2.2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНОМ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ СТЕРЖНЕ С «МАГНИТНЫМИ» БОКОВЫМИ СТЕНКАМИ

При анализе воспользуемся обобщенной цилиндрической системой координат (рис. 10). Ее криволинейные координаты лежат в плоскости, перпендикулярной продольной оси z.

Дмплитуды векторов поля в образце в общем случае зависят от поперечных координат а фазы — от продольной координаты Пренебрегая потерями, векторы поля можно представить в виде

где — продольное волновое число.

Рис. 10. Анизотропный диэлектрический стержень в обобщенной цилиндрической системе координат.

Подставив (2.5) в уравнения Макс. велла и разложив векторы по ортам обобщенно-цилиндрической системы координат, получим

(см. скан)

где коэффициенты Лямэ; составляющие диагонального тензора

V Пользуясь уравнениями (2.6) — (2.11), выразим поперечные Компоненты поля через продольны

(см. скан)

где

(см. скан)

Подставляя (2.13)-(2.16) в уравнения (2.8) и (2.11), получим

(см. скан)

Как видно, поперечные компоненты поля могут существовать при или при первом случае волны называются электрическими, во втором — магтными. Полагая в (2.17) и (2.18), имеем

(см. скан)

Аналогично, положив и (2.18), получим

Таким образом, чистые и -типы волн могут существовать в случаях, когда т. е. [34]. Ограничимся в дальнейшем этим случаем анизотропии, когда в поперечном сечении образец можно рассматривать как изотропный с диэлектрической проницаемости а вдоль оси он имеет диэлектрическую проницаемость

Уравнения (2.19) и (2.20) характеризуют волновой характер распространения электромагнитной энергии в диэлектрическом образце. При этом определение структуры поля сводится к интегрированию этих уравнений. Постоянные интегрирования определяются граничными условиями на боковых стенках диэлектрического образца.

Рассмотрим вопрос о Я- и -типах волн в диэлектрическом образце с «магнитными» боковыми стенками отдельно для прямоугольного и цилиндрического стержней.

При исследовании прямоугольного диэлектрического образца исйользуем декартову систему координат. Обозначим боковые стенки образца буквами и расположим оси координат, как показано на рис. 11. Волновое уравнение (2.19) для продольной составляющей поля магнитных волн после перехода к новой системе, в которой

имеет вид

где поперечное волновое число, которое связано с продольным волновым числом соотношением Решая уравнение (2.24) методом разделения переменных аналогично [43] при граничных условиях (2.3), можно получить выражения Для составляющих электромагнитного поля нечетных -волн диэлектрического стержня

где поперечные Еолновые числа; целые числа; постоянная, определяющая амлитуду поля.

Рис. 11. Прямоугольный диэлектрический стержень.

Рис. 12. Цилиндрический диэлектрический стержень.

В этих и последующих уравнениях для составляющих поля в стержне опущен множитель характеризующий волну, распространяющуюся в направлении с фазовой постоянной, равной

Уравнение (2.21) для продольной составляющей поля электрических волн с учетом (2.23) имеет вид

где поперечное волновое число, которое отличается от поперечного волнового числа -волн из-за анизотропии диэлектрического стержня Решение этого уравнения при граничных условиях (2.3) приводит к выражениям для составляющих электромагнитного поля четных -волн анизотропного диэлектрического стержня

здесь амплитуда поля.

При исследовании цилиндрического диэлектрического образца удобно использовать цилиндрическую систему координат. Обозначим диаметр стержня через и расположим оси координат, как показано на рис. 12.

Уравнение для продольной составляющей поля (2.19) магнитных волн в цилиндрической системе координат с учетом того, что

приводится к виду

где поперечное волновое число, как и раньше, связано с продольным волновым числом соотношением

Решение уравнения (2.29) аналогично [44] при граничных условиях (2.3) с последующим использованием (2.13) — (2.16) приводит к выражениям для составляющих электромагнитного поля -волн цилиндрического стержня

где функция Бесселя порядка, а поперечное волновое число определяется соотношением корни уравнения сочетание определяет тип -поля в цилиндрическом стержне.

Уравнение (2.21) для продольной составляющей поля электрических волн в цилиндрической системе координат имеет вид

где

Из решения этого уравнения аналогично находятся составляющие электромагнитного поля цилиндрического стержня

где поперечное волновое число корни уравнения сочетание определяет тип -волн в стержне.