4.3. АЛГЕБРА ЛОГИКИ
Алгебра логики является аналогом обычной алгебры. Ее особенность заключается в том, что аргументы и функции принимают только два значения: 0 и 1. Алгебра логики выполняет следующие функции:
1) позволяет математически записывать логические сообщения и связи между ними, что необходимо для определения порядка и принципа работы устройства;
2) позволяет реализовать логические уравнения в виде логических схем, т. е. переходить от аналитического описания процесса к его схемной реализации в виде логического автомата;
3) позволяет проводить реализацию логических автоматов в оптимальном виде (минимальное число элементов, их однородность, надежность функционирования и т. д.).
Логические операции могут быть интерпретированы графически с помощью диаграмм Венна (рис. 4.9). Все поле диаграммы Венна соответствует логической единице ("всегда"), нулевая площадь — логическому нулю («никогда»). Логические функции изображаются в виде кругов (рис. 4.9, а).
Диаграммы Венна позволяют наглядно изобразить логические операции. На рис. 4.9, а заштрихована суммарная площадь переменных А, В. Их суммарная площадь соответствует А+В, т. е. является интерпретацией операции ИЛИ.
Рис. 4.9. Диаграммы Венна
На диаграмме рис. 4.9, б заштрихована площадь А, т. е. графически изображена операция НЕ. Общая площадь фигур А и В заштрихована на рис. 4.9, в и соответствует логическому произведению АВ (операция И).
Порядок действий в алгебре логики следующий: сначала выполняется операция НЕ, затем И и наконец ИЛИ. Как и в обычной алгебре, для изменения порядка действий используются скобки. Не следует забывать, что операций вычитания и деления в алгебре логики нет. Справедливы переместительный и сочетательный законы:
Для осуществления операций над логическими выражениями пользуются рядом тождеств:
Следующие тождества называются формулами де Моргана:
Все тождества могут быть легко доказаны с помощью диаграмм Венна.
Например, на диаграмме рис. 4.9, а заштрихована площадь, соответствующая левой и правой частям тождества (11), на рис. 4.9, г заштрихована площадь, соответствующая левой и правой частям формулы де Моргана (12), а рис. 4.9, д интерпретирует формулу де Моргана (13).
Тождества алгебры логики полезно запомнить. Используя тождества, можно упростить логические уравнения, при этом сводится к минимуму число логических элементов, необходимых для реализации логической функции.
