \leqslant r$.

Доказательство. Деформация $(r, f) k$-трансверсальна и, значит, $\mathrm{m}(n)=\langle\partial \eta\rangle+V_{1}+\mathrm{m}(n)^{k+1}$. Следовательно, $\operatorname{dim}\left(m(n) /\left(\left\langle\partial \eta+m(n)^{k+1}\right)\right) \leqslant \operatorname{dim} V_{f} \leqslant r\right.$. Это неравенство верно при любом $k$, поэтому, согласно лемме Накаямы,
\[
\mathfrak{m}(n)^{k} \subset\langle\partial \eta\rangle:-\mathfrak{m}(n)^{k+1} \quad \text { при } \quad k>r .
\]

Еще одно применение леммы Накаямы дает $m(n)^{k} \subset\langle\partial \eta\rangle$ и, значит, $\operatorname{dim} \mathfrak{m}(n) /\langle\partial \eta\rangle \leqslant r$.

Доказательство основной теоремы 14.8. Теперь мы можем дать полное доказательство основной теоремы — деформациях (по-прежнему предполагая справедливость основной леммы).

Если росток $\eta k$-определен, то обе его $r$-параметрические версальные деформации являются $k$-трансверсальными. Следовательно, эти две деформации изоморфны. Если $(r, f)$ — версальная деформация наименьшей размерности, то как $(r, f)$, так и $(r, f)+$ + const являются $k$-трансверсальными. Oтсюда-выводим, что все $k$-трансверсальные деформации могут быть получены из деформации ( $r, f$ ). Следствие 16.7 показывает, что минимальное во?можное число параметров версальной деформации равно codim $\eta$. Если коразмерность ростка $\eta$ конечна (скажем, равна $r$ ), то росток $\eta$ конечно определен (см. 11.4). Следствие 16.5 даєт $r$-параметрическую $k$-трансверсальную, а, следовательно, универсальную деформацию ростка $\eta$, имеющую требуемый вид.

Теперь мы переходим к самой трудной части каших рассуждений.

Доказательство основной леммы 16.3. Пусть $\eta$ есть $k$-определенная особённость, а $(r, f),(r, g)$ — две ее $k$-трансверсальные деформации. Нужно построить изоморфизм $(r, f) \cong(r, g)$. Мы знаем, что деформация $(r, f) k$-трансверсальна, если выполнено уеловие
\[
\left\langle\partial \eta / \partial x_{i}\right\rangle+V_{f}+\mathfrak{m}(n)^{k+1}=\mathfrak{m}(n),
\]

где пространство $V_{f}$ порождено над $\mathbf{R}$ элементами
\[
\left(\frac{\partial f}{\partial u_{i}} \left\lvert\, \mathbf{R}^{n} \times\{0\}-\frac{\partial f}{\partial u_{i}}(0)\right.\right) .
\]

ЗАдача. Найти гомотопию $F_{t}$, состоящую из трансверсальных деформаций и удовлетворяющую условиям $F_{0}=f$ и $F_{1}=g$. (Затем мы покажем, что с точностью до изоморфизма деформаций гомотопия $F_{t}$ локально постоянна.)

Решение задачи. r-параметрическая деформация ростка $\eta$ сама является ростком, лежащим в $\eta+$ $+\mathrm{m}(r) \cdot \mathscr{E}(n+r) \subset \mathfrak{m}(n+r)$, где через $\mathfrak{m}(r)$ обозначен идеал, порожденный элементами $u_{1}, \ldots, u_{r}$, поэтому ее можно записать в виде $\eta+\delta$, где $\delta \in \mathfrak{m}(r)$. $\cdot \mathscr{E}(n+r)$. Ясно, что $V_{\eta+\delta}=V_{\delta}$. В пространстве $I_{0}^{k}(n)$, состоящем из $k$-струй с нулевым свободным членом, имеется подпространство $\left\langle\partial \eta / \partial x_{i}\right\rangle / \mathrm{m}(n)^{k+1}$, и мы интересуемся такими $\delta$, для которых $V_{0}$ трансверсально этому подпространству.

Определим отображение
\[
\mathrm{m}(r) \mathscr{E}(n+r) \rightarrow \operatorname{Hom}\left(\mathbf{R}^{r}, J_{0}^{k}(n)\right)
\]

формулой
\[
\delta \mapsto\left(e_{i} \mapsto j^{k}\left(\frac{\partial \delta}{\partial u_{i}} \left\lvert\, \mathbf{R}^{n} \times\{0\}-\frac{\partial \delta}{\partial u_{i}}(0)\right.\right)\right),
\]

где $e_{i}$-элементы базиса в $\mathbf{R}^{\prime}$. Очевидно, что это отображение сюръективно, поскольку в качестве в можно взять подходящие многочлены.

Рассмотрим исключительное подмножество $A \subset$ С Hom, состоящее из таких гомоморфизмов, для которых образ $R^{r}$ не трансверсален $\left\langle\partial \eta / \partial x_{i}\right\rangle \mathfrak{m}(n)^{k+1}$. Ясно, что $A$ — алгебраическое множество.

Если $\operatorname{codim} \eta=s=\operatorname{codim}\left\langle\partial \eta / \partial x_{i}\right\rangle$ в $J_{0}^{k}$, то, как мы знаем, $s \leqslant r$ согласно следствию 16.7, которое фактически было доказано для $k$-трансверсальных деформаций.

Cлучай 1. Пусть $r>s$. Легко убедиться, что в этом случае $\operatorname{codim} A>1$ и, слєдовательно, множество Hom — $A$ связно (используйте 9.3).

Случай 2. Если $r=s$, то множество Нот $-A$ разбивается на две компоненты, отличающиеся ориентацией образа пространства $\mathbf{R}^{r}$ по отношению $\kappa\left\langle\partial \eta / \partial x_{l}\right\rangle \mathfrak{m}(n)^{k+1}$. Однако если $\varphi \epsilon \mathscr{B}(r)$ — обращающее ориентацию преобразование, то $\eta+\delta$ и $(\eta+\delta) \varphi$ дают точки, которые лежат в разных компонент $\mathbf{x}$ множества Hom — . Значит, можно предположить, что $f$ и $g$ отображаются в одну и ту же компоненту множества Hom — $A$.

Отсюда следует, что образы $f$ и $g$ можно соединить в Hom — $A$ кусочно-линейным путем. Очевидно, что линейный путь в Нот — $A$ можно поднять до линейного пути в $\mathfrak{m}(r) \mathscr{E}(n+r) / \mathfrak{m}(n+r)^{k+1}$ (поскольку последнее пространство линейно и сюръективно отображается на Hom). Этот путь поднимается до линейного пути в $\eta+\mathfrak{m}(r) \mathscr{E}(n+r)$. Следовательно, $f$ и $g$ можно соединить кусочно-линейной кривой, состоящей из $k$-трансверсальных деформаций, и без ограничения общности можно считать, что деформация
$F_{t}=(1-t) f+t g k$-трансверсальна при $0 \leqslant t \leqslant 1$.
Остается теперь доказать, что $c$ точностью до изоморфизма деформаций гомотопия $F_{t}$ локально по. стоянна.

Без ограничения общности можно считать, что $f\left|\{0\} \times \mathbf{R}^{r}=g\right|\{0\} \times \mathbf{R}^{r}=0$. Действительно, положив $\alpha_{t}(u)=(1-t) f(0, u)+\operatorname{tg}(0, u)$, мы получим изоморфизм (id, $\alpha_{t}$ ) между $F_{t}$ и деформацией
\[
(1-t)(f(x, u)-f(0, u))+t(g(x, u)-g(0, u)) .
\]

Наше утверждение означает, что мы должны уметь находить росток $\Phi \in \mathscr{E}(n+r+1, n+r)$ в точке $\left(0,0, t_{0}\right)$ и росток $\alpha \in \mathscr{E}(r+1)$ в точке $\left(0, t_{0}\right)$, такие, что $\Phi(x, u, t)=\Phi_{t}(x, u)$ имеет вид $\left(\varphi_{t}(x, u), \psi_{t}(u)\right) \in$匹 $\mathbf{R}^{n} \times \mathbf{R}^{r}$ и выполнены следующие условия (мы поль: зуемся обозначением $\alpha_{t}(u)=\alpha(u, t)$ ):
(a) $\Phi_{t_{0}}=\mathrm{id} \in \mathscr{B}(n+r), \alpha_{t_{0}}=0$,
(b) $\Phi_{t} \mid R^{n} \times\{0\}=\mathrm{id} \in \mathscr{B}(n), \alpha_{t}(0)=0$,
(c) $F_{t} \circ \oplus_{t}+a_{t}=F_{t_{0}}$.
Эти условия означают, что пара ( $\left.\Phi_{t}, \alpha_{t}\right)$ представляет собой морфизм $\left(r, F_{t}\right) \rightarrow\left(r, F_{t}\right)$, который, кроме того, является изоморфизмом согласно (a).

При помощи условия (a) можно заменить условие (c) дифференциальным условием $\frac{\partial}{\partial t}\left(F_{t} \circ \Phi_{t}+\alpha_{t}\right)=0$, которое можно записать в виде
\[
\begin{array}{l}
\text { (d) } \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial F}{\partial x_{t}}(\Phi, t) \frac{\partial \varphi_{l}}{\partial t}(x, u, t)+ \\
+\sum_{i=1}^{r} \frac{\partial F}{\partial u_{i}}(\Phi, t) \frac{\partial \varphi_{i}}{\partial t}(u, t)+\frac{\partial F}{\partial t}(\Phi, t)+\frac{\partial \alpha}{\partial t}(u, t)=0 .
\end{array}
\]

Заметим, что (Ф, $t$ ) — это сокращение для $(\Phi(x, u, t), t)$.

Итак, мы заменили (c) на (d) и должны попытаться решить эти уравнения относительно $\partial \varphi / \partial t$, $\partial \psi / \partial t, \partial \mathrm{a} / \partial t$. Мы ищем ростки
\[
\begin{array}{ll}
\xi_{i} \in \mathscr{E}(n+r+1), & i=1, \ldots, n, \\
\zeta_{l} \in \mathscr{E}(r+1), & j=1, \ldots, r+1,
\end{array}
\]

удовлетворяющие условию
\[
\begin{array}{c}
\text { (e) } \sum_{i} \frac{\partial F}{\partial x_{i}} \xi_{i}+\sum_{j} \frac{\partial F}{\partial u_{i}} \zeta_{j}+\zeta_{r+1}= \\
=-\frac{\partial F}{\partial t} \in \mathscr{E}(n+r+1), \\
\xi_{i} \mid \mathbf{R}^{n} \times\{0\} \times \mathbf{R}=0, \quad \text { T. e. } \quad \xi_{i} \in \mathfrak{m}(r) \cdot \mathscr{E}(n+r+1), \\
\zeta_{j} \mid\{0\} \times \mathbf{R}=0, \quad \text { т. e. } \quad \zeta_{j} \in \mathfrak{m}(r) \cdot \mathscr{E}(r+1) .
\end{array}
\]

Убедимся, что это именно то, что нам нужно. Предположим, что $\xi_{i}$ и 5 , уже найдены. Пусть Ф и $\alpha$ — решения системы дифференциальных уравнений
\[
\begin{aligned}
\partial \varphi_{l} / \partial t & =\xi_{l}(\varphi, \psi, t), \\
\partial \psi_{l} / \partial t & =\zeta_{l}(\psi, t), \quad j \leqslant r, \\
\partial \alpha / \partial t & =\zeta_{r+1}(\psi, t)
\end{aligned}
\]

с начальными условиями $\Phi_{t_{n}}=$ id $и \alpha_{t_{0}}=0$; тогда ( ( и а удовлетворяют условиям (a), (b) и (d).

Далее, поскольку $\partial F / \partial t=g-f \in \mathfrak{m}(r) \mathscr{E}(n+r+1)$, для доказательства (е) достаточно показать, что
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{m}(r) \mathscr{E}(n+r+1) \subset\left\langle\partial F / \partial x_{i}\right\rangle_{\mathfrak{m}(r) 8(n+r+1)}+ \\
\quad+\left\langle\partial F / \partial u_{j}, 1\right\rangle_{m(r) \&(r+1)},
\end{array}
\]

где $\left\langle b_{1}, \ldots, b_{k}\right\rangle_{A}$, как обычно, определяется формулой $\left\{\sum_{i} a_{i} b_{i} \mid a_{i} \in A\right\}$.

Для доказательства этого включения остается только показать, что
$(*)$
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{E}(n+r+1)+\left\langle\partial F / \partial x_{l}\right\rangle_{\mathscr{g}(n+r+1)}+\left\langle\partial F / \partial u_{j}\right\rangle_{\mathscr{g}(r+1)}+ \\
+\mathscr{E}(r+1) .
\end{array}
\]

Мы хотим воспользоваться тем, что гомотопия $F_{t}$ есть $k$-трансверсальная деформация ростка $\eta$. По лемме 16.4 получаем
\[
\mathfrak{m}(n)=\left\langle\partial \eta / \partial x_{i}\right\rangle_{\mathcal{g}(n)}+\left\langle\partial F_{t} / \partial u_{l} \mid \mathbf{R}^{n} \times\{0\}\right\rangle_{\mathbf{R}}+\mathfrak{m}(n)^{k+1} .
\]

Средний член в правой части упростился, потому что мы предположили, что $F_{t} \mid\{0\} \times \mathbf{R}^{r}=0$. Так как росток $\eta k$-определен, т. е. $\mathfrak{m}(n)^{k+1} \subset\left\langle\partial \eta / \partial x_{l}\right\rangle$, можно опустить последний член. Полагая $\partial \eta / \partial x_{i}=$ $=\partial F_{t} / \partial x_{l} \mid \mathrm{R}^{n} \times\{0\}$, получаем
\[
\mathfrak{m}(n)=\left\langle\partial F_{t} / \partial x_{i} \mid \mathbf{R}^{n} \times\{0\}\right\rangle_{\boldsymbol{\zeta}(n)}+\left\langle\partial F_{t} / \partial u_{j} \mid \mathbf{R}^{n} \times\{0\}\right\rangle_{\mathbf{R}^{*}}
\]

Чтобы доказать равенство (*), рассмотрим уравненде.
\[
\mathscr{E}(n+r+1)=\mathfrak{m}(n) \mathscr{E}(n+r+1)+\mathscr{E}(r+1) .
\]

Если $g \in \mathfrak{m}(n) \mathscr{E}(n+r+1)$, то мы только что показали, что в
\[
\left\langle\partial F / \partial x_{i}\right\rangle_{\bar{y}(n+r+1)}+\left\langle\partial F / \partial u_{j}\right\rangle_{\mathscr{g}(r+1)}
\]

существует элемент, который совпадает с $g$ по крайней мере на множестве $\mathrm{R}^{n} \times\{0\} \times\left\{t_{0}\right\}$. Элементы пространства $\mathscr{E}(n+r+1)$, которые обращаются в нуль на $\mathbf{R}^{n} \times\{0\} \times\left\{t_{0}\right\}$, лежат в $\mathfrak{m}(r+1) \cdot \mathscr{E}(n+r+1)$. Собирая все вместе, получаем
\[
\text { (**) } \begin{array}{l}
\left\langle\frac{\partial F}{\partial x_{i}}\right\rangle_{\mathscr{Z}(n+r+1)}+\left\langle\frac{\partial F}{\partial u_{j}}\right\rangle_{\mathscr{Z}(r+1)}+ \\
+\mathscr{E}(r+1)+\mathfrak{m}(r+1) \mathscr{E}(n+r+1)=\mathscr{E}(n+r+1) .
\end{array}
\]

Пусть $\quad C=\mathscr{E}(n+r+1)$ — конечно порожденный $\mathscr{E}(n+r+1)$-модуль. Пусть $A=\left\langle\partial F / \partial x_{i}\right\rangle_{\mathscr{( n + r + 1 )}}$ — подмодуль в $C$ и
\[
B=\left\langle\partial F / \partial u_{j}\right\rangle_{\mathscr{Z}(r+1)}+\mathscr{E}(r+1) .
\]

Введем на $C$ структуру $\mathscr{E}(r+1)$-модуля с помощью вложения $\mathscr{E}(r+1) \subset \mathscr{E}(n+r+1)$. Тогда для $\mathscr{E}(r+1)$-модулей $B$ и $C$ выполнено включение $B \subset C$. Заметим, что $B$ конечно порожден над $\mathscr{E}(r+1)$. Мы знаем, что
(ᄒ)
\[
A+B+\mathfrak{m}(r+1) C=C,
\]

и хотим показать, что
(*)
\[
A+B=C .
\]

Чтобы вывести это из имеющейся информации относительно $A, B$ и $C$, достаточно рассмотреть случай $A=0$ (ч. е. вычислять по модулю $A$ ). Рассмотрим индуцированное проекцией отображение $\mathscr{E}(r+1) \rightarrow$ $\rightarrow \mathscr{E}(n+r+1)$. Это отображен:е позволяет рассматривать каждый $\mathscr{E}(n+r+1)$-модуль как $\mathscr{E}(r+1)$-модуль. Про наши модули мы знаем, что
\[
\begin{array}{l}
B \text { конечно порожден над } \mathscr{E}(r+1), \\
C \text { конечно порожден над } \mathscr{E}(n+r+1), \\
B+\mathfrak{m}(r+1) C=C .
\end{array}
\]

Образующие $b_{1}, \ldots, b_{s}$ модуля $B$ порождают векторное пространство $C / \mathfrak{m}(r+1) C$. Из следствия 6.6 подготовительной теоремы вытекает, что эти образующие порождают $C$ как $\mathscr{E}(r+1)$-модуль. Следовательно, $B=C$.

Итак, мы закончили последний шаг доказательства теоремы Мезера об универсальных деформациях.