6.4. Статистика случайных сигналов и помех в реальных каналах связи

В системах связи на передающей стороне используют сигналы вида

,                                    (6.1)

где  – средняя частота;  и  – соответственно амплитуда (огибающая) и фаза, изменяющиеся по сравнению с колебанием частоты , как правило, настолько медленно, что сигнал  можно считать узкополосным [9, 36]. Таковы, в частности, сигналы обычной амплитудной, частотной или фазовой модуляции и их разновидностей. В этом случае при многолучевом распространении сигналов, характерном, как уже отмечалось, для многих реальных каналов (в частности, радиоканалов) каждая из скалярных компонент выходного сигнала , как это описано в [16, 43], даже  при  заданном  на  входе  скалярном  сигнале () имеет вид

,  ,      (6.2)

где  характеризует координаты точки наблюдаемой области пространства;  – среднее время задержки -го луча, которое в большинстве реальных каналов меняется значительно медленнее, чем сами сигналы, допускает простое измерение и потому может считаться известным в месте приема [16, 36];  ,   – квадратурные компоненты передаточной функции канала по -й скалярной компоненте выходного сигнала в -м луче (медленно меняющиеся по сравнению с колебанием частоты );  – модуль той же передаточной функции (относительно которого делается аналогичное допущение);  – суммарный фазовый сдвиг в -й компоненте -ro луча;  – число лучей в канале, обусловленное его физическими свойствами.

При использовании представления (6.2) следует учитывать, что сигнал на передаче  имеет конечную длительность , соответствующую длительности передаваемого им сообщения или его элемента (например, отдельного символа), поэтому  при .

Как правило, каждый из лучей сигнала в (6.2), в свою очередь, является результатом наложения многих компонент (подлучей), разность задержек которых в канале , где  – полоса частот передаваемых сигналов. В условиях флуктуации это условие порождает так называемые неизбирательные (неселективные) по частоте замирания сигнала. Разность же задержек лучей в (6.2) может оказаться соизмеримой с , что при флуктуациях среды распространения порождает так называемые избирательные (селективные) по частоте замирания сигналов. Для подавляющего числа каналов проводной и некоторых каналов радиосвязи в (6.2) можно ограничиться одним слагаемым (однолучевая модель канала). Для большинства же каналов декаметрового и метрового диапазонов чаще всего можно принять значения =2…4. Тем не менее, существует немало каналов радиосвязи, в которых приходится учитывать десятки и даже сотни весомых компонент лучей. Более того, для некоторых каналов с памятью, в том числе  проводной связи, приходится считаться с непрерывной многолучевостью (), и в этом случае отображение вход – выход в канале удобнее характеризовать введенными выше непрерывными системными характеристиками. Для стохастических каналов радиосвязи число существенных компонент  в (6.2) является случайным.

В некоторых каналах как проводной, так и радиосвязи с медленными изменениями параметров квадратурные компоненты можно считать детерминированными в области анализа поля  (где  – пространственная область анализа), имея в виду, что их оценивание производится при больших энергетических отношениях сигнал/шум или на больших интервалах усреднения.

Чаще всего, однако (прежде всего в каналах радиосвязи), канал приходится считать стохастическим с той или иной вероятностной моделью для полей ,  (т. е. для системной характеристики канала). Учитывая, что эти компоненты во многих каналах образуются суммированием большого числа слагаемых (подлучей) в условиях, когда выполняются требования центральной предельной теоремы теории вероятностей [6], их, при заданном , можно считать независимыми, в общем случае неоднородными гауссовскими полями с математическими ожиданиями и КФ для каждой -й скалярной компоненты поля , , , . Независимость (некоррелированность) обеспечивается соответствующим поворотом системы координат. Это так называемая общая гауссовская модель канала  [9, 16, 43].

Исходя из физических соображений и экспериментальных данных, чаще всего можно считать, что коэффициенты корреляции у квадратурных компонент одинаковы:  ==, причем для однородных полей они удовлетворительно аппроксимируются экспоненциальной функцией по переменным  и .

Таким образом, общая гауссовская модель по каждой из скалярных компонент -ro луча описывается параметрами , , ,  (дисперсии квадратурных компонент) и  (коэффициент корреляции по времени и пространству). Взаимная корреляция скалярных компонент сигнала (с различными индексами ) и сигналов разных лучей (с различными ) должна оговариваться особо. Для многих реальных каналов связи ее можно не учитывать. Далее индексы  и , указывающие на принадлежность компонент передаточной функции определенной скалярной компоненте выходного сигнала и определенному лучу, для упрощения записи опущены и обозначено: , .

В рамках описания одномерными распределениями вероятностей рассмотренная модель характеризуется совместно гауссовской четырехпараметрической ПРВ

.         (6.3)

Четырехпараметрическое распределение модуля каждого из элементов передаточной  матрицы  (и  амплитуд  сигналов)    фаз    определяется при этом более сложными формулами:

,

,                                                            (6.4)

где  ;   ;   ;

   ;   .                                                   (6.5)

Экспериментальные данные по замираниям в радиоканалах различных диапазонов подтверждают возможность удовлетворительной аппроксимации распределений амплитуд и фаз как общим четырехпараметрическим законом, так и его частными случаями. Основные из них следующие:

1) трехпараметрические замирания ();

2) райсовские (обобщенно-рэлеевские) замирания (, );

3) подрэлеевские замирания (); наиболее глубокие замирания в рамках этой и более общих моделей соответствуют случаю одностороннего нормального распределения (,  );

4) рэлеевские замирания (,  );

5) канал без замираний ().

Следует подчеркнуть, что в рамках четырехпараметрической (общей гауссовской) модели замирания амплитуд и фаз сигнала оказываются коррелированными, что подтверждается экспериментальными данными для различных радиотрасс [16].  Исключением является чисто рэлеевский канал, для которого . Что же касается параметров  указанной модели, то в большинстве реальных каналов связи их можно считать не зависящими от  и .

Скорость замираний квадратурных компонент  и  по времени и пространственным координатам в общей гауссовской модели определяется характером коэффициентов корреляции . Большую часть каналов связи, удовлетворительно описываемых этой моделью, можно отнести к категории каналов с медленными (неселективными) замираниями во времени и неселективными замираниями в пространстве, когда коэффициент корреляции  в области анализа  близок к единице. Противоположная ситуация, когда компоненты сигнала  и  дельта-коррелированы во времени и пространстве, для систем связи не характерна. Это означает, что модель (6.2) в области анализа характеризуется  случайными гауссовскими величинами , ,  ().

В работе [16] для замирающих амплитуд отдельных лучей и сигнала в целом принято и обосновано так называемое m-распределение (распределение Накагами)

,                                   (6.6)

где  и  – параметры распределения;  – гамма-функция. Параметр  выражает среднеквадратическое значение амплитуды , а  – отношение квадрата средней мощности замирающего сигнала к дисперсии его мгновенной мощности, т. е. характеризует глубину замираний. Такой вид  был получен теоретически для распределения неотрицательной функции многих случайных аргументов и экспериментально подтвержден при испытаниях на различных радиотрассах [16, 36]. Распределение Накагами удовлетворительно аппроксимирует некоторые области четырехпараметрического распределения, но, разумеется, не может передать все тонкости последнего. Эти распределения тождественны лишь в трех частных случаях:

1) односторонне нормальные замирания амплитуд (, , );

2) рэлеевские замирания(,  , );

3) канал без замираний (, ).

В многолучевой модели (6.2) фазы  даже в тех случаях, когда учитываются не только свойства канала, но и случайные флуктуации фаз опорных генераторов в тракте передачи, с хорошим приближением к практике нередко можно считать независимыми от амплитуд и равномерно распределенными:

.                                                   (6.7)

Распределение квадратурных компонент ,  (а, следовательно, и сигнала  в целом) определяется при этом распределением амплитуд, аппроксимируя которое четырехпараметрическим законом или распределением Накагами, получают широкий набор негауссовских моделей (гауссовская модель получается только при рэлеевском распределении амплитуд) для поля .

Так, если  имеет плотность вероятности (6.6), а фаза распределена равномерно, то совместная ПРВ

            (6.8)

а каждая из квадратурных компонент имеет распределение

,                      (6.9)

где  – функция Уиттекера [16].

В каналах радиосвязи наблюдаются медленные замирания, имеющие неинтерференционную природу, и, следовательно, их статистика не может быть объяснена центральной предельной теоремой теории вероятностей (таковы, например, абсорбционные замирания радиосигнала). Многочисленные эксперименты подтверждают, что при медленных мультипликативных флуктуациях возможны более глубокие замирания амплитуд относительно долговременных среднеквадратических (медианных) значений, чем те, которые следуют из четырехпараметрической модели при интерференционных замираниях [16]. Другими словами, наблюдаются замирания более глубокие, чем при одностороннем нормальном распределении амплитуд.

По многочисленным экспериментальным данным распределение амплитуд при медленных (часовых и более продолжительных) замираниях удовлетворительно описывается логарифмически-нормальным распределением

, ,                            (6.10)

где  ,  – соответственно математическое ожидание и дисперсия величины  (параметры распределения).

Для моделирования каналов связи помимо закона распределения замираний важно знать возможные значения их интервала корреляции . Замирания в радиоканалах декаметрового диапазона, описываемые четырехпараметрическим или -распределениями (при  – самые глубокие), имеют  в пределах 1…10 с. В каналах с тропосферным рассеянием наблюдаются примерно такие же замирания с  около нескольких секунд, но возможно и =0.1 с. Для медленных (абсорбционных) замираний, описываемых логнормальным распределением (6.10) характерны значения =10 мин.

Разновидности аддитивных помех, чаще всего встречающиеся в реальных каналах связи, обычно подразделяют на три группы:

1) помехи, распределенные по частоте, времени и пространству (гладкие шумы), обусловленные внутренними шумами аппаратуры и множеством помех внешнего происхождения;

2) помехи, сосредоточенные на отдельных участках спектра временных или пространственных частот и в радиоканалах, обусловленные чаще всего работой посторонних передатчиков;

3) помехи, сосредоточенные во времени или пространстве (импульсные помехи).

Для помех первой группы, которые чаще всего называют флуктуационными, обычно приемлема модель в виде «белого» или «окрашенного» (т. е. с неравномерным спектром) гауссовского шума. Лишь в редких случаях возникает необходимость рассматривать более общие законы распределения, например [16]

,                                         (6.11)

где  – параметр, выбираемый в пределах 0,5…2. При =2 это распределение переходит в гауссовское.

Для сосредоточенных по спектру помех в большинстве каналов из-за их физической природы характерны замирания, которые могут описываться четырехпараметрическим и другими рассмотренными выше распределениями. Если амплитуда замирающей помехи распределена по закону Накагами, а фаза – равномерно, то ПРВ мгновенных значений помехи подчиняется бимодальному закону, который часто аппроксимируют выражением

                                               (6.12)

с параметрами  и , связанными с параметром -распределения Накагами соотношениями

,   ,   .

Для узкополосных негауссовских помех на выходе высокочастотного тракта приемника иногда используется модель Холла [16]: 

,                                           (6.13)

где [2, 5].

Сосредоточенные во времени помехи представляют собой быстро затухающие колебания или импульсы той или иной формы, длительность существования которых меньше интервала анализа, а моменты появления и амплитуды обычно случайны. Появление такой помехи в любой момент заданного интервала времени, как правило, равновероятно, а число появляющихся в нем помех подчиняется закону Пуассона. Распределения амплитуд могут быть весьма разнообразными. Для описания импульсных помех часто используют распределение вида (6.11), логнормальное распределение (6.10), гиперболический закон

,  ,                                                  (6.14)

где , , и гамма-распределение

,                                              (6.15)

где , , а также взвешенные суммы четырехпараметрических, экспоненциальных и других распределений. Для помех в форме радиоимпульсов начальная фаза обычно принимается равномерно распределенной.