§ 10. Конденсаторы; параллельные пластины

Теперь обратимся к другому роду задач, связанных с проводниками. Рассмотрим две широкие металлические пластины, параллельные между собой и разделенные узким (по сравнению с их размерами) промежутком. Предположим, что пластины наэлектризованы равными, но противоположными зарядами.

Заряды одной пластины будут притягивать к себе заряды другой и потом равномерно распределятся на внутренней поверхности пластин. Пусть поверхностная плотность зарядов на пластинах будет  и  соответственно (фиг. 6.12). Из гл. 5 мы знаем, что поле между пластинами равно , а поле снаружи пластин равно нулю. Пластины обладают неравными потенциалами  и . Их разности  удобно дать особое имя, ее часто называют «напряжением»

[некоторые обозначают буквой  потенциал, мы же его обозначили буквой ].

Фигура 6.12. Плоский конденсатор.

Разность потенциалов  — это работа (на единицу заряда), требуемая для переноса небольшого заряда с одной пластины на другую, так что

,                                  (6.33)

где  — суммарный заряд каждой пластины,  — ее площадь,  — щель между пластинами.

Мы видим, что напряжение пропорционально заряду. Эта пропорциональность между  и  соблюдается для любых двух проводников в пространстве, если на одном из них имеется плюс-заряд, а на другом равный ему минус-заряд. Разность потенциалов между ними, т. е. напряжение, оказывается пропорциональной заряду. (Мы предполагаем, что вокруг нет никаких других зарядов.)

Почему возникает эта пропорциональность? Просто из-за принципа наложения. Пусть нам известно решение для одной совокупности зарядов, а потом мы наложим на него другое такое же решение. Заряды удвоятся, поля удвоятся, работа переноса заряда от точки к точке тоже удвоится. По этой причине разность потенциалов двух точек пропорциональна заряду. В частности, разность потенциалов двух проводников пропорциональна их зарядам. Эту пропорциональность когда-то решили записывать иначе. И стали писать

,

где  — постоянное число. Этот коэффициент пропорциональности назвали емкостью, а систему двух проводников — конденсатором. Для нашего конденсатора из параллельных пластин

                         (6.34)

Эта формула неточна, потому что поле в противоречии с нашим предположением на самом деле не всюду однородно. Поле не кончается сразу на ребрах пластин, а похоже скорее на то, что изображено на фиг. 6.13. Суммарный заряд тоже равен не , как мы предположили; существует маленькая поправка на краевой эффект. Чтобы знать, какова она, надо точнее рассчитать поле и посмотреть, что происходит на краях. Это очень сложная математическая задача, однако ее можно решить при помощи техники, о которой мы, впрочем, говорить здесь не будем. Расчеты показывают, что плотность зарядов возле края пластин слегка возрастает. Это значит, что емкость пластин чуть выше, чем мы думали. [Хорошее приближение для емкости можно получить, если в уравнении (6.34) принять за  площадь, которую имели бы пластины, если б их расширили на  расстояния между ними.]

Фигура 6.13. Электрическое поле у краев двух параллельных платин.

Мы говорили пока только о емкости двух проводников. Иногда люди говорят о емкости предмета самого по себе. Так, говорят, что емкость сферы радиусом  есть . При этом подразумевается, что вторым полюсом является сфера бесконечного радиуса, т. е. что если на сфере помещен заряд , то противоположным зарядом  обладает бесконечно большая сфера. Можно говорить также о емкостях и тогда, когда проводников три или больше трех, но обсуждение этого вопроса мы отложим до лучших времен.

Пусть нам необходимо иметь конденсатор очень большой емкости. Большую емкость можно получить, взяв очень большую площадь и очень малый промежуток. Можно проложить алюминиевые ленты провощенной бумагой и смотать их в трубку. (Поместив ее в пластмассовую упаковку, мы получим типичный радиоконденсатор.) Зачем они нужны? Они пригодны для того, чтобы накапливать заряд. Если бы мы захотели, например, собрать заряд на каком-то шаре, то его потенциал быстро подскочил бы, а вскоре так поднялся бы, что заряды стали бы стекать в воздух, и от шара посыпались бы искры. Но если тот же заряд поместить внутрь конденсатора большой емкости, то напряжение близ конденсатора будет очень малым.

Во многих электронных схемах полезно иметь устройство, способное поглощать или выделять большие количества зарядов, заметно не изменяя потенциал. Вот конденсатор (или «емкость») — как раз такое устройство. Он имеет множество применений и в электронных приборах и в счетных машинах. Там он используется для получения определенного изменения в напряжении в ответ на то или иное изменение заряда. С подобным применением мы уже познакомились в вып. 2, гл. 23, когда описывали свойства резонансных контуров.

Из определения  мы получаем, что единица емкости есть . Эту единицу называют также . А вглядевшись в уравнение (6.34), мы видим, что  можно выразить в ; эта единица обычно и применяется.

Типичные емкости конденсаторов лежат в интервале от  [или, что тоже самое, ] до . Небольшие конденсаторы на несколько пикофарад используются в высокочастотных контурах настройки, а емкости порядка сотен или тысяч микрофарад мы находим в силовых фильтрах. Пара обкладок с площадью  с промежутком  имеет емкость примерно .