5. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Пред.

След.

Вернуться к книге

Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

5. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена

Приведем примеры на разложение в степенные ряды некоторых элементарных функций.

1. Разложение в степенной ряд функции . Находим производные: . При имеем:

Напишем ряд Маклорена для функции воспользовавшись формулой (82):

Определим область сходимости этого ряда, применяя признак Даламбера:

Следовательно, для любого , т. е. ряд (91) сходится абсолютно на всей числовой оси.

Для того чтобы установить, что этот ряд имеет своей суммой функцию , покажем, что для любого стремится к нулю при . Напишем остаточный член ряда Маклорена.

Так как то по формуле имеет вид

где с заключено между 0 и Функция монотонно возрастает, поэтому так как Таким образом,

Мы только что видели, что ряд с общим членом сходится на всей числовой оси. Поэтому в силу необходимого признака сходимости при любом Но тогда и также стремится к нулю при Следовательно, на основании неравенства Для любого значения и сумма ряда (91) совпадает с функцией е.

Итак, на всей числовой оси имеет место разложение

2. Разложение в степенной ряд функции . Находим производные:

§ 2, п. 1, формула

При имеем:

Принимая во внимание формулу (82), получим для функции следующий ряд Маклорена:

Как легко проверить, полученный ряд сходится на всей числовой оси. Исследуем его остаточный член где с содержится между 0 и . Так как , то Принимая во внимание, что (см. предыдущий пример), заключаем, что

Поэтому для функции на всей числовой прямой имеет место разложение

3. Разложение в степенной ряд функции Разложение функции можно было бы получить приемом, аналогичным тому, с помощью которого было получено разложение в ряд функции . Однако проще получить разложение функции , если почленно продифференцировать разложение :

Следовательно,

Это разложение справедливо на всей числовой оси.

4. Биномиальный ряд. Разложим по степеням функцию где — любое действительное число, отличное от нуля.

Дифференцируя, имеем:

При

Подставляя в формулу (82), получим ряд Маклорена для функции

Этот ряд называется биномиальным. Найдем его интервал сходимости. Применяя признак Даламбера, получим

Мы видим, что ряд сходится при т. е. в интервале — Можно показать, что и в данном случае остаточный член для при стремится к нулю. Однако в связи со сложностью этого доказательства мы его опускаем.

Итак, в интервале имеет место разложение

При если только не является натуральным числом, ряд расходится. На границах интервала сходимости ряд будет сходиться или расходиться в зависимости от конкретных значений . Если — натуральное число, то начиная с все коэффициенты обращаются в нуль, и получаем многочлен, называемый биномом Ньютона (см. в сноске на стр. 184 формулу бинома Ньютона, в которой следует положить

Приведем несколько примеров биномиальных рядов для различных значений

а) . Здесь Применяя формулу (96), получим

или, после упрощений,

Это разложение имеет место во всяком случае для Более подробные исследования показывают, что оно справедливо и при и при (см. сноску.)

б) . Здесь . По формуле (96) получим разложение

справедливое для . Можно показать, что разложение (98) справедливо и для (см. сноску.)

в) . Здесь Применяя формулу (96), получим после упрощений

5. Разложение в степенной ряд функции При функция не определена, поэтому ее нельзя разложить по степеням т. е. в ряд Маклорена. Разложим функцию например, по степеням

Находим производные:

При получим

Применяя формулу (81), получим ряд Тейлора для функции

или, после сокращений,

Применяя признак Даламбера и исследуя ряд на концах, найдем, что он сходится для всех значений удовлетворяющих неравенствам . Можно показать, что для всех значений принадлежащих области сходимости, . Поэтому для имеет место следующее разложение:

Разложение функций в степенной ряд по формулам (81) и (82) часто связано с громоздкими вычислениями при нахождении производных и исследовании остаточного члена. Покажем некоторые приемы, позволяющие при разложении функции в степенной ряд, избежать этих трудностей. С одним из таких приемов, основанным на возможности почленного дифференцирования степенного ряда в интервале его сходимости, мы познакомились при разложении функции .

Применение формулы суммы геометрической прогрессии. Рассмотрим функцию Легко видеть, что эта функция является суммой геометрической прогрессии с первым членом, равным единице, и со знаменателем Поэтому

Это разложение имеет место для Заметим, что функцию можно записать в виде и, следовательно, ряд (99) является биномиальным и его можно было бы получить по формуле (96) при

Метод подстановки. Сущность этого метода ясна из следующих примеров.

Пример 1. Разложить в степенной ряд функцию Решение. Положим . Тогда . Напишем разложение функции применив формулу (93):

Это разложение имеет место для всех значений t. В частности, при получим разложение

справедливое для всех значений

Пример 2. Разложить по степеням функцию

Решение. Полагаем Тогда Воспользовавшись формулой (98), получим разложение

справедливое для интервала

Подставив в это разложение вместо t, получим разложение, годное для всех значений из интервала

Пример 3. Разложить по степеням функцию

Решение. Полагая получим . По формуле (99)

Подставив в это разложение вместо t, получим

справедливое для интервала

Разложение в степенной ряд методом интегрирования. Сущность метода заключается в следующем. Допустим, что известно разложение в степенной ряд для производной от функции . Тогда, интегрируя ряд почленно, получим разложение в ряд функции Пример 4. Разложить по степеням функцию .