5.1.3. Потоки с ограниченным последействием

Рассмотрим ординарный стационарный поток однородных событий с последействием. Такой поток называется потоком Пальма, если промежутки времени , между последовательными событиями представляют собой независимые СВ, подчиняющиеся в общем случае закону распределения, отличающемуся от (5.4). 

Потоки Пальма часто получаются в виде выходных потоков СМО. Если на какую-либо СМО поступает поток заявок, то он этой системой разделяется на два: поток обслуженных заявок и поток необслуженных заявок, который, в свою очередь, поступает на какую-либо другую СМО.

Теорема Пальма:  пусть на СМО поступает поток заявок типа Пальма, причем заявка, заставшая все каналы занятыми, получает отказ (не обслуживается); если при этом время обслуживания имеет показательный закон распределения, то поток необслуженных заявок также является потоком Пальма.  В частности, если входной поток заявок будет простейшим, то поток необслуженных заявок, не будучи простейшим, будет все же иметь ограниченное последействие.

Потоки, у которых , определяются единственным законом распределения  и называются рекуррентными (стационарными) потоками. Потоки с ограниченным последействием, у которых , называются рекуррентными потоками с запаздыванием. Они задаются двумя законами распределения  и . Здесь  характеризует ПРВ временного интервала между -й и -й заявками.

Рассмотрим моделирование потоков с ограниченным последействием. Для получения реализаций последовательности моментов наступления событий ,  достаточно сформировать последовательность реализаций  СВ с заданными законами распределения  соответственно и вычислить моменты наступления событий: . Моделирование рекуррентных потоков упрощается еще и тем, что СВ  имеют одинаковый закон распределения.

Пример потоков с ограниченным последействием – потоки Эрланга, которые образуются «просеиванием» простейшего потока (рис. 5.4). Если в простейшем потоке выбросить каждую вторую точку, то оставшиеся точки образуют поток, называемый потоком Эрланга первого порядка . Такой поток является потоком Пальма, поскольку величины , получаются суммированием независимых интервалов. Вообще, потоком Эрланга -го порядка  называется поток, получаемый из простейшего, если сохранить каждую ‑ую точку, а остальные выбросить.

Найдем закон распределения промежутка времени  между соседними событиями в потоке Эрланга -го порядка . Рассмотрим на оси  простейший поток с интервалами  . Величина  представляет собой сумму  независимых СВ

,

где  - независимые СВ с экспоненциальным распределением.

Обозначим  ПРВ величины  для потока . Произведение  есть вероятность того, что величина  примет значение между  и . Следовательно, последняя точка промежутка  должна попасть на элементарный участок , а предыдущие  точек простейшего потока – на участок . Вероятность первого события равна ;  вероятность второго события  . Перемножая эти вероятности, получим

.

При  находим точное равенство для ПРВ интервалов времени для потока Эрланга -го порядка

, .                                            (5.5)

Заметим, что математическое ожидание  , а дисперсия интервалов между событиями в потоке Эрланга  . Интенсивность  потока Эрланга -го порядка  . Таким образом, при увеличении порядка увеличиваются математическое ожидание и дисперсия промежутка времени между событиями, а интенсивность потока падает.

Рассмотрим, как будут изменяться характеристики потока Эрланга при увеличении , если его интенсивность будет сохраняться постоянной.  Пронормируем величину  так, чтобы ее математическое ожидание (и, следовательно, интенсивность потока) оставались неизменными. Для этого изменим масштаб по оси времени и вместо  рассмотрим величину  .

Назовем такой поток нормированным потоком Эрланга -го порядка. ПРВ интервала  между событиями

,

где .

Математическое ожидание  величины , распределенной по закону , не зависит от . Дисперсия интервала  между событиями  неограниченно убывает с возрастанием . Это означает, что при неограниченном увеличении  нормированный поток Эрланга приближается к регулярному потоку с постоянными интервалами, равными . Это свойство потоков Эрланга дает возможность, задаваясь различными , получать любую степень последействия: от полного отсутствия  до жесткой функциональной связи между моментами появления событий .