§ 2. Средние энергии

До сих пор мы в основном напоминали вам о том, что вы уже знаете. А теперь перейдем к новому. Как бы вы подсчитали среднюю энергию системы, скажем, атома? Если атом находится в определенном состоянии с определенной энергией и вы эту энергию измеряете, то вы получите определенную энергию . Если вы начнете повторять измерения с каждым из множества атомов, которые отобраны так, чтобы быть всем в одинаковом состоянии, то все измерения дадут вам , и «среднее» изо всех ваших измерений тоже, конечно, окажется .

Но что случится, если вы проделаете свои измерения над состоянием , которое не является стационарным? Раз у системы нет определенной энергии, то одно измерение даст одну энергию, то же измерение над другим атомом в том же состоянии даст другую и т. д. Каким же окажется среднее всей серии измерений энергии?

На этот вопрос мы ответим, если возьмем проекцию состояния  на систему состояний с определенной энергией. Чтобы помнить, что это особый базис, будем обозначать эти состояния . Каждое из состояний  обладает определенной энергией . В этом представлении

.                     (18.10)

Когда вы проделываете измерение энергии и получаете некоторое число , вы тем самым обнаруживаете, что система была в состоянии . Но в каждом новом измерении вы можете получить новое число. Иногда вы получите , иногда , иногда  и т. д. Вероятность, что вы обнаружите энергию , равна попросту вероятности обнаружить систему в состоянии , т. е. квадрату модуля амплитуды . Вероятность обнаружить то или иное возможное значение энергии  есть

.                   (18.11)

Как же связать эти вероятности со средним значением всей последовательности измерений энергий? Вообразим, что мы получили ряд результатов измерений, например , , , , , , , , , , ,  и т. д., всего тысяча измерений. Сложим все энергии и разделим на 1000. Это и есть среднее. Можно сложение проделать и покороче. Посчитайте, сколько раз у вас вышло  (скажем, оно вышло  раз), сколько раз вышло  (скажем,  раз) и т. д. Ясно, что сумма всех энергий равна

.

Средняя энергия равна этой сумме, деленной на полное число измерений, т. е. на сумму всех , которую мы обозначим :

.                      (18.12)

Мы почти у цели. Под вероятностью какого-нибудь события мы понимаем как раз число случаев, когда ожидается наступление этого события, деленное на общее число испытаний. Отношение  должно (при больших ) мало отличаться от  - вероятности обнаружить состояние , хоть и не будет точно совпадать с  из-за статистических флуктуаций. Обозначим предсказываемую (или «ожидаемую») среднюю энергию ; тогда мы вправе сказать

.                     (18.13)

Те же рассуждения подойдут к измерениям каких угодно величин. Среднее значение измеряемой величины  должно равняться

,

где  - различные допустимые значения наблюдаемой величины, а  - вероятность получения этого значения.

Вернемся теперь к нашему квантовомеханическому состоянию . Его средняя энергия равна

.                   (18.14)

А теперь следите внимательно! Сначала перепишем эту сумму так:

.             (18.15)

Теперь будем рассматривать левое  как общий множитель. Вынесем его за знак суммы и напишем

.

Это выражение имеет вид , где  - некоторое «придуманное» состояние, определяемое равенством

.                      (18.16)

Иными словами, это то состояние, которое у вас получится, если вы возьмете каждое базисное состояние  в количестве .

Но вспомним теперь, что такое . Состояния  считаются стационарными, т. е. для каждого из них

.

А раз  - просто число, то правая часть совпадает с , а сумма в (18.16) - с

.

Теперь приходится просуммировать по  общеизвестную комбинацию, приводящую к единице:

.

Чудесно, уравнение (18.16) совпало с

.               (18.17)

Средняя энергия состояния  записывается, стало быть, в очень привлекательном виде

.                 (18.18)

Чтобы получить среднюю энергию, подействуйте на  оператором  и затем умножьте на . Очень простой результат.

Наша новая формула для средней энергии не только привлекательна, но и полезна. Теперь нам уже не надо ничего говорить об особой системе базисных состояний. И даже всех уровней энергии знать не нужно. При расчете достаточно выразить наше состояние через какую угодно совокупность базисных состояний, и, если мы знаем гамильтонову матрицу  для этой совокупности, мы уже сможем узнать среднюю энергию. Уравнение (18.18) говорит, что при любой совокупности базисных состояний  средняя энергия может быть вычислена из

,                  (18.19)

где амплитуды  как раз и есть элементы матрицы .

Проверим это на том частном примере, когда состояния  суть состояния с определенной энергией. Для них , так что  и

,

что вполне естественно.

Уравнение (18.19) можно, кстати, обобщить и на другие физические измерения, которые вы в состоянии выразить в виде оператора. Например, пусть  есть оператор -компоненты момента количества движения . Средняя -компонента для состояния  равна

.

Один из способов доказательства этой формулы - придумать такую задачу, в которой энергия пропорциональна моменту количества движения. Тогда все рассуждения просто повторятся.

Подытоживая, скажем, что если физически наблюдаемая величина  связана с соответствующим квантовомеханическим оператором , то среднее значение  в состоянии  дается формулой

.                  (18.20)

Под этим подразумевается

,                      (18.21)

где

.                (18.22)