4.2. Алгоритмы моделирования непрерывных случайных полей

Для специальных классов распределений задача моделирования случайного вектора может быть существенно упрощена. В приложениях часто приходится моделировать изотропные случайные векторы [4, 41]. К этому классу распределений приводит, например, моделирование изотропных случайных полей. Случайный вектор  называется изотропным, если его орт  распределен равномерно на поверхности -мерной сферы и не зависит от распределения величины . Здесь  - модуль вектора. Для того, чтобы случайный вектор  был изотропным, необходимо и достаточно, чтобы его ПРВ зависела только от модуля , т. е.

,                                                                

где  - некоторая неотрицательная функция,  .

Переходя к сферической системе координат , можно представить ПРВ изотропного случайного вектора  в виде

,

где    -  площадь поверхности единичной сферы в -мерном пространстве;  и  соответственно длина вектора и его проекция на сферу единичного радиуса;  - плотность распределения :

.                                                    (4.26)

Моделирование изотропного случайного вектора осуществляется по формуле  ,  где  - СВ с плотностью  - реализация изотропного направления в  -мерном пространстве . Вектор  является ортом вектора , . При  изотропное направление задается на плоскости полярным углом , равномерно распределенным на . Моделирующий алгоритм имеет вид

;  ;  ~.                                       (4.27)

Рассмотрим двухпараметрическую модель случайного поля [41].  Пусть требуется получить в области  реализацию однородного вещественного случайного поля  с заданным математическим ожиданием , дисперсией  и КФ . Здесь  - нормированная КФ случайного поля. Следует отметить, что задача моделирования случайного поля по заданным двум первым моментам математически однозначно определена лишь для гауссовского поля. Для негауссовских полей данная задача не имеет однозначного решения [11].

Нормированная КФ  связана преобразованиями Фурье со спектральной плотностью , которую мы будем считать нормированной условием .  Рассмотрим модель случайного поля

,               (4.28)

где  - -мерный случайный вектор с ПРВ равной ;   - СВ с ПРВ , не зависящая от , ,  ;   - начальный детерминированный вектор;   - аргумент поля;   - скалярное произведение векторов  и .

Моделирование случайного поля на основе параметрической модели (4.28) сводит задачу к получению реализаций -мерного случайного вектора , имеющего ПРВ равную спектральной плотности  моделируемого поля. Моделирование вектора  значительно упрощается при имитации специальных классов полей. Рассмотрим распространенный на практике случай изотропных случайных полей, имеющих корреляционные и спектральные характеристики, зависящие от модулей соответствующих векторов:

;   .

При моделировании изотропных полей распределение вектора  также изотропно. Моделирование изотропного случайного вектора  сводится к моделированию его модуля  - СВ с плотностью распределения  (4.26) и орта , задающего изотропное направление в пространстве частот. Для двух- и трехмерных полей плотности  равны соответственно

                                        (4.29)

Алгоритмы моделирования  для двух- и трехмерных полей с типовыми характеристиками представлены в табл. 4.1. ПРВ  вычислялись по формулам (4.29) типовым спектрам. Вывод моделирующих алгоритмов дан в главе 2. Для двумерных полей изотропное направление задается формулой (4.27); в трехмерном случае удобен алгоритм:

;   ;  .

Моделирующие алгоритмы в многомерном случае можно найти в работе [13].

Как уже отмечалось, ряд моделей анизотропных полей описываются с помощью КФ множительного вида

.                                                                  (4.30)

Аргументы нормированных КФ  - компоненты вектора . В этом случае спектральная плотность равна

;   ,  

и, следовательно, компоненты  вектора   - независимые величины с ПРВ, равными , . Моделирование  осуществляется последовательным разыгрыванием реализации его компонент  как независимых СВ.

Ряд анизотропных случайных полей, в частности, поля, имеющие эллиптическую анизотропию, могут моделироваться как изотропные случайные поля. Анизотропия воспроизводится на ЭВМ изменением масштаба аргумента поля. Например, двумерное случайное поле с КФ вида

                                               (4.31)

заменой  сводится к изотропному случайному полю вида 1 (табл. 4.1), . Здесь ,  - интервалы корреляции поля вдоль осей  соответственно,  - степень анизотропии. Обратной заменой , которая соответствует сжатию реализации вдоль оси  (при ) и растяжению (при ), осуществляется переход от изотропного поля к модели  (4.31).

Для поля со спектральной плотностью и КФ вида

,         ,

где  - положительно определенная матрица порядка , реализации вектора  получаются моделированием -мерного гауссовского вектора с нулевым математическим ожиданием и корреляционной матрицей .