2.3. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Удовлетворительную для практических целей точность расчета параметров диэлектрического резонатора получают обычно при следующих приближенных граничных условиях. Полностью отражающими являются только боковые стенки плоского диэлектрического резонатора, а электромагнитная энергия проникает через торцовые стенки резонатора (рис. 13). При этом предполагается, что поле внутри резонатора изменяется по синусоидальному закону, а вне резонатора затухает по экспоненциальному закону [29]. В этом приближении при описании структуры поля диэлектрического резонатора можно использовать составляющие поля в диэлектрических стержнях с идеально «магнитными» боковыми стенками. Виды колебаний диэлектрического резонатора при этом обозначаются индексами где — часть полуволны внутри резонатора вдоль оси

Рис. 13. Конфигурация поля вдоль продольной оси диэлектрического резонатора.

Получим соотношения для составляющих поля при колебаниях -вида в прямоугольном диэлектрическом резонаторе [34]. Поскольку граничные условия в плоскостях не изменились по сравнению со случаем диэлектрического стержня с «магнитными» боковыми стенками, то составляющие электрического поля внутри резонатора можно представить в виде

Подставив эти выражения в уравнения Максвелла, получим

Решение этой системы можно представить в виде

где постоянные.

Подставляя (2.35) в (2.34), получим

откуда

Поле вне резонатора должно быть таким, чтобы внутренние и внешние поля совпадали на плоскости раздела при толщина резонатора. Таким образом, поля вне резонатора можно записать в виде

Решая аналогично, получим

где

знак «+» соответствует постоянные числа; постоянная, характеризующая экспоненциальный характер убывания поля вне резонатора.

Из условия непрерывности касательных составляющих векторов электрического и магнитного поля при

можно получить уравнение

Составляющие электромагнитного поля нечетных -видов колебаний прямоугольного диэлектрического резонатора запишем в виде:

внутри резонатора

вне резонатора

где поперечные и продольные волновые числа определяются соотношениями

Составляющие электромагнитного поля колебаний -вида в цилиндрическом резонаторе определяются аналогично случаю прямоугольного резонатора и имеют вид:

внутри резонатора

вне резонатора

где

При -колебаниях волновые числа определяются формулами

2. 4. РЕЗОНАНСНЫЕ ЧАСТОТЫ ПЛОСКИХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ РЕЗОНАТОРОВ

Из выражений (2.50) следует, что связь между волновыми числами и резонансной частотой колебаний -вида определяется соотношением

где

Для колебаний -вида вместо соотношения (2.54) имеет место уравнение

где

Таким образом, резонансная частота колебаний в диэлектрическом резонаторе при заданных резмерах резонатора, как и в полых металлических резонаторах, определяется видом колебании. При заданных габаритах резонатора наибольшей резонансной длиной волны обладает колебание вида в случае колебаний электрического вида низшим является колебание

Решение уравнений (2.50) позволяет построить графики [36] для расчета резонансных частот основного вида колебаний цилиндрического диэлектрического резонатора (рис. 14). Проектируя диэлектрический резонатор, следует задаться приемлемым диаметром и для требуемой резонансной длины волны X вычислить отношение а затем по известному материала, пользуясь графиком рис. 14, найти отношение а следовательно, и толщину резонатора

Отметим, что для большинства практических применений расчет резонансных частот различных видов колебаний можно упростить, если положить что справедливо при порядка

100 для диэлектрических резонаторов в сантиметровом диапазоне длин волн. Тогда уравнение (2.55) примет вид

и расчет резонансной частоты различных видов колебаний в случае изотропного диэлектрического резонатора существенно упрощается. В самом деле, домножив правую и левую части уравнения (2.57) на и обозначив — получим уравнение

Рис. 14. Графики для расчета резонансной частоты основного вида колебаний цилиндрического диэлектрического резонатора.

Рис. 15. График для приближенного расчета резонансной частоты плоского цилиндрического диэлектрического резонатора.

При этом выражение для резонансной частоты примет вид

Для расчета можно воспользоваться графиком на рис. 15, который получен в результате решения системы уравнений (2.58), (2.59). Этот график устанавливает зависимость от отношения толщины резонатора к его диаметру при колебаниях вида

Резонансная частота колебаний Н-вида прямоугольного диэлектрического резонатора определяется формулой

где

Резонансная частота электрических видов колебаний определяется формулой

Расчет резонансных частот можно выполнить аналогично случаю цилиндрического резонатора. На рис. 16 приведены графики [36] для расчета резонасной частоты основного магнитного вида колебаний.

Рис. 16. Графики для расчета резонансной частоты основного вида колебаний прямоугольного диэлектрического резонатора при

Рис. 17. Распределение электрического и магнитного Н полей в прямоугольном диэлектрическом резонаторе для колебаний вида