§ 7. Характеристические числа и собственные векторы линейного оператора
При исследовании
структуры линейного оператора 
в 
большую роль играют векторы 
, для которых
. (53)
Такие векторы
называются собственными векторами, а соответствующие им числа 
—характеристическими
или собственными числами оператора (матрицы ).
Для нахождения
характеристических чисел и собственных векторов оператора выберем произвольно базис 
в . Пусть 
и 
— матрица,
отвечающая оператору в базисе . Тогда, приравнивая между
собой соответственные координаты векторов, стоящих в левой и правой частях
равенства (53), получим систему скалярных уравнений
(54)
которую можно записать и так:
(55)
Так как искомый
вектор не должен быть равен нулю, то среди его координат 
по крайней мере одна
координата должна быть отлична от нуля.
Для того чтобы
система линейных однородных уравнении (55) имела ненулевое решение, необходимо
и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю:
. (56)
Уравнение (56)
представляет собой алгебраическое уравнение 
-й степени относительно . Коэффициенты
этого уравнения принадлежат тому же числовому полю, что и элементы матрицы т. е. полю 
.
Уравнение (56)
часто встречается в различных проблемах геометрии, механики, астрономии, физики
и носит название характеристического уравнения или векового
уравнения матрицы (левую часть этого уравнения называют
характеристическим многочленом).
Таким образом,
каждое характеристическое число линейного оператора является корнем
характеристического уравнения (56). И наоборот, если некоторое число является корнем
уравнения (56), то при этом значении система (55) и, следовательно, (54)
имеет ненулевое решение т. е. этому числу отвечает собственный вектор
оператора
м.
Из сказанного
следует, что любой линейный оператор в имеет не более чем различных
характеристических чисел.
Если есть поле всех
комплексных чисел, то любой линейный оператор в всегда имеет по крайней мере один
собственный вектор в и соответствующее этому собственному
вектору характеристическое число . Это следует из основной теоремы
алгебры, согласно которой алгебраическое уравнение (56) в поле комплексных
чисел всегда имеет по крайней мере один корень.
Напишем
уравнение (56) в развернутом виде
(57)
здесь, как
нетрудно видеть,
, 
(58)
и вообще 
равно сумме
главных миноров 
-го
порядка матрицы (
). В частности, 
.
Обозначим через 
матрицу, соответствующую
тому же оператору в другом базисе. Матрица подобна матрице :
.
Отсюда
и,
следовательно,
. (59)
Таким образом,
подобные матрицы и
имеют
один и тот же характеристический многочлен. Этот многочлен иногда называют
характеристическим многочленом оператора и обозначают через 
.
Если 
— собственные
векторы оператора , соответствующие одному и тому же
характеристическому числу 
— произвольные числа из , то вектор 
равен нулю, либо
также является собственным вектором оператора при том же числе . Действительно,
из
, 
, 
, …
следует:
.
Поэтому линейно
независимые собственные векторы, отвечающие одному и тому же
характеристическому числу образуют базис некоторого
«собственного» подпространства, каждый вектор которого есть собственный вектор
при том же .
В частности, каждый собственный вектор порождает одномерное собственное
подпространство, «собственное направление».
Однако, если
собственные векторы операторсоответствуют различным
характеристическим числам, то линейная комбинация этих собственных векторов,
вообще говоря, не будет собственным вектором оператора .
Значение
собственных векторов и характеристических чисел при исследовании линейных
операторов будет проиллюстрировано в следующем параграфе на примере операторов
простой структуры.
