Главная > Фейнмановские лекции по физике. Т.5. Электричество и магнетизм
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 5. Безвихриевое течение жидкости; обтекание шара

Рассмотрим теперь пример, по существу, не такой уж хороший, потому что уравнения, которые мы будем использовать, на самом деле не описывают новый объект полностью, а отвечают лишь некоторым идеализированным условиям. Это задача о течении воды. Когда мы разбирали случай натянутой пленки, то наши уравнения представляли приближение, справедливое лишь для малых отклонений. При рассмотрении течения воды мы прибегнем к приближению другого рода; мы должны принять ограничения, которые, вообще говоря, к обычной воде неприменимы. Мы разберем только случай постоянного течения несжимаемой, невязкой, лишенной завихрений жидкости. Потом мы опишем течение, задав ему скорость  как функцию положения . Если движение постоянно (единственный случай, для которого имеется электростатическая аналогия),  не зависит от времени. Если  — плотность жидкости, то  — масса жидкости, проходящая в единицу времени через единичную площадку. Из закона сохранения вещества дивергенция , вообще говоря, равна изменению со временем массы вещества в единице объема. Мы предположим, что процессы непрерывного рождения или уничтожения вещества отсутствуют. Сохранение вещества требует тогда, чтобы . (В правой части должно было бы стоять, вообще говоря, , но поскольку наша жидкость несжимаема, то р меняться не может.) Так как  повсюду одинаково, то его можно вынести, и наше уравнение запишется просто

.

Чудесно! Снова получилась электростатика (без зарядов); уравнение совсем похоже на . Ну не совсем! В электростатике не просто . Есть два уравнения. Одно уравнение еще не дает нам всего; нужно дополнительное уравнение. Чтобы получилось совпадение с электростатикой, у нас  от  должен был бы равняться нулю. Но для настоящих жидкостей это вообще не так. В большинстве их обычно возникают вихри. Следовательно, мы ограничиваемся случаем, когда циркуляция жидкости отсутствует. Такое течение часто называют безвихревым. Как бы то ни было, принимая наши предположения, можно представить себе течение жидкости, аналогичное электростатике. Итак, мы берем

                                               (12.28)

и

                                               (12.29)

Мы хотим подчеркнуть, что условия, при которых течение жидкости подчиняется этим уравнениям, встречаются весьма нечасто, но все-таки бывают. Это должны быть случаи, когда поверхностным натяжением, сжимаемостью и вязкостью можно пренебречь и когда течение можно считать безвихревым. Эти условия выполняются столь редко для обычной воды, что математик Джон фон Нейман сказал по поводу тех, кто анализирует уравнения (12.28) и (12.29), что они изучают «сухую воду»! (Мы возвратимся к задаче о течении жидкости более подробно в вып. 7, гл. 40 и 41.)

Поскольку , то скорость «сухой воды» можно написать в виде градиента от некоторого потенциала

.                                                                 (12.30)

Каков физический смысл ? Особо полезного смысла нет. Скорость можно записать в виде градиента потенциала просто потому, что течение безвихревое. По аналогии с электростатикой  называется потенциалом скоростей, но он не связан с потенциальной энергией так, как это получается для . Поскольку дивергенция  равна нулю, то

.                                                 (12.31)

Потенциал скоростей  подчиняется тому же дифференциальному уравнению, что и электростатический потенциал в пустом пространстве ().

Давайте выберем какую-нибудь задачу о безвихревом течении и посмотрим, сможем ли мы решить ее изученными методами. Рассмотрим задачу о шаре, падающем в жидкости. Если он движется слишком медленно, то силы вязкости, которыми мы пренебрегали, будут существенны. Если он движется слишком быстро, то следом за ним будут идти маленькие вихри (турбулентность) и возникнет некоторая циркуляция воды. Но если шар движется и не чересчур быстро, и не чересчур медленно, то течение воды будет более или менее отвечать нашим предположениям, и мы сможем описать движение воды нашими простыми уравнениями.

Удобно описывать процесс в системе координат, скрепленной с шаром. В этой системе координат мы задаем вопрос: как течет вода около неподвижного шара, если на больших расстояниях течение однородно? Иначе говоря, если вдали от шара течение всюду одинаково? Течение вблизи шара будет иметь вид, показанный линиями потока на фиг. 12.8. Эти линии, всегда параллельные , соответствуют линиям напряженностей электрического поля.

Фигура 12.8. Поле скоростей безвихревого обтекания сферы жидкостью.

Мы хотим получить количественное описание поля скоростей т. е. выражение для скорости в любой точке .

Можно найти скорость как градиент от , поэтому сначала определим потенциал. Мы хотим найти потенциал, который удовлетворял бы всюду (12.31) при следующих двух условиях: 1) течение отсутствует в сферической области за поверхностью шара; 2) течение постоянно на больших расстояниях. Чтобы выполнялось первое ограничение, компонента , перпендикулярная поверхности шара, должна обращаться в нуль. Это значит, что  при . Для выполнения второго ограничения нужно иметь  всюду, где . Строго говоря, нет ни одной электростатической задачи, которая в точности соответствовала бы нашей задаче. Она фактически соответствует сфере с нулевой диэлектрической проницаемостью, помещенной в однородное электрическое поле. Если бы мы имели решение задачи для сферы с диэлектрической проницаемостью , то, положив , немедленно решили бы нашу  задачу.

Мы раньше не разобрали такую электростатическую задачу во всех подробностях; давайте сделаем это сейчас. (Мы могли бы сразу решить задачу о жидкости с  и , но будем пользоваться  и , потому что привыкли к ним.)

Задача ставится так: найти такое решение уравнения , чтобы  равнялось постоянной, скажем , для больших  и, кроме того, чтобы радиальная компонента  была равна нулю при . Иначе говоря,

.                                                                  (12.32)

Наша задача включает новый тип граничных условий — когда  постоянно, а не тот, когда потенциал  постоянен на поверхности. Это немножко другое условие. Получить ответ сразу нелегко. Прежде всего без шара  был бы равен . Тогда  было бы направлено по  и имело бы всюду постоянную величину . Мы уже исследовали случай диэлектрического шара, поляризация внутри которого однородна, и нашли, что поле внутри поляризованного шара однородно, а вне его оно совпадает с полем точечного диполя, расположенного в центре шара. Давайте напишем, что искомое решение есть суперпозиция однородного поля плюс поле диполя. Потенциал диполя (см. гл. 6) есть . Итак, мы предполагаем, что

.                                                    (12.33)

Поскольку поле диполя спадает, как , то на больших расстояниях мы как раз имеем поле . Наше предположение автоматически удовлетворяет сформулированному выше второму условию (стр. 249). Но что нам взять в качестве силы диполя ? Для ответа мы должны использовать другое условие [уравнение (12.32)]. Мы должны продифференцировать  по , но, разумеется, это нужно сделать при постоянном угле , поэтому удобнее выразить сначала  через  и , а не через  и . Поскольку , то

.                                         (12.34)

Радиальная составляющая  есть

.                                     (12.35)

Она должна быть равна нулю при  для всех . Это будет выполнено, если

.                                                      (12.36)

Заметьте хорошенько, что если бы оба члена в уравнении (12.35) зависели бы от  по-разному, то мы не смогли бы выбрать  так, чтобы (12.35) обращалось в нуль при  для всех углов. Тот факт, что это получилось, означает, что мы были мудры, написав уравнение (12.33). Конечно, когда мы догадывались, мы заглядывали вперед; мы знали, что понадобится еще один член, который бы, во-первых, удовлетворял  (любое действительное поле удовлетворяет этому), во-вторых, зависел от  и, в-третьих, спадал бы к нулю при больших . Поле диполя — единственное, которое удовлетворяет всем трем требованиям.

С помощью  (12.36) наш потенциал приобретает вид

.                                          (12.37)

Решение задачи о течении жидкости может быть записано просто:

 .                                         (12.38)

Отсюда прямо находится . Больше мы не будем заниматься этим вопросом.

 

1
Оглавление
email@scask.ru