5.2.2. Самоподобные (фрактальные) случайные процессы

Представленный пример фрактала (кривая Коха) относится к классу детерминированных фракталов, т. е. когда объект непосредственно составляется из своих малых копий. В теории телетрафика для описания поведения величины нагрузки в сетях связи с пакетной коммутацией применяется класс случайных (стохастических) фракталов. В этом случае свойство самоподобия (масштабной инвариантности) наблюдается лишь «в среднем», т. е. подобными являются не сами отсчеты сигнала, а, например, его КФ или ПРВ в разных временных масштабах.  Три характерные особенности самоподобных процессов выражены в медленном убывании дисперсии, долгосрочной зависимости и флуктуационном характере спектра мощности таких процессов [25].

Рассмотрим дискретную случайную последовательность отсчетов:

,

где  - СВ с заданным законом распределения. Будем предполагать, что все рассматриваемые СП имеют ограниченную ковариацию  и следовательно дисперсию . СП будет обладать свойством самоподобия, если агрегированный процесс -го порядка

                    (5.6)

будет иметь КФ  совпадающую с КФ  исходного СП для любых . При выполнении данного условия можно утверждать, что дисперсия агрегированного процесса  убывает согласно выражению

,                                 (5.7)

т. е. дисперсия агрегированных процессов – средних выборок – уменьшается медленнее, чем величина, обратная размеру выборки. В результате в самоподобных процессах имеет место явление долгосрочной зависимости, которое приводит к расходимости КФ процесса:

.                                                         (5.8)

Наконец энергетический спектр самоподобных процессов описывается выражением

.                                (5.9)

Собственно эти соотношения и определяют название самоподобного процесса: корреляционные свойства такого процесса, усредненного на различных временных интервалах, остаются неизменными.

Важнейшим параметром, характеризующим «степень» самоподобия СП, является параметр Хёрста.

Для выборочного случайного набора  можно определить выборочное среднее

,                                                                  (5.10)

выборочную дисперсию

                                                    (5.11)

и интегральное отклонение

.                                                            (5.12)

Определим изменчивость СП на интервале  как неубывающую функцию длины интервала

.                                                 (5.13)

Хёрстом было показано, что для большинства естественных процессов при больших значениях  выполняется соотношение

или иначе

.                                                   (5.14)

Величина  получила название параметра Хёрста и лежит в интервале . Для процессов, не обладающих свойством самоподобия, 0.5. Для самоподобных процессов с долгосрочной зависимостью этот параметр изменяется в пределах 0.7…0.9. Параметр , который был введен выше для задания асимптотических свойств характеристик самоподобных СП, может быть выражен через параметр Хёрста:

.

Степень самоподобия процесса можно оценить другим способом: параметр Херста можно определить путем построения графика отношения  в зависимости от  при разных  и вычислить величину  как тангенс угла наклона полученной линии. Следует заметить, что полученное множество точек не будут лежать на одной линии, поэтому их следует аппроксимировать линией, например, по методу наименьших квадратов. Данная методика определения параметра Херста получила название R/S-метод [25].

R/S-метод дает лишь приближенное значение показателя Херста, поэтому для его вычисления целесообразно пользоваться несколькими методиками и сравнения полученных результатов. Рассмотрим метод определения величины  на основе периодограммного анализа.

Для самоподобного СП  вычисляется периодограмма

, ,

где  - количество отсчетов временного ряда. Учитывая, что самоподобие влияет на характер спектра , должен получаться график зависимости спектральной плотности вида

, при .

Из последнего выражения следует, что множество случайных точек  будет располагаться линейно с коэффициентом наклона линии . На практике для вычисления оценки должны использоваться только нижние 10% частот, т. к. описанное выше поведение справедливо только для области частот, близких к нулю. Основным недостатком данного метода является большой объем вычислений при построении оценки показателя Херста.