2.2.3. Моделирование случайных величин с помощью гамма-распределения

Ряд моделирующих алгоритмов может быть получен путем сведения к типовым распределениям, отличным от равномерного и нормального закона, например, к гамма-распределению [41]. CВ  имеет гамма-распределение ~ с параметрами  и , если ее ПРВ равна

                                                 (2.12)

где ,   - гамма-функция. В частности, при ,  распределение (2.12) сводится к   ~. СВ  может быть представлена в виде  ;  ~. ПРВ  при  равна  .

Соответствующий моделирующий алгоритм имеет вид

, .                            

В частности, для целых  имеем

,                                                        (2.13)

где СВ ~ и независимы в совокупности.

Нелинейное преобразование ; ; ~ дает СВ с ПРВ вида

.

Таблица 1.1

Эта формула следует из формул (2.1), (2.2) при , . В частности, при  имеем

.                                                          (2.14)

СВ  с ПРВ

  ,                                               

имеет обобщенное распределение вида (2.14) и может быть представлена в виде ,  ~. Отсюда и из формулы (2.13) при  получаем известный моделирующий алгоритм для СВ с рэлеевским распределением: .

Для удобства, рассмотренные выше и другие распределения и алгоритмы, моделирующие соответствующие СВ, сведены в таблицу 1.1. Все ПРВ равны нулю при . В таблице 1.1 первый номер имеет гамма-распределение, ~, его частные случаи: при  - показательное распределение; при  и  - распределение «хи-квадрат» с  степенями свободы. Распределения 2, 3 являются -й степенью гамма-распределения;  - для распределения 3. Обобщенное распределение Фишера моделируется алгоритмом 4, где величины ~ независимы. СВ с распределениями 5, 6 моделируются как -я степень обобщенного распределения Фишера; для ПРВ 6 . Алгоритм 6 при , ,  позволяет получить распределение СВ , где   - статистика Стьюдента. СВ в 7-й строке таблицы 1.1 имеет бета-распределение,  - любое число.