§ 3. Поток из куба; теорема Гаусса

Рассмотрим теперь частный случай потока из маленького кубика и получим интересную формулу. Ребра куба пусть направлены вдоль осей координат (фиг. 3.5), координаты вершины, ближайшей к началу, суть , ребро куба в направлении  равно , ребро куба (а точнее, бруска) в направлении  равно , а в направлении  равно . Мы хотим найти поток векторного поля  через поверхность куба. Для этого вычислим сумму потоков через все шесть граней. Начнем с грани 1 (см. фиг. 3.5). Поток наружу сквозь нее равен ажомпоненте  с минусом, проинтегрированной по площади грани. Он равен

Фигура 3.5. Вычисление потока вектора  из маленького кубика.

Так как куб считается малым, этот интеграл можно заменить значением  в центре грани [эту точку мы обозначили (1)], умноженным на площадь грани :

Подобным же образом поток наружу через грань 2 равен

Величины  и , вообще говоря, слегка отличаются. Если ; достаточно мало, то можно написать

Существуют, конечно, и другие члены, но в них входит и высшие степени , и в пределе малых ; ими запросто можно пренебречь. Значит, поток сквозь грань 2 равен

Складывая потоки через грани 1 и 2, получаем

Производную нужно вычислять в центре грани 1, т. е. в точке . Но если куб очень маленький, мы сделаем пренебрежимую ошибку, если вычислим ее в вершине .

Повторяя те же рассуждения с каждой парой граней, мы получаем

а

А общий поток через все грани равен сумме этих членов. Мы обнаруживаем, что

Сумма производных в скобках как раз есть , a  (объем куба). Таким образом, мы можем утверждать, что для бесконечно малого куба

                                   (3.17)

Мы показали, что поток наружу с поверхности бесконечно малого куба равен произведению дивергенции вектора на объем куба. Теперь мы понимаем «смысл» понятия дивергенции вектора. Дивергенция вектора в точке  — это поток  («истечение»  наружу) на единицу объема, взятого в окрестности . Мы связали дивергенцию  с потоком  из бесконечно малого объема. Для любого конечного объема можно теперь использовать факт, доказанный выше, что суммарный поток из объема есть сумма потоков из отдельных его частей. Иначе говоря, мы можем проинтегрировать дивергенцию по всему объему. Это приводит нас к теореме, согласно которой интеграл от нормальной составляющей произвольного вектора по замкнутой поверхности может быть представлен также в виде интеграла от дивергенции вектора по объему, заключенному внутри поверхности. Теорему эту называют теоремой Гаусса.

Теорема Гаусса

,                           (3.18)

где  — произвольная замкнутая поверхность,  — объем внутри нее.