2.4. Моделирование векторных случайных величин

Рассмотрим моделирование непрерывной векторной СВ . Ее полное описание задается совместной ПРВ ,  , где  - символ транспонирования.

Стандартный метод моделирования векторных СВ основан на представлении  в виде произведения [41]

                             (2.17)

частной (маргинальной) ПРВ  величины  и условных ПРВ  при условии, что . Из формулы (2.17) следует, что вектор , может моделироваться покомпонентно: сначала величина  с ПРВ , далее -  по ПРВ , потом -  как величина с ПРВ  и т. д. Последней моделируется -я компонента  , имеющая ПРВ . Стандартный метод требует определенной вычислительной работы, связанной с нахождением условных и частных ПРВ компонент. После вычисления ПРВ каждая компонента моделируется как скалярная величина методами, изложенными выше.

Рассмотрим подробнее процесс моделирования многомерного нормального распределения. Случайный вектор  имеет невырожденное -мерное нормальное распределение, если его ПРВ имеет вид

,                         (2.18)

где  - математическое ожидание ;  - заданная симметрическая положительно определенная -матрица;   - квадратичная форма переменных  с матрицей . Матрица  является ковариационной матрицей вектора ; обратная ей матрица  часто называется матрицей точности. Распределение (2.18) полностью описывается двумя параметрами: вектором  и матрицей . Далее используется краткое обозначение ~.

Если математическое ожидание равно нулю, а корреляционная матрица  равна единичной матрице , т. е. ~, то распределение называется стандартным нормальным распределением. Стандартное распределение легко моделируется. Для этого нужно положить все компоненты  равными независимым реализациям СВ ~.

В общем случае распределение (2.18) моделируется с помощью линейного преобразования , ~. Здесь -матрица  определяется разложением ковариационной матрицы  в произведение двух треугольных матриц

              .                                                                   (2.19)

В уравнении (2.19) будем считать  нижней треугольной матрицей:

.

В этом случае явный вид коэффициентов  определяют следующие уравнения  [1, 41]:

,  ,  ,                                 (2.20)

,                                       (2.21)

.                                                                      (2.22)

После определения  вычисление элементов  осуществляется пo строкам: сначала по формуле (2.20) вычисляется первый элемент  -й строки, далее по формуле (2.21) находятся последующие элементы . Диагональный элемент вычисляется с помощью уравнения (2.22). После вычисления диагонального элемента осуществляется переход на следующую, -ю строку.

Плохая обусловленность (вырожденность) матрицы  требует проверки на каждой строке условия  , означающего линейную зависимость -й компоненты вектора . Здесь  - малое число. Если это условие выполняется, то нужно положить , длина -й строки  совпадает с длиной предыдущей. Индекс  принимает значения  его предельное значение  - переменно. Число  является счетчиком числа линейно независимых элементов последовательности . Присвоение  последующего значения  осуществляется лишь при условии . После расчета последней -й строки значение  равно рангу матрицы .