3.3. Нелинейные модели марковских случайных процессов

В данном разделе рассматривается задача построения стохастических моделей негауссовских СП с заданной ПРВ. Возможность достаточно простого определения нелинейных функций  и  для стохастических уравнений (3.2) обусловлена существованием обыкновенного ДУ, связывающего эти функции с ПРВ  при . При этом задача нахождения нелинейных функций  и  наиболее проста если ПРВ  входит в класс распределения Пирсона [44]. Вместе с тем, для стохастических разностных уравнений (3.3) лишь для линейных систем может быть точно определено безусловное распределение.

В работах [16, 38] подробно исследованы стохастические ДУ, определяющие различные негауссовские процессы. Запишем векторное стохастическое ДУ, описывающее непрерывную динамическую систему

,                                          (3.4)

где  - диагональная матрица с неотрицательными элементами,  - стандартный винеровский процесс с ;   - единичная диагональная матрица. При этом стационарная ПРВ будет:

1) рэлеевской   ,

если   ;                                                                                   (3.5)

2) Накагами   ,  ,  ,  ,

когда ;                                   (3.6)

3) логарифмически-нормальной

, ,

при  .                                                              (3.7)

Стохастические ДУ (3.4)-(3.7) исследованы наиболее полно, дают адекватное описание СП во многих радиотехнических системах и позволяют получить замкнутые выражения для алгоритмов оценивания сигналов. Однако системы, базирующиеся непосредственно на таких уравнениях, как правило, не могут быть реализованы и исследованы из-за отсутствия необходимых стабильных нелинейных элементов аналоговой техники. В связи с этим на практике осуществляется переход от непрерывных к дискретным во времени системам на основе различных разностных схем [32, 33]. Для обеспечения соответствия разностной схемы и уравнений вида (3.3), (3.4)  от ЭВМ требуется высокое быстродействие и большая точность представления чисел.

Стохастические разностные уравнения (3.3) свободны от этого недостатка, так как представляют последовательность чисел, для формирования которой можно воспользоваться методами цифровой техники. Поэтому в задачах с нелинейными моделями наблюдений, но при гауссовских компонентах, системы с дискретным временем имеют очевидные преимущества при технической реализации. Вместе с тем, при отличии ПРВ случайных последовательностей (3.3) от гауссовских возникает задача определения нелинейных функций  и  по заданным распределениям.

В ряде задач желательно построить (синтезировать) нелинейное уравнение (3.3) на основе априорных данных о виде безусловного одномерного распределения. К сожалению, такого же простого пути, какой существует для построения моделей (3.5)-(3.7), здесь нет. В работе [15] синтез марковской модели приводится не на основе априорных статистических характеристик СП, а на экспериментальных данных. При этом решение получено лишь для ограниченного класса линейных функций , . Полученные модели марковских СП используются для решения задач прогноза.

Рассмотрим асимптотический подход для решения поставленной задачи, основанный на предположении о существовании предельного стохастического ДУ Ито [16, 38]

                                     (3.8)

для заданного разностного стохастического уравнения (3.3), записанного в виде

,                                     (3.9)

где ; .

Будем связывать значения  и  c моментами времени  и . При условии существования предельных соотношений для детерминированных функций

перепишем (3.9) в форме, позволяющей найти характеристики приращений :

где     ,  – независимые СВ, распределенные по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.