§ 2. Скалярные и векторные поля — T и h

Мы начинаем сейчас рассмотрение абстрактного, математического подхода к теории электричества и магнетизма. Наша цель — объяснить смысл законов, написанных в гл. 1. Но для этого надо сперва объяснить новые особенные обозначения, которые мы хотим использовать. Давайте поэтому на время позабудем электромагнетизм и разберемся в математике векторных полей. Она очень важна не только в электромагнетизме, но и во многих физических обстоятельствах, подобно тому как обычное дифференциальное и интегральное исчисление важно во всех областях физики. Мы переходим к дифференциальному исчислению векторов.

Ниже перечислены некоторые сведения из алгебры векторов. Считается, что вы с ними уже знакомы

,                                 (2.1)

,                                                                                (2.2)

,

,

,

,                                                                                           (2.3)

,                                                                                   (2.4)

,                                                                     (2.5)

                                                     (2.6)

Мы будем также пользоваться следующими двумя равенствами:
,                                                           (2.7)

                                                                                     (2.8)

Уравнение (2.7) справедливо, конечно, только при  и .

Простейшее из физических полей — скалярное. Полем, как вы помните, называется величина, зависящая от положения в пространстве. Скалярное поле — это просто такое поле, которое в каждой точке характеризуется одним-единственным числом — скаляром. Это число, конечно, может меняться во времени, но пока мы на это не будем обращать внимания. (Речь будет идти о том, как поле выглядит в данное мгновение.) В качестве примера скалярного поля рассмотрим брусок из какого-то материала. В одних местах брусок нагрет, в других — остужен, так что его температура меняется от точки к точке каким-то сложным образом. Температура тогда будет функцией  и  — положения в пространстве, измеренного в прямоугольной системе координат. Температура — это скалярное поле.

Один способ представить себе скалярное поле — это вообразить «контуры», т. е. мысленные поверхности, проведенные через точки с одинаковыми значениями поля, подобно горизонталям на картах, соединяющим точки на одной высоте над уровнем моря. Для температурного поля контуры носят название «изотермические поверхности», или изотермы. На фиг. 2.1 показано температурное поле и зависимость  от  и  при . Проведено несколько изотерм.

Фигура 2.1. Температура  — пример скалярного поля. С каждой точкой  в пространстве связывается число . Все точки на поверхности с пометкой  (изображенной в виде кривой при ) имеют одну и ту же температуру. Стрелки — это примеры вектора потока тепла .

Поля бывают также векторными. Идея их очень проста. В каждой точке пространства задается вектор. Он меняется от точки к точке. Рассмотрим в виде примера вращающееся тело. Скорость материала тела во всякой точке — это вектор, который является функцией ее положения (фиг. 2.2). Другой пример — поток тепла в бруске из некоторого материала. Если в одной части бруска температура выше, а в другой — ниже, то от горячей части к холодной будет идти поток тепла. Тепло в разных частях бруска будет растекаться в различных направлениях. Поток тепла — это величина, имеющая направление; обозначим ее ; длина этого вектора пусть измеряет количество протекающего тепла. Векторы потока тепла также изображены на фиг. 2.1.

Фигура 2.2. Скорости атомов во вращающемся теле — пример векторного поля.

Определим теперь  более точно. Длина вектора потока тепла в данной точке — это количество тепловой энергии, проходящее за единицу времени и в пересчете на единицу площади сквозь бесконечно малый элемент поверхности, перпендикулярный к направлению потока. Вектор указывает направление потока (фиг. 2.3). В буквенных обозначениях: если  — тепловая энергия, протекающая за единицу времени сквозь элемент поверхности , то

,                               (2.9)

где  — единичный вектор направления потока.

Фигура 2.3. Тепловой поток — векторное поле.

Вектор  указывает направление потока. Абсолютная величина его выражает энергию, переносимую за единицу времени через элемент поверхности, ориентированный поперек потока, деленную на площадь элемента поверхности.

Вектор  можно определить и иначе — через его компоненты. Зададим себе вопрос, сколько тепла протекает через малую поверхность под произвольным углом к направлению потока. На фиг. 2.4 мы изобразили малую поверхность  под некоторым углом к поверхности , которая перпендикулярна к потоку. Единичный вектор  перпендикулярен к поверхности . Угол  между  и  равен углу между поверхностями (так как  — нормаль к ). Чему теперь равен поток тепла через  на единицу площади? Потоки сквозь  и  равны между собой, отличаются только площади. Действительно, . Поток тепла через  равен

                                                                      (2.10)

Фигура 2.4. Тепловые потоки сквозь  и сквозь  одинаковы.

Поясним это уравнение: поток тепла (в единицу времени и на единицу площади) через произвольный элемент поверхности с единичной нормалью  равен . Можно еще сказать так: компонента потока тепла, перпендикулярная к элементу поверхности Аа2, равна . Можно, если мы хотим, считать эти утверждения определением . Сходные идеи мы применим и к другим векторным полям.