Литература: та же, qто к гл. 14.

Пусть $\eta$-особенность коразмерности $\leqslant 4$. Мы знаем, что $\operatorname{codim} \eta \leqslant 4 \Leftrightarrow \operatorname{dim}(\mathfrak{m}(n) /(\partial \eta)) \leqslant 4 \Rightarrow$
\[
\Rightarrow \mathfrak{m}(n)^{5} \subset\left\langle\partial \eta / \partial x_{i}\right\rangle \Rightarrow \mathfrak{m}(n)^{6} \subset \mathfrak{m}(n)\langle\partial \eta\rangle \Rightarrow
\]
$\Rightarrow$ особенность $\eta$ 6-определена.
Следовательно, в некоторой системе координат $\eta$ записывается в виде суммы многочлена степени $\leqslant 6$ от двух переменных и невырожденной квадратичной формы от остальных переменных (см. 14.13). Мы собираемся с помощью еще одной замены координат привести такой многочлен к нормальной форме. Результат состоит в следующем.
15.1. Теорема (правило семи особенностей (Том)). С точностью до прибавления невырожденной квадратичной формы от остальных переменных и с точностью до умножекия на $\pm 1$ особенности коразмерности $\leqslant 4$ $u \geqslant 1$ правоэквивалентны одной из следующих:

Доказательство. Из основной теоремы непосредственно следует, что универсальные деформации имеют именно такой вид, как указано в таблице. Мы должны показать, что здесь действительно перечислены все возможные случаи.
1. Коранг $\eta$ равен 1.
В этом случае росток $\eta$ правоэквивалентен $\pm x^{n}$ с точностью до прибавления квадратичной формы. А так как коразмерность $\leqslant 4$, возможны только случаи $x^{3}, x^{4}, x^{5}$ и $x^{6}$ (с точностью до умножения на $\pm 1$ ).
2. Коранг $\eta$ равен 2.
Из этого условия следует, что codim $\eta \geqslant 3$ (14.13), поэтому коразмерность $\eta$ равна либо 3 , либо 4 . Положим $P(x, y)=j^{3}(\eta)$.
Ясно, что $P$-однородный многочлен третьей степени и, следовательно, $P$ разлагается над $\mathbf{C}$ в поризведение трех лннейных множителей:
\[
P\left(x_{1} y\right)=\left(a_{1} x+b_{1} y\right)\left(a_{2} x+b_{2} y\right)\left(a_{3} x+b_{3} y\right) .
\]

Таким образом, возможны четыре различных случая, которые мы обсудим по отдельности.
(A) Три вектора $\left(a_{l}, b_{l}\right) \in \mathrm{C}^{2}$ попарно линейно независимы над $C$.
(B) Два вектора (без ограничения общности можно считать, что это два первых вектора) линейно независимы, а третий вектор кратен второму. В этом случае можно считать, что $P(x, y)=\left(a_{1} x+b_{1} y\right)\left(a_{2} x+b_{2} y\right)^{2}$, где векторы $\left(a_{1}, b_{1}\right),\left(a_{2}, b_{2}\right)$ линейно независимы. Поскольку разложение на множители единственно сточностью до умножения на константы и многочлен $P$ вещественный, эти множители, а значит, и векторы $\left(a_{l}, b_{l}\right)$ могут быть выбраны вещественными (рассмотрите сопряженное разложение).
(C) Все три вектора ( $\left.a_{i}, b_{i}\right)$ пропорциональны, но отличны от нуля. В этом случае $P(x, y)=(a x+b y)^{3}$, $(a, b) \in \mathbf{R}^{2}$.
(D) $P(x, y)=0$
Cлучай (A). (a) Предположим, что все векторы $\left(a_{i}, b_{i}\right)$ вещественны. Возьмем $\left(a_{1} x+b_{1} y\right),\left(a_{2} x+b_{2} y\right)$ в качестве новых координат. Символом $\sim$ будем обо. значать правую эквивалентность. Тогда
\[
P(x, y) \sim x y(a x+b y), \text { где } a, b
eq 0 .
\]

Далее,
\[
\begin{aligned}
x y(a x+b y) & \left.\sim(a b)^{-1} x y(x+y) \text { (замена }(x, y) \mapsto(a x, b y)\right) \\
& \left.\sim x y(x+y) \text { (замена }(x, y) \mapsto(a b)^{-1 /}(x, y)\right) \\
& \left.\sim x\left(x^{2}-y^{2}\right) \text { (замена }(x, y) \mapsto 2^{-2 / a}(x+y, x-y)\right) \\
& =x^{3}-x y^{2} .
\end{aligned}
\]

Этот многочлен 3-определен согласно 11.3. Поэтому $\eta \sim x^{3}-x y^{2}$ (эллиптическая эмбилическая точка).
( $\beta$ ) Предположим, что два вектора $\left(a_{i}, b_{i}\right)$ комплексно сопряжены. Тогда
\[
P(x, y)=\left(a_{1} x+b_{1} y\right)\left(a_{2} x+b_{2} y\right)\left(\bar{a}_{2} x+\bar{b}_{2} y\right) .
\]

Произведение двух последних множителей – это положительно определенная квадратичная форма от $x, y$. Заменой переменных можем привести ее к виду $x^{2}+y^{2}$ и, следовательно, $P(x, y) \sim(a x+b y)\left(x^{2}+y^{2}\right)$. С помощью поворота координатных осей множитель $(a x+b y)$ можно привести к виду $c x$, где $c
eq 0$. Тогда
\[
P \sim c x\left(x^{2}+y^{2}\right) \sim x\left(x^{2}+y^{2}\right) \sim x^{3}+x y^{2} \sim x^{3}+y^{3} .
\]

Последняя эквивалентность следует из того, что
\[
(x+y)^{3}+(x-y)^{3}=2 x^{3}+6 x y^{2} \sim x^{3}+x y^{2} .
\]

Многочлен $x^{3}+y^{3}$ также 3-определен. Следовательно, $\eta \sim x^{3}+y^{3}$ (гиперболическая омбилическая точка). Доказательство в случае (А) окончено.
Случай (B).
\[
P(x, y)=\left(a_{1} x+b_{1} y\right)\left(a_{2} x+b_{2} y\right)^{2} \sim x^{2} y .
\]

Заметим, что многочлен $x^{2} y$ не является конечно определенным, поскольку $\partial / \partial x\left(x^{2} y\right)=2 x y, \partial / \partial y\left(x^{2} y\right)=x^{2}$ и идеал $\left\langle x y, x^{2}\right\rangle$ не содержат никакой степени $y$. Однако росток $\eta$ конечно определен, поэтому его струя (бесконечного порядка) не эквивалентна $x^{2} y$. Обозначим через $k$ наибольшее число, при котором $f^{k} \eta \sim x^{2} y$. Без ограничения общности можно считать, что $j^{k} \eta=x^{2} y$ и $j^{k+1} \eta=x^{2} y+h(x, y)$, где $h$ – однородный многочлен степени $k+1, k \geqslant 3$. Преобразуем росток $\eta$ с помощью диффеоморфизма вида $\Phi:(x, y) \rightarrow$ $\rightarrow(x+\varphi, y+\psi)$, где $\varphi, \psi$ – однородные многочлены степени $k-1 \geqslant 2$. Матрицей Якоби $Ф$ в начале координат служит единичная матрица. Поэтому
\[
j^{k+1} \eta \circ \Phi=x^{2} y+x^{2} \Psi+2 x y \varphi+h(x, y) .
\]

При подходящем выборе $甲, \psi$ мы можем уничтожить в $h$ все члены, которые делятся на $x y$ или $x^{2}$. Таким образом, мы можем считать, что
\[
i^{k+1} \eta \circ \Phi=x^{2} y+a y^{k+1}, \quad a
eq \leqslant 0 .
\]

Легко проверить, что многочлен в правой части $(k+1)$-определен и, следовательно, $\eta \sim x^{2} y+a_{\xi} k+1 \sim$

$\sim x^{2} y \pm y^{k+1}$. Если $k \geqslant 4$, то $\operatorname{codim} \eta \geqslant 5$. Следовательно, $k=3$ и $x^{2} y+y^{4} \sim x^{2} y-y^{4}$ (умножьте на -1 и замените $y$ на $-y$ ). Конец доказательства в случаe (B).

Случай (C). $P=(a x+b y)^{3} \sim x^{3}$, поэтому без ограаичения общности можно считать, что $j^{3} \eta=x^{3}$. Отсюда $f^{4} \eta=x^{3}+h$, где $h$ имеет степень 4 . Непосредственно проверяем, что
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{dim} j^{3} m(2)=9, \\
\operatorname{dim} j^{3}\langle\partial \eta\rangle=\operatorname{dim} j^{3}\left\langle x^{2}+h_{1}, h_{2}\right\rangle \leqslant 4, \\
\text { степень } h_{1} \geqslant 3, \quad \text { степень } h_{2} \geqslant 3 .
\end{array}
\]

Следовательно, $\operatorname{dim} j^{3} \mathrm{~m}(2) /\langle\partial \eta\rangle \geqslant 5>4$. Этот случай невозможен, поскольку codim $\eta \leqslant 4$.

Слячай (D). Если $P=0$, то $\eta \in \mathfrak{m}(2)^{4}$. Следовательно, $\langle\partial \eta\rangle \subset m(2)^{3}$ и $\operatorname{dim}\left(m(2) / m(2)^{3}\right)=5$. Этот случай также невозможен.

Тем самым доказательство теоремы о семи катастрофах окончено.

Важность этого результата демонстрирует следующий пример.

Представим себе какую-нибудь химическую систему, описываемую например, $n$ перемениыми, т. е. точкой $x \in \mathrm{R}^{n}$. Эволюция системы описьвается фазовым потоком, который определяется некоторой потенциальной функцией $\tilde{V}: X \rightarrow \mathbf{R}$, зсли квнешние условия» предполагаются фиксированными. Допустим теперь; что внешние условия меняются в зависимости от времени и точки в пространстве. Изменение внешиих условий сопровождается изменением потенциальной функцин. Для каждой точки $t$ некоторого открытого подмножества $U \subset \mathbb{R}^{4}$ (пространство-время) определена потенциальная функция $V_{u}: X \rightarrow \mathbf{R}$. Следовательно, определено дифферекцируемое отображение
\[
V: X \supset X: U \rightarrow R,
\]

т. е. семейство потенциальных функций на $X$, зависящих от параметра $u \in U$. При фиксированных внешних условиях, в фиксированной точке $u \in U$, система находится в минимуме ссответствующей функции $V_{u}$. Обычно этот минимум является невырожденной особой точкой.

Разумеется, существуют потенциальные функции с вырожденными критическими точками, но они «имеют вероятность 0». Довольно легко доказать, что так называемые функции Морса образуют открытое плотное подмножестао в множестве всех функций. Функции Морса $V$ определяются следующими двумя условиями:
(i) В каждой особой точке $x_{0}$ функцин $V$ невырожденна квадратичная форма вторых производных
\[
\left(\frac{\partial^{2} V}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\left(x_{0}\right)\right) \text {. }
\]

В частности, отсюда следует, что росток $V$ в точке $x_{0}$ 2-определен, и его можно заменой координат привести к виду
\[
V(x)=V(0)+\sum\left( \pm x_{i}^{2}\right) .
\]

Кроме того, отсюда следует, что особые точки функции $V$ изолированы.
(ii) Если $x
eq y$-две особые точки, то $V(x)
eq$ $V^{\prime}(y)$.

В общем положении потенциальная функция $V_{\boldsymbol{u}}$ является функцией Морса. Предположим, однако, что $u$ меняется, например пробегает одномерную кривую в пространстве-времени. Тогда мы можем спроснть, какого рода особенности будет иметь в общем положении это семейство функций $V_{u}$.

Выбрав локальные координаты на $X$ в окрестности точки $x_{0} \in X$ и локальные координаты на $U$ в окрестности $u_{0} \in U$, мы получим деформацию ростка в точке $x_{0}$ функции $V_{u_{0}}$.

Описание всех возможных деформаций содержат версальные деформации. Наконец, если определить некоторым естественным (но достаточно сложным) способом понятие «устойчивой деформации, то ока。 жется, что семь перечисленных нами катастроф исчерпывают все возможные устойчивые деформации ростков коразмерности $\leqslant 4$ (см. Вассерман).

C точки зрения приложений интересно более подробно олисать геометрический вид семи универсальных деформаций коразмерности $\leqslant 4$. В частности, нас интересует, какие точки пространства внешних параметров модели, т. е. пространства параметров деформации, наиболее важны для описания катастроф. Такими точками оказываются те точки пространства $U$, в которых функция $V_{\text {и }}$ имеет особенность порядка $>2$. Другиии словами, наш интерес концентрируется на множестве тех точек, \” которьх локальный минимум (или максимум) исчезает.

Для сборки мы получаем рисунок, приведенный няже (потенциальная функция нарисована в пяти точках простраиства $U$ ).

Если мы направим $x$-координату перпендикулярно млоскости координат ( $u, v)$, то увидим, что локальные экстремумы лежат на поверхности $\left\{(x, u, 0) \mid 4 x^{2}-\right.$ $-2 u x+v=0\}$. Проекцня на пл скость $(u, v)$ показывает, что множество критических значенин – это хорошо известная сборка. Всякое состояние, (и, о) параметр которого пересекает веркню: ветвь сборяж сучзу вверх, внезапно перескакивает в минимув. принадлежащий более далекой от нас части поверл ности. При пересечения нижней ветан сборми сящу вверх происходит обратный процесс.

Замечание: $и$ в тексте соответствует паре $(u, 0)$. в примере.

Подробиее этот пример и другие элементарные катастрофы обсуждаются в гл. 17.