2.2. Определение многомерного ДПФ

Пара ДПФ на прямоугольной многомерной решетке определяется в виде

Так как ядра в (2.12) и (2.13) сепарабельны, т.е.

то для многомерного ДПФ непосредственно возможен так называемый построчно-столбцовый (покординатный) метод вычисления

где одномерные берутся координатам матриц промежуточных данных.

Из (2.14) можно получить другую интерпретацию многомерного ДПФ, для этого необходимо представить матрицы в виде векторов-столбцов размерностью т.е.

(аналогично определяется вектор ).

В показано, что при таком упорядочении входных и выходных данных многомерное (или (2.13)) может быть представлено в виде

Таким образом, матрица многомерного ДПФ может быть определена через кронекеровское произведение матриц одномерных ДПФ.

С помощью (2.16) удобно рассматривать обобщение свойств одномерного ДПФ, рассмотренных в предыдущем разделе, на многомерный случай. Обозначим оператор многомерного ДПФ размерностью через -

1. Цикличность

(аналогично

2. Соотношение между прямым и обратным многомерным ДПФ

где

3. Сдвиг сигнала в исходном пространстве

где циклическии сдвиг отсчетов сигнала влево по каждой координате на отсчетов аналогично циклическии сдвиг вправо,

4. Сдвиг сигнала в спектральном пространстве

5. Теорема о перестаноъках

где

6. Равенство Парсеваля

7. Свойство комплексной сопряженности

8. Теорема циклической счертки