§ 8. Точечный заряд у проводящей плоскости

В качестве простейшего применения этого метода используем плоскую эквипотенциальную поверхность  (см. фиг. 6.8). Она поможет нам решить задачу о заряде вблизи проводящей плоскости. Для этого зачеркнем просто левую часть фигуры. Линии поля нашего решения показаны на фиг. 6.10. Заметьте, что плоскость обладает нулевым потенциалом, потому что она находится как раз на полпути между зарядами. Мы решили задачу о положительном заряде вблизи заземленной проводящей плоскости.

Фигура 6.10. Поле заряда, помещенного близ плоской проводящей поверхности, найденное методом изображений.

Так мы узнали суммарное поле, но что можно сказать о том, каковы те реальные заряды, которые создали его? Кроме нашего положительного точечного заряда, ими являются какие-то отрицательные заряды, наведенные на проводящей плоскости и притянутые положительным зарядом (с каких-то далеких расстояний). Но теперь пусть вам захотелось узнать (то ли для технических целей, то ли просто из любопытства), как распределены эти отрицательные заряды по поверхности. Поверхностную плотность заряда вы сможете узнать, использовав результат, полученный в гл. 5, § 6 при помощи теоремы Гаусса. Нормальная составляющая электрического поля возле самого проводника равна плотности поверхностного заряда а, деленной на . Мы можем узнать плотность заряда в каждой точке поверхности, отправляясь назад от нормальной составляющей электрического поля на поверхности. А ее мы знаем, потому что вообще нам известно поле в любой точке.

Рассмотрим точку поверхности на расстоянии  от той точки, которая расположена прямо против положительного заряда (см. фиг. 6.10). Электрическое поле в этой точке нормально к поверхности и направлено внутрь нее. Составляющая поля положительного точечного заряда, нормальная к поверхности, равна

                              (6.28)

К ней мы должны добавить электрическое поле, созданное отрицательным зеркальным зарядом. Это удвоит нормальную составляющую (и уничтожит все прочие), так что плотность заряда а в произвольной точке поверхности будет равна

                          (6.29)

Проинтегрировав  по всей поверхности, мы сможем проверить наши расчеты. Мы должны получить весь наведенный заряд, т. е. .

Еще один вопрос: действует ли на точечный заряд сила? Да, потому что наведенные на плоскости отрицательные заряды должны его притягивать. А раз мы знаем, каковы эти поверхностные заряды [по формуле (6.29)], то можем с помощью интегрирования подсчитать силу, действующую на наш положительный заряд. Но мы ведь знаем также, что сила, действующая на него, в точности такая, какой она была бы, если бы вместо плоскости был один только отрицательный зеркальный заряд, потому что поля поблизости от них в обоих случаях одинаковы. Точечный заряд тем самым испытывает силу притяжения к плоскости, равную

                                 (6.30)

Мы определили эту силу очень легко, без интегрирования по отрицательным зарядам.