44. Ортогональные матрицы.

Квадратная матрица называется ортогональной, если соответствующее линейное преобразование оставляет инвариантной сумму квадратов переменных, то есть Соотношение

дает

то есть транспонированная ортогональная матрица равна своей обратной.

Если ортогональная матрица имеет вещественные элементы, она унитарна. Приведение, указанное в предыдущем параграфе, дает в рассматриваемом случае векторов комплексных, если соответствующие собственные значения комплексны, вещественных при вещественных собственных значениях (равных тогда кроме того, сумма квадратов модулей составляющих каждого вектора равна 1. Выберем один из этих векторов, например пусть это — комплексный вектор

причем вещественны. Нетрудно видеть, что определяет изотропное направление в пространстве, то есть — единичные взаимно перпендикулярные векторы, причем

Матрица О оставляет инвариантной плоскость, ортогональную к , причем она преобразует векторы этой плоскости ортогональным преобразованием. Таким образом, можно найти два единичных вектора ортогональных между собой эти векторы преобразуются аналогичным образом. Собственным значениям матрицы О соответствуют векторы, которые при ортогональном преобразовании или инвариантны, или только меняют знак.

В результате мы видим, что при помощи некоторой ортогональной матрицы С можно матрицу О преобразовать к виду, аналогичному следующему:

Определитель такой матрицы равен матрица называется прямой ортогональной, если ее определитель равен +1.