§ 3. Фокусное расстояние линзы

Рассмотрим теперь другой случай, имеющий большое практическое значение. Большинство линз, которыми мы пользуемся, имеет не одну, а две поверхности раздела. К чему это приводит? Пусть имеется стеклянная линза, ограниченная поверхностями с разной кривизной (фиг. 27.5). Рассмотрим задачу о фокусировании пучка света из точки  в точку . Как это сделать? Сначала используем формулу (27.3) для первой поверхности, забыв о второй поверхности. Это позволит нам установить, что испускаемый в точке  свет будет казаться сходящимся или расходящимся (в зависимости от знака фокусного расстояния) из некоторой другой точки, скажем . Решим теперь вторую часть задачи. Имеется другая поверхность между стеклом и воздухом, и лучи подходят к ней, сходясь к точке . Где они сойдутся на самом деле? Снова воспользуемся той же формулой! Находим, что они сойдутся к точке . Таким образом можно пройти, если необходимо, через 75 поверхностей, последовательно применяя одну и ту же формулу и переходя от одной поверхности к другой!

Имеются еще более сложные формулы, которые могут нам помочь в тех редких случаях нашей жизни, когда нам почему-то нужно проследить путь света через пять поверхностей. Однако если уж это необходимо, то лучше последовательно перебрать пять поверхностей, чем запоминать кучу формул, ведь может случиться, что нам вообще не придется возиться с поверхностями!

Во всяком случае, принцип расчета таков: при переходе через одну поверхность мы находим новое положение, новую точку фокуса и рассматриваем ее как источник для следующей поверхности и т. д. Часто в системах бывает несколько сортов стекла с разными показателями ; поэтому для конкретного решения задачи нам нужно обобщить формулу (27.3) на случай двух разных показателей  и . Нетрудно показать, что обобщенное уравнение (27.3) имеет вид

.                                (27.7)

Фигура 27.5. Построение изображения, даваемого двусторонней линзой.

Фигура 27.6. Тонкая линза с двумя положительными радиусами  кривизны

Особенно прост случай, когда поверхности близки друг к другу и ошибками из-за конечной толщины можно пренебречь. Рассмотрим линзу, изображенную на фиг. 27.6, и поставим такой вопрос: каким условиям должна удовлетворять линза, чтобы пучок из  фокусировался в ? Пусть свет проходит точно через крап линзы в точке . Тогда (пренебрегая временно толщиной линзы  с показателем преломления ) излишек времени на пути  будет равен . Чтобы уравнять время на пути  и время на прямолинейном пути, линза должна обладать в центре такой толщиной , чтобы она задерживала свет на нужное время. Поэтому толщина линзы  должна удовлетворять соотношению

.                                   (27.8)

Можно еще выразить  через радиусы обеих поверхностей  и . Учитывая условие 3 (приведенное на стр. 27), мы находим для случая  (выпуклая линза)

.                                               (27.9)

Отсюда получаем окончательно

.                         (27.10)

Отметим, что, как и раньше, когда одна точка находится на бесконечности, другая будет расположена на расстоянии, которое мы называем фокусным расстоянием . Величина  определяется равенством

,                                    (27.11)

где .

В противоположном случае, когда  стремится к бесконечности,  оказывается на фокусном расстоянии . Для нашей линзы фокусные расстояния совпадают. (Здесь мы встречаемся еще с одним частным случаем общего правила, по которому отношение фокусных расстояний равно отношению показателей преломления тех двух сред, где лучи фокусируются. Для нашей оптической системы оба показателя одинаковы, а поэтому фокусные расстояния равны.)

Забудем на время формулу для фокусного расстояния. Если вы купили линзу с неизвестными радиусами кривизны и каким-то показателем преломления, то фокусное расстояние можно просто измерить, собирая в фокус лучи, идущие от удаленного источника. Зная , удобнее переписать нашу формулу сразу в терминах фокусного расстояния:

.

Давайте посмотрим теперь, как работает эта формула и что из нее получается в разных случаях. Во-первых, если одно из расстояний  и  бесконечно, другое равно . Это условие означает, что параллельный пучок света фокусируется на расстоянии  и может использоваться на практике для определения . Интересно также, что обе точки движутся в одну сторону. Если одна идет направо, то и вторая движется в ту же сторону. И наконец, если  и  одинаковы, то каждое из них равно .