§ 5. Электростатическое поле сетки

Напоследок мы хотим изложить еще одно интересное свойство электрических полей. Оно используется в электрических приборах, электронных лампах и для других целей. Речь идет о поведении электрического поля близ сетки, составленной из заряженных проволочек. Чтоб упростить задачу, возьмем плоскую систему параллельных проволочек бесконечной длины, промежутки между которыми одинаковы.

Если мы посмотрим на поле где-то высоко над плоскостью проволочек, перед нами предстанет однородное электрическое поле, такое, словно заряд распределен на плоскости равномерно. По мере приближения к сетке начнутся отклонения от прежней однородности. Мы хотим оценить, насколько близко от сетки появятся заметные изменения в потенциале. На фиг. 7.8 показано примерное расположение эквипотенциальных поверхностей на разных расстояниях от сетки. Чем ближе к сетке, тем сильнее колебания. Двигаясь параллельно сетке, мы заметим, что поле изменяется периодически.

Фигура 7.8. Эквипотенциальные поверхности над однородной сеткой из заряженных проволочек.

Мы уже знаем (см. вып. 4, гл. 50), что любая периодическая величина может быть представлена в виде суммы синусных волн (теорема Фурье). Посмотрим, нельзя ли найти подходящую колебательную функцию, которая удовлетворяет нашим уравнениям поля.

Если проволочки лежат в плоскости  параллельно оси , то можно попробовать испытать члены вида

,                              (7.41)

где  — расстояние между нитями, а  — число колебаний. (Мы предположили, что нити эти очень длинные, так что никаких изменений по  не заметно.) Полное решение должно состоять из суммы таких членов при . Чтоб получился правильный потенциал, оно должно в области над сеткой (где зарядов нет) подчиняться уравнению Лапласа, т. е.

Испытывая этим уравнением функцию  из (7.41), мы получаем

,                                 (7.42)

т.е.  должно удовлетворять условию

                               (7.43)

Итак, должно быть

,                          (7.44)

                                (7.45)

Мы обнаружили, что если имеется компонента Фурье  гармоники поля, то эта компонента должна убывать по экспоненте с высотой, причем характерным расстоянием является . Амплитуда у первой гармоники  уменьшается в  раз (очень резкое падение) каждый раз, когда мы удаляемся от сетки на величину одного промежутка . Другие гармоники убывают еще быстрее. Мы видим, что уже на расстоянии в несколько  сетка кажется почти однородной, т. е. колебания поля очень малы. Конечно, всегда остается «нулевая гармоника» поля

,

которая и дает однородное поле при больших . Для полного решения нужно добавить этот член к сумме членов вида (7.41) с  из (7.44) , причем каждый член надо взять с коэффициентом . Эти коэффициенты выбираются так, чтобы после дифференцирования получилось поле, согласующееся с плотностью зарядов  на проволочках сетки.

Развитым нами методом можно объяснить, почему электростатическая защита с помощью сетки ничуть не хуже сплошных листов металла. Поле за сеткой равно нулю всюду, за исключением промежутка у самой сетки, не превышающего по размерам нескольких ее ячеек. Мы видим, что медная сетка, которая намного легче и дешевле сплошной медной обшивки, вполне пригодна для защиты чувствительного электрического оборудования от возмущающих внешних полей.