Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 6. Рассеяние на нерегулярностях решеткиТеперь мы хотим рассмотреть одиночный электрон в неидеальном кристалле. Наш первоначальный анализ привел к выводу, что у идеальных кристаллов и проводимость идеальна, что электроны могут скользить по кристаллу, как по вакууму, без трения. Одной из самых важных причин, способных прекратить вечное движение электрона, является несовершенство кристалла, какая-то нерегулярность в нем. Допустим, что где-то в кристалле не хватает одного атома, или предположим, что кто-то поставил на место, предназначенное для какого-то атома, совсем не тот атом, какой положено, так что в этом месте все совсем не так, как в прочих местах. Скажем, другая энергия или другая амплитуда . Как тогда можно будет описать все происходящее?
Для определенности вернемся к одномерному случаю и допустим, что атом номер «нуль» - это атом «загрязнения», «примеси» и у него совсем не такая энергия , как у других атомов. Обозначим эту энергию . Что же происходит? Для электрона, который достиг атома «нуль», есть какая-то вероятность того, что он рассеется назад. Если волновой пакет, мчась по кристаллу, достигает места, где все немного иначе, то часть его будет продолжать лететь вперед, а другая отскочит назад. Анализировать такой случай, пользуясь волновым пакетом, очень трудно, потому что все меняется во времени. С решениями в виде установившихся состояний работать много легче. Мы обратимся поэтому к стационарным состояниям; мы увидим, что их можно составить из непрерывных волн, состоящих из двух частей - пробегающей и отраженной. В случае трех измерений мы бы назвали отраженную часть рассеянной волной, потому что она разбегалась бы во все стороны. Исходим из системы уравнений, похожей на (11.6), за одним исключением: уравнение при не похоже на остальные. Пятерка уравнений при и выглядит так: (11.28) Конечно, будут и другие уравнения при . Они будут выглядеть так же, как (11.6). Нам полагалось бы на самом деле для общности писать разные , в зависимости от того, прыгает ли электрон к атому «нуль» или же от атома «нуль», но главные черты того, что происходит, вы увидите уже из упрощенного примера, когда все равны. Уравнение (11.10) по-прежнему будет служить решением для всех уравнений, кроме уравнения для атома «нуль» (для него оно не годится). Нам нужно другое решение; соорудим его так. Уравнение (11.10) представляет волну, бегущую в положительном направлении . Волна, бегущая в отрицательном направлении , тоже подошла бы в качестве решения. Мы бы написали . Самое общее решение уравнения (11.6) представляло бы собой сочетание волны вперед и волны назад: . (11.29) Это решение представляет комплексную волну с амплитудой , бегущую в направлении , и волну с амплитудой , бегущую в направлении . Теперь бросим взгляд на систему уравнений нашей новой задачи: на (11.28) плюс такие же уравнения для остальных атомов. Уравнения, куда входят с , решаются формулой (11.29) при условии, что оказывается связанным с и постоянной решетки соотношением . (11.30) Физический смысл этого таков: «падающая» волна с амплитудой приближается к атому «нуль» (или «рассеивателю») слева, а «рассеянная» или «отраженная» волна с амплитудой бежит обратно, т. е. налево. Не теряя общности, можно положить амплитуду падающей волны равной единице. Тогда амплитуда будет, вообще говоря, комплексным числом. То же самое можно сказать и о решениях при . Коэффициенты могут стать иными, так что следовало бы писать для . (11.31) Здесь - амплитуда волны, бегущей направо, а - амплитуда волны, приходящей справа. Мы хотим рассмотреть такой физический случай, когда вначале волна бежит только слева, и за рассеивателем (или атомом загрязнения) имеется только «прошедшая» волна. Будем поэтому искать решение, в котором . Стало быть, мы попытаемся удовлетворить всем уравнениям для , кроме средней тройки в (11.28), с помощью следующих пробных решений: (11.32) Положение, о котором идет речь, иллюстрируется фиг. 11.6.
Фиг. 11.6. Волны в одномерной решетке с одним, «примесным» атомом в . Используя формулы (11.32) для и , можно из средней тройки уравнений (11.28) найти и два коэффициента и . Таким образом, мы найдем полное решение. Надо решить три уравнения (полагая ): (11.33) Вспомните, что (11.30) выражает через . Подставьте это значение в уравнения и учтите, что ; тогда из первого уравнения получится , (11.34) а из третьего , (11.35) что согласуется друг с другом только тогда, когда . (11.36) Это уравнение сообщает нам, что прошедшая волна - это просто исходная падающая волна (1) плюс добавочная волна , равная отраженной. Это не всегда так, но при рассеянии на одном только атоме оказывается, что это так. Если бы у вас была целая группа атомов примеси, то величина, добавляемая к волне, бегущей вперед, не обязательно вышла бы такой же, как у отраженной волны. Амплитуду отраженной волны мы можем получить из среднего из уравнений (11.33); окажется, что . (11.37) Мы получили полное решение для решетки с одним необычным атомом. Вас могло удивить, отчего это проходящая волна оказалась «выше», чем падавшая, если судить по уравнению (11.34). Но вспомните, что и - числа комплексные и что число частиц в волне (или, лучше сказать, вероятность обнаружить частицу) пропорционально квадрату модуля амплитуды. В действительности «сохранение числа электронов» будет выполнено лишь при условии . (11.38) Попробуйте показать, что в нашем решении так оно и есть.
|
1 |
Оглавление
|