§ 2. Уравнение непрерывности для вероятностей

Перехожу теперь ко второму пункту. Важную сторону уравнения Шредингера отдельной частицы составляет идея о том, что вероятность обнаружить частицу в каком-то месте определяется квадратом абсолютной величины волновой функции. Для квантовой механики характерно также то, что вероятность сохраняется локально (т. е. в каждом отдельном месте). Когда вероятность обнаружить электрон в таком-то месте убывает, а вероятность обнаружить его в каком-то другом месте возрастает (так что полная вероятность не меняется), то что-то в промежутке между этими местами должно было произойти. Иными словами, электрон обладает непрерывностью в том смысле, что если вероятность спадает в одном месте и возрастает в другом, то между этими местами должно что-то протекать. Так, если вы между ними поставите стенку, то это скажется на вероятностях и они станут не такими, как были. Следовательно, одно только сохранение вероятности не есть полная формулировка закона сохранения, все равно как одно только сохранение энергии не обладает такой глубиной и не представляет такой важности, как локальное сохранение энергии [см. гл. 27, § 1 (вып. 6)]. Если энергия исчезает, то этому должен соответствовать отток энергии от этого места. Вот и у вероятности хотелось бы обнаружить такой же «ток». Хотелось бы, чтобы было так: если где-нибудь переменится плотность вероятности (вероятность обнаружить что-то там такое в единице объема), то чтобы можно было считать, что вероятность откуда-то сюда притекла (или утекла отсюда куда-то еще). Такой ток был бы вектором, который можно было бы толковать следующим образом: его -компонента была бы чистой вероятностью (в секунду и на единицу объема) того, что частица пройдет в направлении  через плоскость, параллельную плоскости . Проход в направлении  считается положительным потоком, а проход в обратную сторону – отрицательным потоком.

Существует ли такой ток? Вы знаете, что плотность вероятности  выражается через волновую функцию

.                  (19.7)

И вот, я спрашиваю: существует ли такой ток , что

?              (19.8)

Если я продифференцирую (19.7) по времени, то получу два слагаемых

.                      (19.9)

Теперь для  возьмите уравнение Шредингера – уравнение (19.3); кроме того, комплексно его сопрягите, т. е. перемените знак при каждом , чтобы получить . У вас выйдет

                (19.10)

Члены с потенциальной энергией и многие другие члены взаимно уничтожатся. А то, что останется, оказывается, действительно можно записать в виде полной дивергенции. Все уравнение целиком эквивалентно уравнению

.                 (19.11)

Не так уж сложно, как кажется на первый взгляд. Это симметричная комбинация из , умноженного на некоторую операцию над , плюс , умноженное на комплексно сопряженную операцию над . Это просто некоторая величина плюс комплексно сопряженная ей величина, так что все вместе (как и положено быть) вещественно. Операция запоминается так: это попросту оператор импульса  минус . Ток из (19.8) я могу записать в виде

.                (19.12)

Тогда это и есть тот ток , который удовлетворяет уравнению (19.8).

Уравнение (19.8) показывает, что вероятность сохраняется локально. Если частица исчезает из одной области, то она не может оказаться в другой без того, чтобы что-то не протекло в промежутке между областями. Вообразите, что первая область окружена замкнутой поверхностью, которая проведена так далеко, что имеется нулевая вероятность обнаружить на ней электрон. Полная вероятность обнаружить электрон где-то внутри поверхности равна объемному интегралу от . Но, согласно теореме Гаусса, объемный интеграл от дивергенции  равняется поверхностному интегралу от . Если  на поверхности равно нулю, то (19.12) утверждает, что и  есть нуль; значит, полная вероятность отыскать частицу внутри поверхности не может измениться. Только тогда, когда часть вероятности достигает границы, какая-то ее часть может вытечь наружу. Мы вправо говорить, что она выбирается наружу только через поверхность – это и есть локальная сохраняемость.