3.2. Разностные и дифференциальные стохастические уравнения

Одним из достоинств марковских процессов является возможность их описания с помощью стохастических ДУ. Для этого вводится понятие формирующей динамической системы. При этом СП характеризуется параметрами линейных или нелинейных фильтров, на вход которых подается белый гауссовский шум или другое известное возмущение [32]. Так как любая динамическая система может быть описана ДУ, то и СП на ее выходе так же может быть описан стохастическим ДУ соответствующего порядка.

Модели СП в виде стохастических ДУ обладают рядом положительных свойств. Прежде всего, в отличие от других методов описания СП (например, с помощью ПРВ или моментных функций), они непосредственно определяют способ генерации его реализаций, для осуществления которого можно вполне успешно использовать аналоговые вычислительные устройства или соответствующие программы для ЭВМ. Использование стохастических ДУ в форме уравнений состояния позволяют синтезировать алгоритмы оптимальной обработки и генерации для широкого класса сигналов и помех [16, 32, 44].

Для большинства реальных СП используется модель в виде ДУ, линейных относительно входных воздействий типа белого шума

                                                                                                                                                                                        (3.2)

где  - векторная и  - матричная функции векторного аргумента [16, 44];  - белый гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием и заданной корреляционной функцией (КФ). Задавая различные функции  и  в уравнении (3.2), можно получить СП с различными статистическими характеристиками. Так, если  – линейная функция, а  не зависит от , то уравнение (3.2) будет определять гауссовский СП. В работах [16, 38] приведены связи между функциями ,  и соответствующими статистическими характеристиками (ПРВ, КФ).

Следует отметить, что задача синтеза марковской модели СП, т. е. определение функций  и  по заданным статистическим характеристикам, не всегда имеет одно решение. Здесь возникает вопрос о единственности решения. Если заданы статистические характеристики моделируемого процесса в форме функций распределения, то можно указать несколько уравнений различных типов, порождающих процессы с такими характеристиками. В случае нелинейных моделей это является неизбежным следствием ограниченности исходных сведений о процессе. Если единственное решение задачи синтеза отсутствует, то при выборе уравнения, которое будет заложено в основу функционирования какого-либо устройства, можно учитывать соображения сложности, экономичности и  так далее. На практике число эквивалентных, с точки зрения статистических характеристик, уравнений обычно не велико (не более трех, четырех), и из них всегда можно выбрать единственное [32].

В последнее время, в связи с широким использованием цифровых устройств в радиотехнических системах для статистического описания сигналов и помех используют  случайные  последовательности,  которые  могут быть заданы разностными  стохастическими  уравнениями

                         ,                     (3.3)

где  - состояние системы в момент времени ;  - векторная функция;  - матричная функция;  – последовательность СВ [32, 33]. Если в качестве возбуждающей последовательности  использовать дискретный белый шум, то уравнение (3.3) будет определять марковскую последовательность.

При использовании стохастических уравнений (3.1), (3.3) в качестве моделей случайных сигналов и помех возникают задачи анализа и синтеза [38]. Первая из них заключается в определении статистических характеристик (в первую очередь ПРВ и КФ) СП или случайной последовательности по заданным функциям ,  и . Более сложной задачей синтеза является определение неизвестных функций ,  и  по заданным статистическим характеристикам.

Для непрерывных СП обе эти задачи решены для достаточно большого числа частных случаев [8, 16, 23]. При этом анализ выполняется на основе решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова [44].

Для случайных последовательностей эти задачи до конца решены лишь для случая линейной функции  и независящей от  функции  [5]. Кроме того, в работах [32, 38, 44] рассмотрено решение задачи синтеза и для нелинейной функции. Однако при этом накладываются ограничения на вид ПРВ. Отсутствие конструктивных решений задачи синтеза, применительно к разностному уравнению (3.3), не позволяет получить ММ случайных последовательностей с заданными статистическими свойствами.