§ 3. Состояния, зависящие от времени

В этом параграфе мы хотим подробнее обсудить поведение состояний в одномерной решетке. Если для электрона амплитуда того, что он окажется в , равна , то вероятность найти его там будет . Для стационарных состояний, описанных уравнением (11.12), эта вероятность при всех  одна и та же и со временем не меняется. Как же отобразить такое положение вещей, которое грубо можно было бы описать, сказав, что электрон определенной энергии сосредоточен в определенной области, так что более вероятно найти его в каком-то одном месте, чем в другом? Этого можно добиться суперпозицией нескольких решений, похожих на (11.12), но со слегка различными значениями  и, следовательно, с различными энергиями. Тогда, по крайней мере при , амплитуда  вследствие интерференции различных слагаемых будет зависеть от местоположения, в точности так же, как получаются биения, когда имеется смесь волн разной длины [см. гл. 48 (вып. 4)]. Значит, можно составить такой «волновой пакет», что в нем будет преобладать волновое число , но будут присутствовать и другие волновые числа, близкие к .

В нашей суперпозиции стационарных состояний амплитуды с разными  будут представлять состояния со слегка различными энергиями и, стало быть, со слегка различными частотами; интерференционная картина суммарного  поэтому тоже будет меняться во времени, возникнет картина «биений». Как мы видели в гл. 48 (вып. 4), пики биений [места, где  наибольшие] с течением времени начнут двигаться по ; скорость их движения мы назвали «групповой». Мы нашли, что эта групповая скорость связана с зависимостью  от частоты формулой

;              (11.17)

все это в равной мере относится и к нашему случаю. Состояние электрона, имеющее вид «скопления», т. е. состояние, для которого  меняется в пространстве так, как у волнового пакета на фиг. 11.5, будет двигаться вдоль нашего одномерного «кристалла» с быстротой , равной , где . Подставляя (11.16) вместо , получаем

.               (11.18)

Иными словами, электроны движутся по кристаллу с быстротой, пропорциональной самому характерному . Тогда, согласно (11.16), энергия такого электрона пропорциональна квадрату его скорости, он ведет себя подобно классической частице. Пока мы рассматриваем все в столь крупном масштабе, что никаких тонкостей строения разглядеть не можем, наша квантовомеханическая картина приводит к тем же результатам, что и классическая физика.

Фиг. 11.5. Вещественная часть  как функция  для суперпозиции нескольких состояний с близкими энергиями.

В самом деле, если из (11.18) найти  и подставить его в (11.16), то получится

,                        (11.19)

где  - постоянная. Избыточная «энергия движения» электрона в пакете зависит от скорости в точности так же, как и у классической частицы. Постоянная , именуемая «эффективной массой», дается выражением

.                       (11.20)

Заметьте еще, что можно написать

.               (11.21)

Если мы решим назвать   «импульсом», то этот импульс будет связан с волновым числом  так же, как и у свободной частицы.

Не забывайте, что  ничего общего не имеет с реальной массой электрона. Она может быть совсем другой, хотя следует сказать, что в реальных кристаллах часто случается, что ее порядок величины оказывается примерно таким же (в 2 или, скажем, в 20 раз больше, чем масса электрона в пустом пространстве).

Мы только что с вами раскрыли поразительную тайну - как это электрон в кристалле (например, пущенный в германий добавочный электрон) может пронестись через весь кристалл, может лететь по нему совершенно свободно, даже если ему приходится сталкиваться со всеми атомами. Это получается оттого, что его амплитуды, перетекая с одного атома на другой, прокладывают ему путь через кристалл. Вот отчего твердое тело может проводить электричество.