§ 7. Вторые производные векторных полей

Пока мы имели дело только с первыми производными. А почему не со вторыми? Из вторых производных можно составить несколько комбинаций:

                                 (2.45)

Вы можете убедиться, что никаких иных комбинаций быть не может.

Посмотрим сперва на вторую комбинацию (б). Она имеет ту же форму, что и

,

потому что  всегда нуль. Значит,

                          (2.46)

Можно понять, как это получается, если расписать одну из компонент:

,                         (2.47)

что равно нулю [по уравнению (2.8)]. Это же верно и для других компонент. Стало быть,  для любого распределения температур, да и для всякой скалярной функции.

Возьмем второй пример. Посмотрим, нельзя ли получить нуль другим путем. Скалярное произведение вектора на векторное произведение, содержащее этот вектор, равно нулю

,                        (2.48)

потому что  перпендикулярно к  и не имеет тем самым составляющих вдоль . Сходная комбинация стоит в списке (2.45) под номером (г):

                              (2.49)

В справедливости этого равенства опять-таки легко убедиться, проделав выкладки на компонентах.

Теперь сформулируем без доказательства две теоремы. Они очень интересны и весьма полезны для физиков.

В физических задачах часто оказывается, что ротор какой-то величины (скажем, векторного поля ) равен нулю. Мы видели в уравнении (2.46), что ротор градиента равен нулю. (Это легко запоминается по свойствам векторов.) Далее, может оказаться, что  будет градиентом какой-то величины, потому что тогда ротор  с необходимостью обратится в нуль. Имеется интересная теорема, утверждающая, что если ротор  есть нуль, то тогда  непременно окажется чьим-то градиентом; существует некоторое скалярное поле  (пси), такое, что . Иными словами, справедлива

Теорема

                         (2.50)

Сходная теорема формулируется и для случая, когда дивергенция  есть нуль. Из уравнения (2.49) видно, что дивергенция ротора любой величины равна всегда нулю. Если вам случайно встретилось векторное поле , для которого  — нуль, то вы имеете право заключить, что  это ротор некоторого векторного поля .

Теорема

                                   (2.51)

Перебирая всевозможные сочетания двух операторов , мы обнаружили, что два из них всегда дают нуль. Займемся теперь теми, которые не равны нулю. Возьмем комбинацию , первую в нашем списке. В общем случае это не нуль. Выпишем компоненты

Далее,

,                            (2.52)

что может, вообще говоря, быть любым числом. Это скалярное поле.

Вы видите, что скобок можно не ставить, а вместо этого писать, не рискуя ошибиться:

                    (2.53)

Можно рассматривать  как новый оператор. Это скалярный оператор. Так как он в физике встречается часто, ему дали особое имя — лапласиан.

                                                         (2.54)

Раз оператор лапласиана — оператор скалярный, он может действовать и на вектор. Под этим мы подразумеваем, что он применяется к каждой компоненте вектора

Рассмотрим еще одну возможность:  [(д) в списке (2.45)]. Ротор от ротора можно написать иначе, если использовать векторное равенство (2.6)

                             (2.55)

Заменим в этой формуле  и  оператором  и положим . Получится

Погодите-ка! Здесь что-то не так. Как и положено, первые два члена — векторы (операторы утолили свою жажду), но последний член совсем не такой. Он все еще оператор. Ошибка в том, что мы не были осторожны и не выдержали нужного порядка членов. Вернувшись обратно, вы увидите, что (2.55) можно с равным успехом записать в виде

                                         (2.56)

Такой порядок членов выглядит уже лучше. Сделаем нашу подстановку в (2.56). Получится

                                (2.57)

С этой формулой уже все в порядке. Она действительно правильна, в чем вы можете убедиться, расписав компоненты. Последний член — это лапласиан, так что с равным успехом можно написать

                           (2.58)

Из нашего списка (2.45) двойных  мы разобрали все комбинации, кроме (в), . В ней есть смысл, это — векторное поле, но больше сказать о ней нечего. Это просто векторное поле, которое может случайно возникнуть в каком-нибудь расчете.

Удобно будет все наши рассуждения свести теперь в таблицу:

                               (2.59)

Вы могли заметить, что мы не пытались изобрести новый векторный оператор . Понимаете, почему?