§ 4. Дипольный потенциал как градиент

Мы хотели бы теперь отметить любопытное свойство формулы диполя (6.13). Потенциал можно записать также в виде

                           (6.16)

Действительно, вычислив градиент ,, вы получите

,

и (6.16) совпадает с (6.13).

Как мы догадались об этом? Мы просто вспомнили, что  уже появлялось в формуле для поля точечного заряда и что поле — это градиент потенциала, изменяющегося как .

Существует и физическая причина того, что дипольный потенциал может быть записан в форме (6.16). Пусть в начало координат помещен точечный заряд . Потенциал в точке  равен

(Множитель  опустим, а в конце мы его можем снова вставить.) Если заряд  мы сдвинем на расстояние , то потенциал в точке  чуть изменится, скажем на . На сколько же именно? Как раз на столько, на сколько изменился бы потенциал, если б заряд оставили в покое, а  сместили на столько же вниз (фиг. 6.5). Иначе говоря,

,

где  означает то же, что и . Беря , мы получаем для потенциала положительного заряда

                             (6.17)

Фигура. 6.5. Потенциал в точке  от точечного заряда, поднятого на  над началом координат, равен потенциалу в точке  (на  ниже ) того же заряда, но помещенного вначале координат.

Повторяя те же рассуждения с потенциалом отрицательного заряда, можно написать

                         (6.18)

А общий потенциал — просто сумма (6.17) и (6.18):

                                (6.19)

При других расположениях диполя смещение положительного заряда можно изобразить вектором , а уравнение (6.17) представить в виде

,

где  впоследствии надо будет заменить на . Завершая доказательство так, как это было сделано выше, мы приведем уравнение (6.19) к виду

Это то же уравнение, что и (6.16). Надо только заменить  на  и вставить потерянный по дороге множитель . Взглянув на это уравнение по-иному, видим, что дипольный потенциал (6.13) можно толковать как

,                           (6.20)

где  — потенциал единичного точечного заряда.

Хотя потенциал данного распределения зарядов всегда может быть найден при помощи интегрирования, иногда можно сберечь время, применив какой-нибудь хитроумный прием. Например, на помощь часто приходит принцип наложения. Если нам дано распределение зарядов, которое можно составить из двух распределений с уже известными потенциалами, то искомый потенциал легко получить, просто сложив уже известные между собой. Наш вывод формулы (6.20) — один из примеров применения этого приема.

А вот и другой. Пусть имеется сферическая поверхность, на которой поверхностный заряд распределен пропорционально косинусу полярного угла. Интегрировать такое распределение — задача, откровенно говоря, не из приятных. Но как ни странно, на помощь приходит принцип наложения. Представьте себе шар с однородной объемной плотностью положительных зарядов и другой шар с такой же однородной объемной плотностью зарядов, но противоположного знака. Первоначально они вложены друг в друга, образуя нейтральный, т. е. незаряженный шар. Если затем положительный шар чуть сместить по отношению к отрицательному, то нутро незаряженного шара так и останется незаряженным, но на одной стороне возникнет небольшой положительный заряд, а на противоположной — такой же отрицательный (фиг. 6.6). И если относительное смещение двух шаров мало, то эти заряды эквивалентны существованию поверхностного заряда (на сферической поверхности) с плотностью, пропорциональной косинусу полярного угла.

Фигура. 6.6. Две равномерно заряженные сферы, вложенные друг в друга и слегка смещенные, эквивалентны неоднородному распределению поверхностного заряда.

Когда же нам понадобится потенциал этого распределения, то брать интегралы не нужно. Мы знаем, что потенциал каждого заряженного шара — в точках вне его — совпадает с потенциалом точечного заряда. А два смещенных шара — все равно, что два точечных заряда; значит, искомый потенциал и есть как раз потенциал диполя.

Таким путем можно показать, что распределение зарядов на сфере радиуса а с поверхностной плотностью

создает снаружи сферы такое же поле, как и диполь с моментом

Можно также показать, что внутри сферы поле постоянно и равно

Если  — угол с положительной осью , то электрическое поле внутри сферы направлено по отрицательной оси . Рассмотренный нами пример отнюдь не досужая выдумка составителя задач; он нам встретится еще в теории диэлектриков.