8. АЛГОРИТМЫ БПФ, ОРИЕНТИРОВАННЫЕ НА ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Часто на практике требуется цифровая обработка данных, имеющих вещественную структуру. В этом случае многие алгоритмы обработки, в том числе и БПФ, ориентированные на комплексные входные данные, являются структурно избыточными.

В частности, спектр вещественного входного сигнала обладает свойством комплексной сопряженности, т.е.

и, следовательно, отсчетов спектра можно не вычислять.

Исследованию методов построения алгоритмов БПФ, использующих свойство (8.1) для вещественных входных сигналов, посвящено немало работ.

Наиболее простыми методами устранения структурной избыточности в этом случае являются.

1. Метод спаренного ДПФ [1,2]:

где — знак комплексного сопряжения.

2. Уменьшение длины преобразования [2]:

Дальнейшие исследования алгоритмов БПФ данного класса сводятся к построению самих структур алгоритмов, в которых реализуется свойство (8.1) (безызбыточные структуры). Этим вопросам был посвящен ряд ранних работ исследующих возможности алгоритмов БПФ для вещественных входных сигналов (БПФд) для размерностей по основаниям

В более поздних работах у авторов возникает стремление обобщить теорию алгоритмов класса БПФд. Например, в [6] авторы используют операцию нелинейной бабочки и на основе этого приема строят ряд алгоритмов БПФд по основанию два. для построения алгоритмов БПФд используется более мощный метод полиномиальных преобразований, недостатком которого является сложность синтеза алгоритмов и некоторая нерегулярность полученных структур. авторы используют не менее мощный метод матричной факторизации, однако ограничиваются факторизацией по основанию два.

Таким образом, к настоящему времени актуальным остается вопрос создания единого метода синтеза алгоритмов класса БПФд.

Ниже будет показано, что использование метода матричной факторизации и свойства (8.1) позволяет единым подходом синтезировать безубыточные алгоритмы БПФд, требующие более чем в 2 раза меньше арифметических операций по сравнению с алгоритмами БПФ, ориентированными на комплексный входной сигнал.

Для того чтобы разделить понятие комплексного и вещественного ДПФ, введем следующие обозначения: матрица вещественного — матрица комплексного ДПФ.