§ 4. Электрон в трехмерной решетке

Еще немного о том, как можно применить те же идеи, чтобы понять, что происходит с электроном в трех измерениях. Результаты оказываются очень похожими. Пусть имеется прямоугольная решетка атомов с расстояниями , ,  в трех направлениях. (Если вам больше по душе кубическая решетка, примите все расстояния равными друг другу.) Предположим также, что амплитуда прыжка к соседу в направлении  есть ; амплитуда прыжка в направлении  есть , а амплитуда прыжка в направлении  есть . Как же описать базисные состояния? Как и в одномерном случае, одно базисное состояние - это когда электрон находится близ атома с координатами , , , где  - одна из точек решетки. Если выбрать начало координат в одном из атомов, то все эти точки придутся на

,  и ,

где , ,  - три целых числа. Вместо того чтобы ставить при ,  и  их номера, будем просто писать , , , имея в виду, что они принимают лишь такие значения, которые бывают у точек решетки. Итак, базисное состояние изображается символом , а амплитуда того, что электрон в некотором состоянии  окажется в этом базисном состоянии, есть .

Как и прежде, амплитуды  могут меняться во времени. При наших предположениях гамильтоновы уравнения обязаны выглядеть следующим образом:

              (11.22)

Хоть это и выглядит громоздко, но вы сразу, конечно, поймете, откуда взялось каждое слагаемое.

Опять попробуем найти стационарное состояние, в котором все  меняются со временем одинаково. И снова решение есть экспонента

.                   (11.23)

Если вы подставите это в (11.22), то увидите, что оно вполне подойдет, если только энергия  будет связана с ,  и  следующим образом:

.                (11.24)

Теперь энергия зависит от трех волновых чисел , , , которые, кстати, есть компоненты трехмерного вектора .

И действительно, (11.23) можно переписать в векторных обозначениях:

.                    (11.25)

Амплитуда меняется как комплексная плоская волна, которая движется в трехмерном пространстве в направлении  с волновым числом .

Энергия, связываемая с этими стационарными состояниями, зависит от трех компонент  сложным образом, подчиняясь уравнению (11.24). Характер изменения  зависит от относительных знаков и величин ,  и . Если вся эта тройка положительна и если нас интересуют лишь маленькие , то зависимость оказывается сравнительно простой.

Разлагая косинус, как и раньше [см. (11.16)], мы теперь придем к

.                    (11.26)

В простой кубической решетке с расстоянием  между узлами следует ожидать, что и , и  , и  будут все равны друг другу (скажем, равны ), так что получилось бы

,                     (11.27)

или

.

А это как раз совпадает с (11.16). Повторяя те же рассуждения, что и тогда, мы пришли бы к заключению, что электронный пакет в трех измерениях (составленный путем суперпозиции множества состояний с почти одинаковыми энергиями) также движется на манер классической частицы, обладающей некоторой эффективной массой.

В кристалле не с кубической, а с более низкой симметрией (или даже в кубическом кристалле, но таком, в котором состояние электрона около атома несимметрично) три коэффициента ,  и  различны. Тогда «эффективная масса» электрона, сосредоточенного в узкой области, зависит от направления его движения. Может, например, оказаться, что у него разная инерция при движении в направлении  и при движении в направлении . (Детали такого положения вещей иногда описываются с помощью «тензора эффективной массы».)