Глава четвертая. СВЯЗЬ ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ РЕЗОНАТОРОВ С ЛИНИЯМИ ПЕРЕДАЧИ СВЧ

4.1. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ СВЯЗИ

В предыдущей главе получены соотношения для характеристик линий передачи СВЧ с твердотельными резонаторами. Представлены они через коэффициенты связи резонатора с линией передачи СВЧ и через обобщенную расстройку резонатора. Для использования общих соотношений в конкретных случаях необходимо рассчитать коэффициенты связи. Расчет их и результаты исследования особенностей связи резонаторов с наиболее часто применяемыми линиями передачи рассматриваются в настоящей главе.

При вычислении коэффициентов связи учитывается, что размеры резонаторов много меньше длины электромагнитной волны и размеров линии передачи. Это позволяет воспользоваться эквивалентным представлением резонатора в виде диполя, момент которого вычислен выше для ферритового и диэлектрического резонатора. Таким образом, расчет коэффициентов связи сводится к вычислению мощности, поглощаемой и переизлучаемой резонатором, эквивалентный диполь которого известен.

Основными упрощающими допущениями, при которых вычисляется связь резонатора с согласованной линией передачи, являются:

1. Не учитываются нелинейные эффекты из-за нагрева резонатора поглощаемой мощностью, а в случае ферритового резонатора также и нелинейные эффекты из-за параметрического возбуждения спиновых волн.

2. Предполагается, что резонатор размещен на достаточном удалении от металлических стенок линии передачи с тем, чтобы не учитывать влияние последних на параметры и ближние поля резонатора.

Рассчитаем коэффициенты связи резонатора с согласованной линией передачи, поперечное сечение которой не изменяется вдоль продольной координаты z линии передачи. При вычислениях положим, что связь резонатора с линией передачи осуществляется только через один тип или ТМ-волны.

Мощность, переносимая волной, переизлучаемой диполем, определяется формулой

где амплитуды поперечных составляющих волны, переизлучаемой диполем. Эти составляющие можно записать в виде

Здесь а — обобщенный индекс, объединяющий волны типов ТЕ и ТМ одним значком: где относится к волнам к волнам — амплитудные функции, а собственные поперечные векторные функции линии передачи, которые для волн различных типов выражаются через собственные скалярные функции и следующим образом: для волн типа ТЕ

для волн типа ТМ

где собственное значение для линии передачи с рассматриваемым типом волны; единичный вектор.

Собственные скалярные функции (иначе их называют мембранными функциями) определяются из уравнения Гельмгольца

при следующих граничных условиях на контуре поперечного сечения линии передачи:

где производная по нормали к контуру поперечного сечения.

Мембранные функции должны подчиняться условию ортонормировки

где символ Кронекера при при Подставим электрическую и магнитную составляющие переизлученной волны (4.2) в формулу (4.1)

Амплитудные функции вынесены из-под интеграла, так как они зависят только от продольной координаты

Вычислим интеграл в выражении (4.8) для волн типа ТЕ. Используя выражения (4.3), запишем

В соответствии с формулой двойного векторного произведения

где учтено, что векторы ортогональны и их скалярное произведение равно нулю.

С учетом выражений (4.3), (4.10) интеграл (4.9) записывается следующим образом:

Для вычисления интеграла в правой части выражения (4.11) обратимся к уравнению Гельмгольца (4.5), умножив его на и проинтегрируем по сечению линии передачи

где учтено условие ортонормировки (4.7). Интеграл в последнем выражении преобразуем в соответствии с теоремой Грина

В силу граничных условий (4.6) контурный интеграл в выражении (4.13) равен нулю; тогда, сравнивая (4.12) и (4.13), запишем

Подставляя (4.14) в выражение (4.11), получим

С учетом равенства (4.15) выражение для мощности, переносимой по линии передачи переизлученной волной типа имеет вид

Для волн типа выполнив аналогичные расчеты, можно также показать, что

В результате, обобщенное выражение для переизлученной мощности имеет вид

где волновое сопротивление линии передачи. Таким образом, задача вычисления переизлученной мощности сводится к вычислению амплитудных функций переизлученных волн.

Для амплитудных функций волн, переизлученных магнитным диполем в направлении к генератору (индекс 1) и в направлении к нагрузке (индекс 2), справедливы следующие выражения (для упрощения записи обобщенный индекс у амплитудных функций опущен) [91]:

где дипольный момент; обобщенная собственная магнитная функция волновода, включающая поперечную и продольную векторные функции

Если потери в стенках линии передачи и в среде, заполняющей линию, малы, то постоянная распространения у равна

где продольное волновое число, а длина волны в линии передачи. Тогда

Собственная магнитная функция (4.21) представляется через мембранные функции линии передачи следующим образом: для волн типа ТЕ

для волн типа ТМ

Подставив выражения (4.19) в формулу (4.18) для переизлучаемой мощности, получим

Для вычисления коэффициентов связи необходимо также определить мощность тепловых потерь в резонаторе. Используя известное выражение для среднего во времени значения мощности потерь в единице объема среды [6] с учетом выражения для дипольного момента резонатора, можно записать соотношение для рассеиваемой мощности

Таким образом, общее выражение для коэффициентов связи резонатора с согласованной линией передачи имеет вид

При расчете коэффициентов связи можно также пользоваться [93] ненормированными собственными векторными функциями, для которых не выполняются условия нормировки (4.15), (4.17). В этом случае в формуле для коэффициентов связи появится нормирующий множитель где мощность, переносимая по линии передачи волной единичной амплитуды.

При включении резонатора как элемента связи линий передачи соотношение для коэффициентов связи нетрудно получить при следующих упрощающих предположениях, дополнительных к сформулированным выше для случая согласованной линии передачи.

1. Резонатор расположен симметрично относительно входной и выходной линий передачи в центре отверстия связи.

2. Размеры отверстия связи, в котором расположен резонатор, много меньше длины электромагнитной волны; при этом невозмущенное магнитное поле на месте отверстия связи в первом приближении можно считать однородным.

3. Размеры ферритового резонатора предполагаются много меньшими размеров отверстия связи (по крайней мере в три

раза) с тем, чтобы намагниченность по объему была также однородной. Для диэлектрического резонатора малость размеров резонатора по сравнению с размерами отверстия связи не является обязательной при тонкой перегородке [94]. Как показывают исследования [42], влияние тонкой перегородки на резонансную частоту диэлектрического резонатора не сказывается при размерах отверстия связи, сравнимых с размерами диэлектрического резонатора.

4. Общая стенка линий передачи предполагается тонкой с тем, чтобы напряженность магнитного поля в центре отверстия связи равнялась половине той амплитуды поля, которая была бы там при отсутствии отверстия связи, как это следует из результатов теории Бэтэ [95].

При этих предположениях коэффициенты связи резонатора с входной и выходной линиями передачи могут быть рассчитаны по общей формуле (4.26) для коэффициентов связи резонатора с согласованной линией передачи. Это обусловлено следующим. Коэффициент связи пропорционален квадрату амплитуды магнитного поля в месте расположения резонатора: при этом связь находящегося в пучности СВЧ магнитного поля резонатора с короткозамкнутой линией передачи в четыре раза больше по сравнению с согласованной линией. Наличие отверстия связи в короткозамкнутой стенке приводит к уменьшению амплитуды поля в два раза и уменьшению коэффициента связи в четыре раза. Таким образом, связь резонатора с линиями передачи при включении разонатора как элемента связи при принятых допущениях равна связи резонатора с согласованной линией передачи при включении резонатора как неоднородности. Это позволяет использовать одни и те же соотношения для коэффициентов связи при расчете основных схем включения твердотельного резонатора.

При расчете связи резонатора с линиями передачи в комбинированных схемах включения необходимо учитывать, что коэффициент связи резонатора с короткозамкнутыми плечами линии передачи зависит от расстояния между центром отверстия связи и короткозамыкающей стенкой линии передачи. При связи резонатора с короткозамкнутым плечом по поперечной составляющей поля связь резонатора с короткозамкнутым плечом определяется соотношением