§ 7. Метод изображений

Мы определили поле двух точечных зарядов. На фиг. 6.8 показаны некоторые линии поля и эквипотенциальные поверхности, полученные из расчетов, приведенных в гл. 5. Рассмотрим теперь эквипотенциальную поверхность . Предположим, что мы изогнули тонкий лист металла так, что он в точности накладывается на эту поверхность. Если его действительно наложить и установить на нем правильное значение потенциала, то никто не будет, даже знать, что он там лежит, потому что ничего от его появления не изменилось.

Фигура 6.8. Линии поля и эквипотенциальные поверхности двух точечных зарядов.

А теперь взгляните внимательнее! На самом-то деле мы решили задачу уже с новым условием: поверхность изогнутого проводника с заданным потенциалом помещена близ точечного заряда. Если наш металлический лист, уложенный на эквипотенциальную поверхность, замыкается сам на себя (или тянется очень далеко), то получается картина, рассмотренная в гл. 5, § 10, когда пространство делится на две области: одна внутри, другая снаружи замкнутой проводящей поверхности. Там мы пришли к выводу, что поля в этих двух областях совершенно не зависят друг от друга. Так что независимо от того, каково поле внутри замкнутого проводника, снаружи поле всегда одно и то же. Можно даже заполнить всю сердцевину проводника проводящим материалом. Выходит, нам удалось найти поле при конфигурации проводников и зарядов, изображенной на фиг. 6.9. В пространстве вне проводника поле как раз такое, как у двух точечных зарядов (см. фиг. 6.8). Внутри проводника оно нуль. И, кроме того, электрическое поле, как и следовало ожидать, у самой поверхности проводника нормально к ней.

Фигура 6.9. Поле вне проводника, изогнутого вдоль эквипотенциальной поверхности  на предыдущем рисунке.

Итак, мы можем рассчитать поля на фиг. 6.9, вычисляя поле, созданное зарядом  и воображаемым точечным зарядом — , помещенным в подходящем месте. А точечный заряд, который мы представили себе существующим за проводящей поверхностью, так и называется зарядом-изображением.

В книгах можно найти длинные перечни решений задачи электростатики для гиперболических поверхностей и других сложных штук. Вас могло бы удивить, как это удалось рассчитать поля близ поверхностей столь ужасной формы. Но они были рассчитаны задом наперед! Кто-то решил простую задачу с фиксированными зарядами. А затем обнаружил, что появляются некоторые эквипотенциальные поверхности новой формы, ну и написал работу, в которой указал, что поля снаружи проводника такой формы могут быть изображены так-то и так-то.