§ 2. Поток векторного поля

Прежде чем рассматривать следующую интегральную теорему — теорему о дивергенции, — хотелось бы разобраться в одной идее, смысл которой в случае теплового потока легко усваивается. Мы уже определили вектор , представляющий количество тепла, протекающего сквозь единицу площади в единицу времени. Положим, что внутри тела имеется замкнутая поверхность , ограничивающая объем  (фиг. 3.3). Нам хочется узнать, сколько тепла вытекает из этого объема. Мы это можем, конечно, определить, рассчитав общий тепловой поток через поверхность .

Обозначим через  площадь элемента поверхности. Этот символ заменяет двумерный дифференциал. Если, например, элемент окажется в плоскости , то

Позже мы будем иметь дело с интегралами по объему, и тогда будет удобно рассматривать элемент объема в виде малого кубика и обозначать его , подразумевая, что

Кое-кто пишет и  вместо , чтобы напомнить самому себе, что это выражение второй степени; вместо  пишут также . Мы будем пользоваться более простыми обозначениями,

а вы уж постарайтесь не забывать, что у площадей бывают два измерения, у объемов — три.

Фигура 3.3. Замкнутая поверхность , ограничивающая объем .

Единичный вектор  — внешняя нормаль к элементу поверхности , a  — вектор теплового потока сквозь элемент поверхности.

Поток тепла через элемент поверхности  равен произведению площади на составляющую , перпендикулярную к . Мы уже определяли  — единичный вектор, направленный наружу перпендикулярно к поверхности (см. фиг. 3.3). Искомая составляющая  равна

,                                 (3.9)

и тогда поток тепла сквозь  равен

                         (3.10)

А весь поток тепла через произвольную поверхность получается суммированием вкладов от всех элементов поверхности. Иными словами, (3.10) интегрируется по всей поверхности

                                   (3.11)

Этот интеграл мы будем называть «поток  через поверхность». Мы рассматриваем  как «плотность потока» тепла, а поверхностный интеграл от  — это общий поток тепла наружу через поверхность, т. е. тепловая энергия за единицу времени (джоули в секунду).

Мы хотим эту идею обобщить на случай, когда вектор не представляет собой потока какой-то величины, а, скажем, является электрическим полем. Конечно, если это будет нужно, то и в этом случае все равно можно проинтегрировать нормальную составляющую электрического поля по площади. Хотя теперь она уже не будет ничьим потоком, мы все еще будем употреблять слово «поток». Мы будем говорить, что

                        (3.12)

Слову «поток» мы придаем смысл «поверхностного интеграла от нормальной составляющей» некоторого вектора. То же определение будет применяться и тогда, когда поверхность незамкнута.

А возвращаясь к частному случаю потока тепла, обратим внимание на те случаи, когда количество тепла сохраняется. Представьте себе, к примеру, материал, в котором после первоначального подогрева не происходит ни дальнейшего подвода, ни поглощения тепла. Тогда, если из какой-то замкнутой поверхности наружу поступает тепло, содержание тепла во внутреннем объеме должно падать. Так что в условиях, когда количество тепла сохраняется, мы говорим, что

,                                 (3.13)

где  — запас тепла внутри . Поток тепла из  наружу равен со знаком минус быстроте изменения со временем общего запаса тепла  внутри . Это толкование возможно оттого, что речь идет о потоке тепла, и оттого, что мы предположили, что количество тепла сохраняется. Конечно, если бы внутри объема создавалось тепло, нельзя было бы говорить о полном запасе тепла в нем.

Укажем теперь на интересное свойство потока любого вектора. Можете при этом представлять себе вектор потока тепла, но верно это будет и для произвольного векторного поля . Представьте себе замкнутую поверхность , окружающую объем . Разобьем теперь объем на две части каким-то «сечением» (фиг. 3.4). Получились два объема и две замкнутые поверхности. Объем  окружен поверхностью , составленной частью из прежней поверхности  и частью из «сечения» . Объем  окружен поверхностью , составленной из остатка прежней поверхности  и замкнутой сечением . Зададим вопрос: если мы рассчитаем поток через поверхность  и прибавим к нему поток сквозь поверхность , будет ли их сумма равна потоку через первоначальную поверхность? Ответ гласит: «Да». Потоки через часть , общую обеим поверхностям  и , в точности сократятся. Для потока вектора  из  можно написать

,                           (3.14)

а для потока из :

                           (3.15)

Фигура 3.4. Объем , заключенный внутри поверхности , делится на две части «сечением» (поверхностью ).

Получается объем  окруженный поверхностью , и объем , окруженный поверхностью .

Заметьте, что во втором интеграле мы обозначили внешнюю нормаль к  буквой , если она относится к  и буквой , если она относится к  (см. фиг. 3.4). Ясно, что , и тем самым

                              (3.16)

Складывая теперь уравнения (3.14) и (3.15), мы убеждаемся, что сумма потоков сквозь  и  как раз равна сумме двух интегралов, которые, взятые вместе, дают поток через первоначальную поверхность .

Мы видим, что поток через всю внешнюю поверхность  можно рассматривать как сумму потоков из тех двух частей, на которые разрезан объем. Эти части можно еще разрезать: скажем,  разбить пополам. Опять придется прибегнуть к тем же доводам. Так что для любого способа разбиения первоначального объема всегда остается справедливым то свойство, что поток через внешнюю поверхность (первоначальный интеграл) равен сумме потоков изо всех внутренних частей.