3.5.4. Моделирование стационарных процессов с типовыми корреляционными функциями

Во многих радиотехнических системах наблюдаются сигналы, которые достаточно хорошо описываются моделями стационарных СП с типовыми КФ [4]. Возмущения в динамических системах часто задаются также в виде гауссовских стационарных процессов с типовыми КФ и дробно-рациональными спектральными плотностями [1, 41].

Основываясь на рассмотренных в пп. 3.5.1-3.5.3 методах, получим алгоритмы для моделирования гауссовских стационарных СП с некоторыми типами КФ. В табл. 3.1 приведены КФ , спектральные плотности  СП и соответствующие им передаточные функции  формирующих фильтров.

Таблица 3.1

Приведенные в табл. 3.1 типовые КФ имеют следующие случайные возмущения, встречающиеся в приложениях: атмосферная турбулентность; шумы/помехи в следящих системах  и информационно-измерительных устройствах; неоднородности земной поверхности; сейсмические нагрузки; характеристики потоков событий и др. [41]

Системы ДУ вида (3.37) для моделирования формирующих фильтров на ЭВМ представлены в табл. 3.2. При этом . Там же даны значения шага интегрирования , при котором обеспечивается заданная точность воспроизведения спектральной плотности (3.35) в установленном диапазоне частот. КФ   получается в результате предельного перехода при  из  КФ  .

Моделирующие алгоритмы получаются из формул табл. 3.2 при . Для исключения переходного процесса начальные условия в ДУ (табл. 3.2) следует задавать как реализацию случайного вектора ~. Подставляя в (3.64) параметры КФ, определяем корреляционные моменты ; , значения  и  приведены в табл. 3.3.

Таблица 3.2

Таблица 3.3

Получим дискретные модели, позволяющие моделировать процессы с типовыми КФ без методических ошибок. Процесс с экспоненциальной КФ  рассматривался в примере 3.1 (3.61). Процессы с КФ , приведенными в табл. 3.1, имеют спектры второго порядка вида (3.62). Представление в виде компоненты марковского процесса имеет вид (3.63), где , а значения остальных параметров приведены в табл. 2.4. Дискретная модель определяется уравнениями (3.69), где значения  определяются подстановкой данных табл. 3.4 в формулы (3.66)-(3.67). Окончательные выражения для  через параметры КФ приведены в табл. 3.5.

Коэффициенты  связаны с  формулами (3.68). Стационарные СП с дробно-рациональной спектральной плотностью (3.62) могут моделироваться с помощью уравнения типа авторегрессии - скользящего среднего [2, 41]:

,  ~.                   (3.70)

Таблица 3.4

Таблица 3.5

Для определения параметров уравнения (3.70) найдем спектральную плотность последовательности :

.

Функция  является элементом  матричной спектральной плотности  последовательности (3.69) и определяется формулой

                                 (3.71)

где ,   - матрица, сопряженная по Эрмиту к . Обратная к матрице  порядка  легко находится с помощью присоединенной матрицы. Подставив в формулу (3.71) элементы матриц  и , получим выражение для спектральной плотности:

,

где в знаменателе – определитель матрицы  ,  постоянные   равны

;  ;

;

.

Для процессов с типовыми КФ  , отсюда получаем

;  .

Здесь для КФ  нужно положить . Для определения коэффициентов  выполним факторизацию числителя, т. е. представим его в виде

.

Корни трехчлена   имеют вид  .

В качестве  примем тот из корней, который по модулю меньше единицы,  он определяется  формулой

            .                                     

Второй корень равен . Разлагая трехчлен на линейные множители,  преобразуем  к виду

,

где  - положительная величина. Отсюда следует

,

где  ,  ,  .

Для того, чтобы избавиться от переходного процесса, необходимо разыгрывать начальные условия  как гауссовский четырехмерный случайный вектор с нулевым средним и корреляционной матрицей

.                                                    

Для удобства пользования дискретный алгоритм моделирования процессов с типовыми КФ  и его параметры представлены в табл. 3.6. Приведенные в таблице выражения совпадают с формулами табл. 3.2.

Таблица 3.6