§ 6. Момент количества движения

Для интереса рассмотрим еще одну операцию – операцию орбитального момента количества движения. В гл. 15 мы определили оператор  через  – оператор поворота на угол  вокруг оси . Рассмотрим сейчас систему, описываемую всего лишь одной-единственной волновой функцией , которая является функцией одних только координат и не учитывает того факта, что спин у электрона должен быть направлен либо вверх, либо вниз. Это значит, что мы собираемся пока пренебречь внутренним моментом количества движения и намерены думать только об орбитальной части. Чтобы подчеркнуть различие, обозначим орбитальный оператор  и определим его через оператор поворота на бесконечно малый угол  формулой

(напоминаем: это определение применимо только к состоянию , у которого нет внутренних спиновых переменных, а есть только зависимость от координат ). Если мы взглянем на состояние  из новой системы координат, повернутой вокруг оси  на небольшой угол , то увидим новое состояние:

.

Если мы решили описывать состояние  в координатном представлении, т. е. с помощью его волновой функции , то следует ожидать такого равенства:

.                (18.68)

Что же такое ? А вот что. Точка  в новой системе координат (на самом деле , , но мы убрали штрихи) раньше имела координаты  и  (фиг. 18.2).Поскольку амплитуда того, что электрон окажется в точке , не меняется от поворота системы координат, то можно писать

(напоминаем, что  – малый угол). Это означает, что

.                       (18.69)

Это и есть наш ответ. Обратите, однако, внимание, что это определение эквивалентно такому:

.                   (18.70)

Или, если вернуться к нашим квантовомеханическим операторам, можно написать

.                    (18.71)

Эту формулу легко запомнить, потому что она похожа на знакомую формулу классической механики: это -компонента векторного произведения

.                   (18.72)

Фиг. 18.2. Поворот осей вокруг оси  на малый угол .

Одна из забавных сторон манипуляций с операторами заключается в том, что многие классические уравнения переносятся в квантовомеханическую форму. А какие нет? Ведь должны же быть такие, которые не получаются, потому что если бы все повторялось, то в квантовой механике не было бы ничего отличного от классической, не было бы новой физики.

Вот вам уравнение, которое отличается. В классической физике

.

А что в квантовой механике?

Подсчитаем это в -представлении. Чтобы было видно, что мы делаем, приложим это к некоторой волновой функции . Пишем

или

.

Вспомним теперь, что производные действуют на всё, что справа. Получаем

.                   (18.73)

Ответ не нуль. Вся операция попросту равнозначна умножению на :

.                  (18.74)

Если бы постоянная Планка была равна нулю, то квантовые и классические результаты стали бы одинаковыми и не пришлось бы нам учить никакой квантовой механики!

Отметим, что если два каких-то оператора  и , взятые в сочетании

,

не дают нуля, то мы говорим, что «операторы не перестановочны», или «операторы не коммутируют». А уравнение наподобие (18.74) называется «перестановочным соотношением». Вы можете сами убедиться, что перестановочное соотношение для  и  (или коммутатор  и ) имеет вид

.

Существует еще одно очень важное перестановочное соотношение. Оно относится к моментам количества движения. Вид его таков:

.                        (18.75)

Если вы хотите приобрести некоторый опыт работы с операторами  и , попробуйте доказать эту формулу сами.

Интересно заметить, что операторы, которые не коммутируют, можно встретить и в классической физике. Мы с этим уже сталкивались, когда говорили о поворотах в пространстве. Если вы повернете что-нибудь, например книжку, сперва на 90° вокруг оси , а затем на 90° вокруг оси , то получится совсем не то, что было бы, если бы сначала вы повернули ее на 90° вокруг оси , а после на 90° вокруг оси . Именно это свойство пространства и ответственно за уравнение (18.75).