3.5. Факторизация ДПХ дня произвольных множителей

Пусть Тогда матрицу можно представить в следующей послойно-кронекеровской форме [5]:

Представление (3,30) непосредственно следует из тригонометрического тождества (2.55). Используя теорему 1.3, матрицу можно переписать в виде

Представим и в позиционной системе по основанию

Тогда где

Поскольку где то матрица приводится к виду

где определено в (2.57).

Матрица с учетом теоремы 1.3 запишется в виде

Как и в случае (3.2), (3.31) можно далее упростить, если поменять знаки послойной и прямой сумм. При этом необходимо ввести матрицу иифроинверсной перестановки тогда

Используя тождество можно факторизовать в виде

Окончательно выражение для с учетом соотношения (2.60) примет вид

Аналогично (3.33) факторизуется матрица

где определена в (2.57).

Согласно (2.58) и тогда отсюда после несложных группировок получаем окончательное выражение для

где матрица весовых коэффициентов определяется выражением

Как следует из (3.35), факторизация аналогична структуре факторизации за исключением формы матрицы весовых коэффициентов которая имеет крестообразную структуру в отличие от диагональной структуры в (3.3).

Для как и можно определить обобщенную форму факторизации, получаемой при записи номеров столбцов и строк соответственно в обобщенной прямой и цифроинверсной системе счисления. Приведем без вывода такое обобщенное выражение

где перестановки и определены согласно

выражение для аналогично с учетом, что

Из (3.35) непосредственно следует факторизация в случае разложения на множителей

где матрицы