§ 4. Общее решение для водорода

В уравнении (17.35) мы записали волновые функции атома водорода в виде

.               (17.37)

Эти волновые функции должны быть решениями дифференциального уравнения (17.7). Посмотрим, что это означает. Подставим (17.37) в (17.7); получим

.         (17.38)

Помножим все на  и переставим члены; результат будет таков:

.            (17.39)

Левая часть этого уравнения зависит от  и , а от  не зависит. Какое бы значение  мы ни взяли, от этого левая часть не изменится. Значит, тоже должно быть выполнено и для правой части. Хотя в выражении в квадратных скобках там и сям попадаются разные , все выражение от  зависеть не может, иначе бы не получилось уравнение, которое годится для всех . Кроме того, как вы видите, эта скобка не зависит ни от , ни от . Она должна быть постоянным числом. Его величина имеет право зато зависеть от значения  того состояния, которое мы изучаем, поскольку этому состоянию принадлежит функция ; поэтому постоянное число мы обозначим . Уравнение (17.35), стало быть, равнозначно двум уравнениям

,                 (17.40)

.                     (17.41)

Теперь взглянем на то, что мы сделали. Для каждого состояния, описываемого числами  и , мы знаем функции ; тогда из уравнения (17.40) можно определить . Затем, подставив  в (17.41), мы получим дифференциальное уравнение для функции . Если мы его сможем решить, то все множители, входящие в (17.37), нам станут известны, и мы узнаем .

Чему же равно ? Ну, во-первых, заметьте, что при всех  (входящих в данное ) оно должно быть одним и тем же, поэтому мы вправе выбрать в  то , какое нам нравится, и вставить его в (17.40). Пожалуй, проще всего взять . Из уравнения (16.24)

.                       (17.42)

Матричный элемент  тоже совсем прост:

,              (17.43)

где  - некоторое число. Объединяя их, получаем

.                     (17.44)

Подстановка этой функции в (17.40) даст

.              (17.45)

Теперь, когда мы определили , уравнение (17.41) даст нам радиальную функцию . Перед нами обычное уравнение Шредингера, у которого угловая часть заменена ее эквивалентом . Перепишем (17.41) в той форме, в какой мы писали уравнение (17.8):

.               (17.46)

У потенциальной энергии появилась какая-то таинственная добавка. Хотя она появилась на свет после длинной серии математических шагов, тем не менее у нее простое физическое происхождение. Мы беремся рассказать о ее происхождении при помощи полуклассических аргументов. После этого она уже не покажется вам такой таинственной.

Представим классическую частицу, вращающуюся вокруг некоторого силового центра. Полная энергия сохраняется и является суммой потенциальной и кинетической энергий

.

В общем случае  разлагается на радиальную компоненту  и на касательную компоненту , т. е.

.

Момент количества движения  тоже сохраняется; пусть он равняется . Тогда можно написать

, или ,

т. е. энергия равна

.

Если бы момента количества движения не было, у нас осталось бы только два первых члена. Добавление момента количества движения  изменяет энергию как раз так, как если бы к потенциальной энергии добавился член . Но он почти точно совпадает с добавкой (17.46). Единственная разница в том, что вместо ожидаемого числителя  (этого можно было бы ожидать) появляется комбинация . Но мы еще раньше видели [например, в гл. 34, § 7 (вып. 7)], что это обычная замена, к которой всегда приходится прибегать, если хотят, чтобы квазиклассические рассуждения совпали с правильным квантовомеханическим расчетом. Поэтому новый член можно понимать как своего рода «потенциал», определяющий «центробежную силу» и возникающий в уравнениях радиального движения вращающейся системы [см. гл. 12, § 5 (вып. 1)].

Теперь мы уже можем решить уравнение (17.46) относительно . Оно очень похоже па (17.8), так что прибегнем к той же технике. Все повторяется вплоть до уравнения (17.19), в котором появится добавочный член

.               (17.47)

Его можно записать еще и так:

.             (17.48)

(Мы выделили первый член, а затем текущий индекс  сдвинули на единицу.) Вместо (17.20) появится

.              (17 49)

Поскольку член с  только один, то он должен обратиться в нуль. Коэффициент  должен быть равен нулю (если только  не равно нулю, но тогда мы приходим к нашему прежнему решению). А когда все квадратные скобки при любых  обратятся в нуль, то и все следующие члены станут равны нулю. Из-за этого условие (17.21) переходит в

.               (17.50)

Это единственное существенное видоизменение по сравнению со сферически симметричным случаем.

Как и раньше, ряд должен оборваться, если мы хотим, чтобы решения представляли связанные электроны. Если , то ряд оборвется на . Условие на  получается таким же:  должно быть равно , где  - целое число. Однако (17.50) приводит и к новому ограничению. Индекс  не может быть равен , в противном случае знаменатель обратится в нуль, а  - в бесконечность. Иначе говоря, поскольку , то (17.50) подразумевает, что все последовательные  обращаются в нуль, пока мы не придем к , которое может быть и не нулем. Это означает, что  должно начинаться с  и кончаться на .

Окончательный итог таков: при любом  имеется набор возможных решений, которые мы обозначим , где . Каждое решение обладает энергией

.                 (17.51)

Волновая функция состояния с такой энергией и с угловыми квантовыми числами  и  имеет вид

,                (17.52)

где

.               (17.53)

Коэффициенты  получаются из (17.50). Наконец-то в наших руках полное описание состояний атома водорода.