§ 7. Изменение средних со временем

Теперь мы познакомим вас с еще одной интересной вещью: вы узнаете, как средние изменяются во времени. Представим на минуту, что у нас есть оператор , в который время явным образом не входит. Имеется в виду такой оператор, как  или . [А исключаются, скажем, такие вещи, как оператор внешнего потенциала , меняющийся во времени.] Теперь представим, что мы вычислили  в некотором состоянии , т. е.

.                  (18.76)

Как  будет зависеть от времени? Но почему оно вообще может зависеть от времени? Ну, во-первых, может случиться, что оператор сам явно зависит от времени, например, если он был связан с переменным потенциалом типа . Но даже если оператор от  не зависит, например оператор , то соответствующее среднее может зависеть от времени. Ведь среднее положение частицы может перемещаться. Но как может такое движение получиться из (18.76), если  от времени не зависит? Дело в том, что во времени может меняться само состояние . Для нестационарных состояний мы часто даже явно отмечали зависимость от времени, записывая их как . Теперь мы хотим показать, что скорость изменения  дается новым оператором, который мы обозначим . Напомним, что  это оператор, так что точка над  вовсе не означает дифференцирования по времени, а является просто способом записи нового оператора , определяемого равенством

.             (18.77)

Задачей нашей будет найти оператор .

Прежде всего, нам известно, что скорость изменения состояния дается гамильтонианом. В частности,

.                    (18.78)

Это всего-навсего абстрактная форма записи нашего первоначального определения гамильтониана

.                (18.79)

Если мы комплексно сопряжем это уравнение, оно будет эквивалентно

.                  (18.80)

Посмотрим теперь, что случится, если мы продифференцируем (18.76) по . Поскольку каждое  зависит от , мы имеем

.              (18.81)

Наконец, заменяя производные их выражениями (18.78) и (18.80), получаем

,

а это то же самое, что написать

.

Сравнивая это уравнение с (18.77), мы видим, что

.                (18.82)

Это и есть то интересное соотношение, которое мы обещали; и оно справедливо для любого оператора .

Кстати заметим, что, если бы оператор  сам зависел от времени, мы бы получили

.                   (18.83)

Проверим (18.82) на каком-либо примере, чтобы посмотреть, имеет ли оно вообще смысл. Какой, например, оператор соответствует ? Мы утверждаем, что это должно быть

.                 (18.84)

Что это такое? Один способ установить, что это такое – перейти в координатное представление и воспользоваться алгебраическим оператором . В этом представлении коммутатор равен

.

Если вы подействуете всем этим выражением на волновую функцию  и вычислите везде, где нужно, производные, вы в конце концов получите

.

Но это то же самое, что и

,

так что мы обнаруживаем, что

,              (18.85)

или что

.                      (18.86)

Прелестный результат. Он означает, что если среднее значение  меняется со временем, то перемещение центра тяжести равно среднему импульсу, деленному на массу . Точно как в классической механике.

Другой пример. Какова скорость изменения среднего импульса состояния? Правила игры прежние. Оператор этой скорости равен

.                (18.87)

Опять все можно подсчитать в -представлении. Напомним, что  обращается в , а это означает, что вам придется дифференцировать потенциальную энергию  (в ), но только во втором слагаемом. В конце концов остается только один член, и вы получаете

или

.                  (18.88)

Опять классический результат. Справа стоит сила, так что мы вывели закон Ньютона! Но помните – это законы для операторов, которые дают средние величины. Они не описывают в деталях, что происходит внутри атома.

Существенное отличие квантовой механики в том, что  не равно . Они отличаются на самую малость – на маленькое число . Но все поразительные сложности интерференции волн и тому подобного проистекают из того небольшого факта, что  не совсем нуль.

История этой идеи тоже интересна. С разницей в несколько месяцев в 1926 г. Гейзенберг и Шредингер независимо отыскали правильные законы, описывающие атомную механику. Шредингер изобрел свою волновую функцию  и нашел уравнение для нее, а Гейзенберг обнаружил, что природу можно было бы описывать и классическими уравнениями, лишь бы  было равно , чего можно было добиться, определив их с помощью особого вида матриц. На пашем теперешнем языке он пользовался энергетическим представлением и его матрицами. И то и другое – и матричная алгебра Гейзенберга и дифференциальное уравнение Шредингера – объясняли атом водорода. Несколькими месяцами позднее Шредингер смог показать, что обе теории эквивалентны – мы только что это видели. Но две разные математические формы квантовой механики были открыты независимо.