§ 2. Поле, излучаемое средой

Мы должны теперь выяснить, имеет ли поле осциллирующих зарядов в пластинке тот же вид, что и поле  во втором члене (31.8). Если это так, то тем самым мы найдем и показатель преломления  [поскольку  — единственный фактор в (31.8), не выражающийся через фундаментальные величины]. Вернемся теперь к вычислению поля , создаваемого зарядами пластинки. (Для удобства мы выписали в табл. 31.1 обозначения, которыми мы уже пользовались, и те, которые нам понадобятся в дальнейшем.)

Таблица 31.1 Обозначения, которыми мы пользуемся при вычислении

Если источник  (на фиг. 31.1) находится слева па достаточно большом расстоянии, то поле  имеет одинаковую фазу по всей длине пластинки, и вблизи пластинки его можно записать в виде

                                  (31.9)

На самой пластинке в точке  мы имеем

 (у пластинки).                            (31.10)

Это электрическое поле воздействует на каждый электрон в атоме, и они под действием электрической силы  будут колебаться вверх и вниз (если  направлено вертикально). Чтобы найти характер движения электронов, представим атомы в виде маленьких осцилляторов, т. е. пусть электроны упруго соединены с атомом; это значит, что смещение электронов из нормального положения под действием силы пропорционально величине силы.

Если вы слышали о модели атома, в которой электроны вращаются по орбите вокруг ядра, то эта модель атома вам покажется просто смешной. Но это лишь упрощенная модель. Точная теория атома, основанная на квантовой механике, утверждает, что в процессах с участием света электроны ведут себя так, как будто они закреплены на пружинах. Итак, предположим, что на электроны действует линейная возвращающая сила, и поэтому они ведут себя как осцилляторы с массой  и резонансной частотой . Мы уже занимались изучением таких осцилляторов и знаем уравнение движения, которому они подчиняются:

                             (31.11)

(здесь  — внешняя сила).

В нашем случае внешняя сила создается электрическим полем волны источника, поэтому можно написать

,                            (31.12)

где  — заряд электрона, а в качестве  мы взяли значение  из уравнения (31.10). Уравнение движения электрона приобретает вид

                              (31.13)

Решение этого уравнения, найденное нами раньше, выглядит следующим образом:

;                                                        (31.14)

подставляя его в (31.13),  получаем

,                               (31.15)

откуда

                           (31.16)

Мы нашли то, что хотели, — движение электронов в пластинке. Оно одинаково для всех электронов, и только среднее положение («нуль» движения) у каждого электрона свое.

Теперь мы в состоянии определить поле , создаваемое атомами в точке , поскольку поле заряженной плоскости было найдено еще раньше (в конце гл. 30). Обращаясь к уравнению (30.19), мы видим, что поле  в точке  есть скорость заряда, запаздывающая по времени на величину , умноженная на отрицательную константу. Дифференцируя  из (31.16), получаем скорость и, введя запаздывание [или же просто подставляя  из (31.15) в (30.18)], приходим к формуле

                                 (31.17)

Как и следовало ожидать, вынужденное колебание электронов привело к новой волне, распространяющейся вправо (на это указывает множитель ); амплитуда волны пропорциональна числу атомов на единице площади пластинки (множитель ), а также амплитуде поля источника . Кроме того, возникают и другие величины, зависящие от свойств атомов .

Самый важный момент, однако, заключается в том, что формула (31.17) для  очень похожа на выражение  в (31.8), полученное нами с помощью введения запаздывания в среде с показателем преломления . Оба выражения совпадают, если положить

                           (31.18)

Заметьте, что обе стороны этого равенства пропорциональны , поскольку  — число атомов на единицу площади — равно , где  — число атомов на единицу объема пластинки. Подставляя  вместо  и сокращая на , получаем наш основной результат — формулу для показателя преломления, выраженную через константы, зависящие от свойств атомов, и частоту света:

                                  (31.19)

Эта формула «объясняет» показатель преломления, к чему мы и стремились.