§ 2. Размерность. Базис. Координаты

1. Базис. Если в векторном пространстве V имеется хотя бы один отличный от нуля вектор и (а следовательно, имеются и векторы при любом ), то в V имеется по крайней мере одна линейно независимая система векторов; такой системой во всяком случае является система, состоящая из одного вектора .

Предположим теперь, что в данном векторном пространстве V существует линейно независимая система, состоящая из векторов, и нет никакой линейно независимой системы, состоящей из большего, чем я, числа векторов. Тогда мы говорим, что V есть -мерное векторное пространство, а число называем его числом измерений или размерностью. Если такого числа нет, то векторное пространство называется бесконечномерным. В бесконечномерном векторном пространстве существуют линейно независимые системы, состоящие из любого, сколь угодно большого числа векторов.

Бесконечномерные векторные пространства существуют; более того, значение их в современной математике чрезвычайно велико; но изучаются они в функциональном анализе, а не в аналитической геометрии, поэтому мы ими в этих лекциях заниматься не будем.

Определение. Пусть V есть -мерное векторное пространство. Всякая линейно независимая система, состоящая из векторов пространства V, называется базисом этого пространства.

Теорема 1. Если — базис векторного пространства V, всякий вектор и этого пространства единственным образом может быть представлен в виде линейной комбинации

базисных векторов . Однозначно определенные коэффициенты называются координатами вектора и относительно базиса .

Доказательство. Так как в V не существует линейно независимой системы, состоящей из векторов, то система

зависима, тогда как — независимая система. Поэтому

Если бы существовало второе такое представление

то было бы

откуда, вследствие линейной независимости системы , вытекает, что .

Теорема 1 доказана.

Пусть даны два вектора

и

Согласно правилам вычислений с векторами, содержащимся в аксиомах векторного пространства и совпадающим с аналогичными правилами для векторов трехмерного пространства, имеем

т. е. при сложении векторов их соответственные координаты складываются.

Точно так же, если вектор

умножается на число , то получается

— при умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число.

2. Переход от одного базиса к другому. Пусть , — два базиса векторного пространства U. Обозначим координаты произвольного вектора и относительно этих базисов соответственно через , так что

Пусть координаты векторов относительно базиса суть соответственно , так что

Подставляя (2) в (1), получаем

или, после приведения подобных членов в правой части,

Так как координаты вектора и относительно базиса определены однозначно, то

Эти формулы — «формулы преобразования координат» — выражают координаты произвольного вектора и относительно базиса через координаты того же вектора относительно базиса коэффициенты определены формулами (2).

Матрица

называется матрицей преобразования координат (или матрицей линейного преобразования (3)), соответствующего переходу от базиса к базису матрица этого перехода есть транспонированная матрица С к матрице С.

Эти формулы и определения являются непосредственным обобщением тех, которые были рассмотрены в главе VIII для .