§ 4. Электрон в трехмерной решетке
Еще
немного о том, как можно применить те же идеи, чтобы понять, что происходит с
электроном в трех измерениях. Результаты оказываются очень похожими. Пусть
имеется прямоугольная решетка атомов с расстояниями
,
,
в трех направлениях. (Если
вам больше по душе кубическая решетка, примите все расстояния равными друг
другу.) Предположим также, что амплитуда прыжка к соседу в направлении
есть
; амплитуда прыжка
в направлении
есть
, а
амплитуда прыжка в направлении
есть
. Как же описать базисные состояния?
Как и в одномерном случае, одно базисное состояние - это когда электрон
находится близ атома с координатами
,
,
, где
- одна из точек решетки. Если выбрать
начало координат в одном из атомов, то все эти точки придутся на
,
и
,
где
,
,
- три целых числа.
Вместо того чтобы ставить при
,
и
их номера, будем просто писать
,
,
, имея в виду, что
они принимают лишь такие значения, которые бывают у точек решетки. Итак,
базисное состояние изображается символом
, а амплитуда того, что электрон в
некотором состоянии
окажется в этом базисном состоянии,
есть
.
Как
и прежде, амплитуды
могут меняться во времени. При наших
предположениях гамильтоновы уравнения обязаны выглядеть следующим образом:
(11.22)
Хоть
это и выглядит громоздко, но вы сразу, конечно, поймете, откуда взялось каждое
слагаемое.
Опять
попробуем найти стационарное состояние, в котором все
меняются со временем
одинаково. И снова решение есть экспонента
. (11.23)
Если
вы подставите это в (11.22), то увидите, что оно вполне подойдет, если только энергия
будет связана с
,
и
следующим образом:
. (11.24)
Теперь
энергия зависит от трех волновых чисел
,
,
, которые, кстати, есть компоненты
трехмерного вектора
.
И
действительно, (11.23) можно переписать в векторных обозначениях:
. (11.25)
Амплитуда
меняется как комплексная плоская волна, которая движется в трехмерном
пространстве в направлении
с волновым числом
.
Энергия,
связываемая с этими стационарными состояниями, зависит от трех компонент
сложным образом,
подчиняясь уравнению (11.24). Характер изменения
зависит от относительных знаков и
величин
,
и
. Если вся эта
тройка положительна и если нас интересуют лишь маленькие
, то зависимость оказывается
сравнительно простой.
Разлагая
косинус, как и раньше [см. (11.16)], мы теперь придем к
. (11.26)
В
простой кубической решетке с расстоянием
между узлами следует ожидать, что и
, и
, и
будут все равны
друг другу (скажем, равны
), так что получилось бы
, (11.27)
или
.
А
это как раз совпадает с (11.16). Повторяя те же рассуждения, что и тогда, мы
пришли бы к заключению, что электронный пакет в трех измерениях (составленный
путем суперпозиции множества состояний с почти одинаковыми энергиями) также
движется на манер классической частицы, обладающей некоторой эффективной
массой.
В
кристалле не с кубической, а с более низкой симметрией (или даже в кубическом
кристалле, но таком, в котором состояние электрона около атома несимметрично)
три коэффициента
,
и
различны. Тогда
«эффективная масса» электрона, сосредоточенного в узкой области, зависит от
направления его движения. Может, например, оказаться, что у него разная инерция
при движении в направлении
и при движении в направлении
. (Детали такого
положения вещей иногда описываются с помощью «тензора эффективной массы».)