§ 2. Две спиновые волны

Теперь мы хотели бы выяснить, что происходит, когда имеется пара перевернутых спинов. Опять начнем с выбора системы базисных состояний. Выберем такие состояния, когда спины перевернуты в каких-то двух местах (так, как на фиг. 13.2). Эти состояния можно, скажем, отмечать -координатами тех двух узлов решетки, в которых оказались электроны с перевернутым спином. То, что на рисунке, можно обозначить . В общем случае базисные состояния будут  - дважды бесконечная совокупность! При таком способе описания состояние  и состояние  совпадают, потому что каждое из них просто говорит, что в точках 4 и 9 спин перевернут; порядок их не имеет значения. Не имеет также смысла состояние  - такого просто быть не может. Любое состояние  мы можем описать, задав амплитуды того, что оно обнаружится в одном из базисных состояний.

Фиг. 13.2. Состояния с двумя перевернутыми спинами.

Итак,  теперь означает амплитуду того, что система в состоянии  окажется в состоянии, когда у электронов, стоящих вблизи -го и -го атомов, спины смотрят вниз. Сложности, которые теперь возникнут, будут связаны не с усложнением идей, - это будут просто усложнения в бухгалтерии. (Одна из сложностей квантовой механики как раз и состоит в громоздкости бухгалтерии. Чем больше спинов перевернется, тем сложнее станут обозначения, тем больше будет индексов, тем страшнее будут выглядеть уравнения; но сами идеи вовсе не обязательно должны усложниться.)

Уравнения движения спиновой системы - это дифференциальные уравнения для :

.                (13.15)

Пусть нам опять нужно найти стационарные состояния. Как обычно, производные по времени обратятся в , умноженное на амплитуду, а  заменятся коэффициентами . Затем надо аккуратно рассчитать влияние  на состояние с перевернутыми спинами  и . Это сделать нетрудно. Представьте на минуту, что  далеко от , так что не нужно думать, что будет, если ... и т. д. Обменная операция, производимая в точке , передвинет перевернутый спин либо к -му, либо к -му атому, так что имеется ненулевая амплитуда того, что теперешнее состояние получилось из состояния , и амплитуда того, что оно произошло из состояния . Но передвинуться мог и второй спин, так что не исключена и какая-то амплитуда того, что  „питается от  или от . Все эти эффекты должны быть одинаковы. Окончательный вид гамильтонова уравнения для  таков:

.                   (13.16)

Это уравнение пригодно всегда, за исключением двух случаев. При  уравнения вообще нет, а при  пара членов в (13.16) должна пропасть. Этими исключениями мы пренебрежем. Мы просто будем игнорировать тот факт, что некоторые из этих уравнений слегка меняются. Ведь как-никак кристалл считается бесконечным и слагаемых в гамильтониане бесчисленно много; пренебрежение некоторым их числом вряд ли сильно на чем-то скажется. Итак, в первом грубом приближении давайте позабудем об изменениях уравнений. Иными словами, допустим, что (13.16) верно при всех  и , даже когда  и  стоят по соседству. Это самое существенное в нашем приближении.

Теперь уже решение отыскать нетрудно. Мы немедленно получаем

,                  (13.17)

где

,                   (13.18)

а

.                  (13.19)

Поразмыслим минутку о том, что было бы, если бы у нас были две независимые, отдельные спиновые волны (как в предыдущем параграфе), соответствующие  и ; их энергии из (13.12) имели бы вид

и

.

Заметьте, что энергия  в (13.19) является как раз их суммой:

.                (13.20)

Иными словами, наше решение можно толковать следующим образом. Имеются две частицы, т. е. пара спиновых волн, одна из которых обладает импульсом, описываемым числом , а другая - числом ; энергия системы равна сумме энергий этих двух объектов. Обе частицы действуют совершенно независимо. Вот и все, что в этом есть - и ничего больше.

Конечно, мы сделали некоторые приближения, но в данный момент мы не будем обсуждать точность нашего ответа. Вы, однако, чувствуете, что в кристаллах разумного размера с миллиардами атомов и, стало быть, с миллиардами слагаемых в гамильтониане большой ошибки от пренебрежения немногими слагаемыми не выйдет. Если бы, конечно, перевернутых спинов стало так много, что их плотность была бы заметной, то пришлось бы позаботиться и о поправках.

(Интересно, что в случае, когда перевернутых спинов только два, можно написать и точное решение. Но результат особой важности не представляет. Просто интересно, что в этом случае уравнения можно решить точно. Решение таково:

                      (13.21)

с энергией

и с волновыми числами  и , связанными с  и  формулами

.                (13.22)

В этом решении отражено и «взаимодействие» пары спинов. Оно описывает тот факт, что когда спины сближаются, возникает какая-то вероятность их рассеяния. Поведение спинов очень похоже на взаимодействие частиц. Но подробная теория их рассеяния выходит за пределы того, о чем мы здесь собрались говорить.)